三阶微分方程统一显式解

1、中国科技论文在线三阶微分方程统一显式解 于力1，李峰2，李春林3作者简介：于力（）女，讲师，电力，非线性微分方程通信联系人：李春林（），男，高级工程师，非线性动力学. E-mail: 155242650801.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.5Shenyang Institute of Engineering;Northeast Electric Power Research Institute Ltd;Home沈阳工程学院电力学院沈阳;东北电力科学研究院有限公司沈阳;退休11

2、0136;11001313940304444;1552426508025611221;22729555沈阳市沈北新区蒲昌路号;沈阳市沈河区惠工西二街栋yulixxx;lifeng_mail力（）女，讲师，电力，非线性微分方程;李春林（），男，高级工程师，非线性动力学于力;李峰;李春林Yu Li;Li Feng;Li Chunlin李春林1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51*|*专著*|*R.Clark Robinson动力系统导论美机械工业出版社（2007年）；2*|*在线文献*|*Willi_Has Steeb非线性系统手册美电

3、子工业出版社（2013年）；3*|*专著*|* 徐伟非线性随机动力学的若干数值方法及应用非线性动力学丛书17（2013年）;4*|*专著*|* 钱伟长.世界科学1994-10-30;5*|*在线文献*|* 谷超豪.自然杂志1995-12-15.6*|*期刊*|*张伟科学评述：非线性动力学：对现实世界的一次写真J中国科学报.|1|于力|Yu Li|沈阳工程学院电力学院沈阳|Shenyang Institute of Engineering|于力（）女，讲师，电力，非线性微分方程|沈阳市沈北新区蒲昌路号|110136|yulixxx|256112212|李峰|Li Fen

4、g|东北电力科学研究院有限公司沈阳|Northeast Electric Power Research Institute Ltd|lifeng_mail|*|3|李春林|Li Chunlin|退休|Home|李春林（），男，高级工程师，非线性动力学|沈阳市沈河区惠工西二街栋|11001322729555阶微分方程统一显式解|Unified explicit solution Third Order Differential|- 15 -（1. 沈阳工程学院电力学院沈阳；2. 东北电力科学研究院有限公司沈阳；3. 退休）摘要：三阶微分方程统一

5、显式解,可以求解所有线性和非线性三阶微分方程。通过把方程解的可视化曲线和数值解数据代入微分方程，使方程等号两边相等的检验方法,证明所求方程解是正确的。三阶微分方程统解表达式的整理与解读还是处女地，那里埋藏着更深奥的自然法则，有待爱好者挖掘。关键词：线性与非线性；三阶微分方程统解；微分方程组解法；混沌；复动力系统；中图分类号：0412.1Unified explicit solution Third Order DifferentialYu Li1, Li Feng2, Li Chunlin3(1. Shenyang Institute of Engineering;2. Northeast E

6、lectric Power Research Institute Ltd;3. Home)Abstract: Third-order differential equation explicitly unified solution, can solve all linear and non-linear third-order differential equations. By visualizing the data on behalf of the curve and the numerical solution of differential equations into the e

7、quation, so that testing methods equal equal on both sides of the equation, prove that the demand equation is correct. Finishing Solutions and interpretation system third-order differential equations or expressions of virgin land, where the buried more esoteric laws of nature lovers to be excavated.

8、 Key words: Linear and nonlinear; third-order differential equation system solution; solution of differential equations; chaos; complex dynamic systems;0 引言权威断言:到19世纪末，人们认识到很多非线性微分方程根本没有显式解1; 几乎所有的非线性方程都不能在封闭形式里求解2;由于非线性问题的个性很强,目前尚没有统一的求解方法3。这种误导可能是不去寻找显式解的原因。 而近似求解，我们的办法是用奇异摄动理论,就是正规的办法行不通了用不正规办法.可

9、是数学上是不承认的4;可以说,在许多新的非线性现象面前,我们的数学工具还是远远地不够用的5；美国应用学家Holmes, Guckenheimer, Marsden和Wiggins等则将分叉和混沌与经典的非线性振动理论相结合,发展成为现代非线性动力学理论6。这样的现代非线性动力学，是建立在混沌理论基础上，而混沌根本不是微分方程的解。 继牛顿力学和量子力学之后发展的非线性科学,正改变着人们对世界的看法,使之形成一种新的自然观,促进了一大类新兴科学的孕育和发展,并从根本上影响着现代科学的逻辑体系6，非线性科学如此重要，更需要严肃、认真、科学地对待。 二阶微分方程统解已经解读出关于变化的自然法则有四个

10、定律；三阶微分方程统解公式太长，有待于整理解读出可以理解的结构形式，相信会有更多自然法则描述。它们都是在关于变化的宏观视角，描述关于变化的共性规律，可以称为“新的自然观”。本文介绍三阶微分方程，用固定框架可变结构统一表达式描述，给出封闭统一显式解，简称统解。利用统解可以求解所有三阶微分方程。统解用可视化曲线，数值解数据形式代入方程，使得方程等号两边相等，证明统解的正确性。.0三阶微分方程统一表达式和统解表达式认识与理解微分方程的基本理念:(1)代数方程根是复平面点；微分方程解是复平面曲线，解是复函数；(2)负面积是虚边长；负势能是虚位移；负动能是虚速度；(3)函数一阶导数为零，二阶和高阶导数不

11、是零而是不存在,不动点不在方程解曲线上；(4)线性变化与非线性变化是同类，线性微分方程只是非线性微分方程的简化与特例；(5)如同代数方程变量降幂排列，微分方程降阶排列作为微分方程固定框架统一表达式；(6)固定框架各阶导数的乘积项，定义为固定框架的可变结构函数,包含常数；(7)微分方程强迫项，或称干扰函数，或称激励函数，不包含方程待解变量；(8)微分方程解是连续N 次可导的复函数，代入微分方程使恒等式成立。 这样重新认识和理解二阶与三阶微分方程,得出如下结论:第一,微分方程可表成固定框架可变结构统一表达式,推导出封闭统一显式解,简称统解；第二,统解可以通过可视化曲线,数值解数据代入微分方程检验其

