圆锥曲线解题模型

1、直线和圆锥曲线常考题型运用的知识,I、中点坐杯公式：X = Ali.,y = 21A, 中X,y杲点川斗,”）（七,儿）的中点坐标2、弦K公式：若点A（几儿），*（勺.儿）4啟线y kx+b（k *0）t则y严U+几“ = g+b这是同点纵横坐标变抓 是两大坐标变换技巧|A5|= J（斗一壬尸+（牙一儿尸=J（片一壬）2+（匕一爾尸=/屮2心_）2 =（1 + 疋）（旺 +）2 4兀血或者 I 人 b| = J（石一七）2+（”_儿）2 =JG 儿-|）2 + （-,-y2）2 =J（l + -）（|-y2）2 =J（l + *）（X + 2）2 一 4）1 儿3、两条直线4：y W+Q，4：

2、y=垂直：则=-1苗条亢线垂则用线所在的向试片1，2 =0h厂4、韦达定理：若一元二次方程ax2 +x+c = 0（o*0）W两个不同的根心七.MJXj + x, = ,xx2 =.aa常见的一蝴S型：M-：数形结合确定直後和Bl锥曲找的位置关系题型二：弦的垂亶平分域问题題型三动弦过定点的问题题割过已知曲枚上定点的孩的问题题塑五：共枚向何题题塑六：面积问题題塑七：弦或弦长为定值问JRSA：角度问题问九：四点共线问题问十：范BS问题（本质杲函数问题何十r 存在性问题：（存在点，存在直线尸匕畑存在实軌存在图形，三角形（等比、等Sh直角人四边形（矩形.菱形、正方形儿圆） 题S-：效形结合UK定直枚和

3、8B儀曲枚的位賈关系例題I、已知血线/:y = kx + l+ = 1始终有交点，求皿的取值范出4 m解：根据WX/: v = tv +1的方程可知，肖线恒过定点（0. I）, me： + - = 1过动点（05/万）,!/工4.如 4 m果 11 线/:y=/Lt + imifi|51|C: + - = 1 始终冇交点则 Vh Um 4. HPl规律捉號：通过戌线的代数形式，町以看出肖线的特点：/:y = U + l=过定点(0.1)l:y = k(x+)= 过定点(一 1, 0)/:厂2 =吃+1)=过定点(-L 2)题塑二，弦的垂宜平分钱问题例題2、过点TCI.0)作直线/与曲线N :尸

4、二兀交于A、B两点，庄k轴上是否存在一点&心0),使得AABE是等边三角形.若存在，求出斗；若不存在，请说明理由.解:依题克知，直线的斜率存在,且不等于0设直线/: .y 二攵(x+l), k *0. AWJ. Bg,yj由卩;(X+1)i8y整理得4(頂_ 1)jt+疋=0y =x由i线和抛物线交于两点，得A = (2i 1)24T=-4T + i02k2p2kt2k2 -I由韦达定肥 得:斗+七=_殳一山土 =1则线段AB的中点为(线段的时理分线方外为:守)令冃叫尸右讣则畤岭)v ABE为正三用形 E(丄T-丄.0)到力线AB的距离d为 2k22|人四=(石_丹)2+(才一儿尸=斗 J1

5、+ F d = J：曲：火TiTF=盘了解得&=土亜満足式此时X(l=-. 2L21|133型三：动弦过定点的问題P40例題3、己知椭阴IC：务+右=1(。0)的离心率为晅，且在只轴上的顶点分别为Ai(20).A2(2,0)(I)求椭圆的方程二(II)若直线/: X = r(r 2)与X轴交于点T,点P为H线/上异于点T的任点,負线PAl.PA?分别与椭圖交于M、N点.试何直线MN是杏通过側 岡的焦点？并证明你的结论2fh (I)由己如橢冏c的离心率g =.“ =2则得r = J5.b = i 从而梢观的方稈为+/= iW+2)八叶J 9r245)设时佔)直线人册的猝率为J则立綾人“的方程为y

6、二(x + 2),由能理得(1 + 4*12)X2 + I6M+I6jt；-4 = O -2和片是方程的两个根. 一2百=*打:1+ 4R；4k2 脑 4k廿Ey，1点“的軸为(77#rn尹砂，设瞰A収的桝沁.則待点N的杠为(踪盏 )； = &“* 2),yp = kt -2) /.苦丰-直线MN的方程为上二21=2i二2kIX-Xj Xz-X22令尸得 H、 将点M. N的*标代入，化购后得：x = - y厂八f又-t2. .-.0-/5.即; = II3故当/=y 时.MN过桶恻的热点.型四：过已知曲枚上定点的孩的冋逼例聽4 知点A. B. C是桶関E： 4+4 = 1上的三点.具中点A(

7、2/3.0) 的右顶点.山找BC o- b1过椭圖的川心0,SC=0, |c| = 2|Xc| . tel号 求点C的坐标及楠團E的力涩；(II若HHSlE上心纟两点PQ.便鮒直线PC与直线QC关于fi.r = V3对空求直线PQ的斜率.解：区| = 2网,目BC过楠B1的中心O.-.|oc|=|ac|-.mc5c=o .- ZAC0 二壬又 A (2 J5,0) .点 C 的坐杯 为b血.vA(20) feffiPU的右顶点,;心=2吳则柿阴方程为：. + 21 = |12 b将点CC/5.JJ)代入方程.得於=4. 桶関E的方理为丄+工-|124(II)V直线PC与直线QC关于ax = V

8、3对称.及1綾PC的斜率为I 対虫伐QC的斜牢为-I 从而玖找PC的方程为:y-V3=(x-V3) WJy = U+d(l-R)宙!尸&+血 If 消 y塑理徐 x2 + 3v:-12 = O（1 + 32）”+迅（1一&）兀+9“一18；:-3 = 0兀=巧是方程的一个根,1+3/9弋一1弘一 3d（l + 3T）同理可得：勺=9弋+ 1株一30(1+3”)yQ = %+力(-肪 + % _/J(l + R) = k(xp +%)_2馆2 =-12&75(1+ 3T)_ 二9-1弘-3 9+1弘一3= -36女1 九-75（1+3”）J5（i+%） V5（i+3i）方 则逍线PQ的料率为定值

9、丄。題塑五：共找向量问題例題5.设过点1X0,3）的直线交曲线W + - = 1于P.Q两点.且OP = /d2,?R实数/的収值范恥94解:UULlIHMJ设 PfgyJ.Qfgy/.Q DP = / 0(? (xbyr3)=/ (x2ty2-3)即lx.3 * /(v, 3)判别式払.韦达定珅浓.配凑法设ripQ的方程为:，=虹+ 3*工0,由|：虹+ ?消y整理后，得4x +9y = 36(4 4 9f + 54kx + 45 = () P Q 是曲线 M 上的两点.A = (54火)2 -4x45(4 + 9A:2) = 44k2 -80 0由韦达定理弘54k4+91皿 一（1）362

10、:45（4 + 9，）A5（1+ 2）2由得OvJs丄代入.整理得 吹 5肖直线PQ的斜率不存在，即x = 0时,总之实数/的収值范旳是中二BfflA：面积问题例题6.已知啊呦C：452巴+巴+ 2 忑 X,91 + 4,4:=1 +79“9k.36A“ 9解之得丄V久b0）的离心申为些,短轴一个端点到Xi.f- A的距离为73。 I )求椭圆C的方程:设卫线1与肠関C交于A、B两点，坐标原点O到XI线1的距离为返，求AAOB面枳的址大值. 2解：(I )设椭圖的半焦距为c,依题总申.=1, .所求椭關方枳为+y2 = l. a 33a * y/x(II)设 AC中 y,). B(xr y2)

11、. (I)当 AB 丄 x 轴时.2)当 AB 与 x 轴不垂直时.设頁线 AB 的方程为 y = k.x + m 由已luJH , f0)相交于A. B两点.(I)若点N是点C关于坐杯原点O的对称点，求厶ANB面枳的披小位：，=即p点坐标为（塑湮）、（迺 逅）、（巫更）或a 僅）.2 2 2 2 2 2 2 2问題九：四点共銭问题例题9、设梅闘C:匚+与= l（ab0）过点M（JIl）睛焦点为（-/2.0）a bx = ,I + A(I)I-Z2tWJ20 112*1(2)又点A. B/t-tffiiaC上，即X)2 +2y? = 4.(I) + (2) X2并结合(3人(4)得4$ + 2

12、y = 4即点QS）总在定立钱2-2 = 0上方法二设白Q（.Y,y）,AO）,（,”），由題设，|顾两H范面|均不为&(1)(2)又P.A.0”艸点共线可设M 尤迈两=2应（&工0.1）.于是4-2x 1-Ay f3To，*=TT4 + XxI + Zy由于4(.vp)J(x2y2)AttHC,将(1), (2)分别代入C的方程.? + 2/=4/?理得(x2 + 2y2 - 4)a2 - 4(2x + y - 2) A +14 = 0(3)(x2 + 2y 一4)2, + 4(2.r + y-2)2 + l4 = 0(4)(4)(3) 得& 2x + y-2)Z = 07 2*0./. 2

13、x + y-2 = 0閒点Q(仏y)总在定直线2x + y-2 = O上问息十：苑国问息(本就是褚数问JK)设片、人分別+ y2= I的左、右焦民4（I）若P足该桅列上的-个动点，求PR P&的址大值和赧小債：（II）设过定点M（0.2）的fl线f与椭阀交于不同的阿点A、B, HZAOB沟锐角（其中O为坐杯原点），求tl级/的 斜率R的取值范用解：（I ）解法一：易知 = 2,b=l=J5所以斤（r/10）斥（J5.0）,设P（.to）.则PF -PF, = （75-.t,-yj,（V5-x,-y-x + y -3 = a? + 13 =扌（3十-8） 因为卜2,2,故x = 0,即点P为椭阴

14、如轴站点时，PF巫右城小值-2 当 = 2,即点P为楠闘长轴缁点时，祈 巫冇址大值1两两=阴两 cos ZF严*2-3 （以下同解法一）解法一：易知4 = 2上= 1C = J5,所以斥（J,O）,&（JIu）,设P（d 则+ )+(“-J5) +-12（II）鼻然自线x = 0不満足題设条件，可设II线=（几2）（%儿），I、kz + - x- + 4fct + 3 = O 4丿rr + 4由 A=(4il)： -4+x3 = 4jt2-30： k-X0Zy40590,cosZA0a0CM d50/.CM面二片占 + 为兀又为为=(X+2)(g + 2)= RhE + 2R(ii +土)+

15、4 =q it2 + I+ - 0.即R?4-2点0) hl M (2, y/2 ) U即8疋-龙 + 404 bn斗 7 = ：八八wf、门f y. k(2nr -8)42/rT2 i S” 时I + 2A* v(r, = (tr( + wXfcv2 + m) = k xtx: + km + x,) + nr =r+m =娶1 + 2A 1 + 2k + 2k1 + 2A 伙=0时ABl= 使 OA 丄 OB,需使 x(x2 + y,y2 =0.8卩+ 竺一 =U,所以 3m* -8A 2 -8 = 0 以 R =, “ 2U 又l + 2*1 + 2L8肿*+4U 所以/（1）（斗十尸打+；：年心_(32 4F+5F7T/32k1-vT 4F+4F