12、正确性；第三,统解可以用来统一求解线性和非线性三阶微分方程,可视化描述系统运行规律. 以下逐一介绍.作如下定义：(i)取每种待解变量(x 及各阶导数)降阶排列,称为微分方程的固定框架;(ii)固定框架的乘积项,称为微分方程的可变结构函数;(iii)干扰函数或称强迫项,作为微分方程运行的外部环境,不含待解变量 三阶微分方程,依据微分方程的量纲，确立三阶类微分方程统一标准表达式： x+3M*x +3K2* x +W3*x=H; 其中：M 称为加速度控制函数; K称为速度控制函数,或阻尼函数;W称为位移控制函数,或方程固有频谱函数;H 称为干扰函数,或强迫项,不含有方程待解变量。 为简化统解表达式，

13、令H=0，x(0)=N2, x(0)=N1, x(0)=N0。 方程解符号: x0 表位移解, x1 表速度解, x2 表加速解x3 加速度变化率。用MATLAB语言符号运算非常方便.这里只给出x0（位移解）符号表达式，由于符号表达式太长，还没有整理出最佳表达式：x0=1/12/M4*(+1/4*M2. *exp(-1/4*i*3(1/2)*Wk*t+1/4*Wo*t-M*t). -M1/(3+i*3(1/2)*Wr2-(3-i*3(1/2)*Wf2). *exp(+1/4*i*3(1/2)*Wk*t +1/4*Wo*t-M*t). +M3/(3+i*3(1/2)*Wr2-(3-i*3(1/2

14、)*Wf2). *exp(-1/4*Wo*t-1/4*Wo*t-M*t);其中：Ws=(4*K6-3*K4*M2-6*K2*M*W3+W6+4*W3*M3)(1/2);Wr=(12*K2*M-4*W3-8*M3+4*Ws)(1/3);Wf=(+4*K2-4*M2)(1/2);Wk=(Wf2+Wr2)/Wr;Wo=(Wf2-Wr2)/Wr;M1=i*3(1/2)*(60*M3*Wr*N2*K2-56*K6*M*Wr*N0. +32*K4*N1*W3-8*K2*Wr2*W3*N1. +132*K4*M3*Wr*N0-32*Ws*W3*N2. +8*K2*Wr2*Ws*N1+12*K2*Wr*W3*

15、N2. -16*M3*W3*N1*Wr-160*M4*Ws*N1. -20*M4*Wr*Ws*N0-8*M3*Wr2*W3*N0. -48*M6*N1*Wr-32*M5*W3*N0. +3*M4*Wr4*N0+16*M4*Wr2*N2. -8*M2*Wr2*Ws*N1+8*M2*Wr2*W3*N1. -272*M4*K4*N0+Wr4*W3*M*N0. +128*N2*M3*W3+Wr4*M2*N2. +24*M7*Wr*N0-16*K2*M*Ws*N1*Wr. -Wr4*Ws*M*N0-Wr4*K2*N2. -12*M2*Wr*N2*W3+12*M2*Wr*N2*Ws. -104*K2*M3

16、*Wr2*N1. -100*K2*M5*Wr*N0+144*K6*M2*N0. +16*K6*N1*Wr-Wr4*Ws*N1. -2*Wr4*K4*N0-7*Wr4*M*K2*N1. -80*K2*M3*Ws*N0-2*Wr4*M2*K2*N0. +20*M4*Wr*W3*N0+24*M4*K2*Wr2*N0. +16*M3*Ws*N1*Wr+112*K4*M*Ws*N0. +48*K2*W6*N0-36*K4*Wr*N2*M. -24*K4*Wr*N0*Ws-16*M2*W6*N0. +16*M2*Ws*N0*W3-4*Wr2*W6*N0. -24*M5*Wr*N2+192*M7*N1. +

17、64*N2*M6+64*K6*N2. +64*K8*N0+32*W6*N2. +4*Wr2*Ws*N0*W3-48*K2*Ws*W3*N0. +48*M5*Wr2*N1+6*Wr4*M3*N1. +96*N2*K4*M2-192*K2*M*W3*N2. +96*N2*M*Ws*K2-192*M4*K2*N2. -64*N2*M3*Ws+32*K6*N1*M. +44*K2*Wr*Ws*M2*N0-32*K2*Wr2*M2*N2. -4*K2*Wr2*Ws*M*N0-32*K4*N1*Ws. +96*K2*M6*N0+64*M*W6*N1. -448*K2*M2*W3*N1+16*K2*Wr2*

18、W3*M*N0. -44*K2*Wr*W3*M2*N0+448*K4*M3*N1. +128*K2*M4*N1*Wr+224*K2*M3*W3*N0. +16*K4*N2*Wr2+16*K6*Wr2*N0. +288*M4*W3*N1-64*M*W3*N1*Ws. -608*K2*M5*N1+256*K2*M2*N1*Ws. -96*K4*M2*N1*Wr-44*K4*M2*Wr2*N0. +56*K4*M*Wr2*N1+16*K2*M*W3*N1*Wr. +Wr4*W3*N1-256*K4*M*W3*N0. -12*K2*Wr*N2*Ws+24*K4*Wr*W3*N0). . +72*Wr2

19、*M*W3*K2*N0-288*K4*M*W3*N0. +132*K2*Wr*Ws*M2*N0-240*M3*Ws*K2*N0. +48*M2*Ws*N0*W3-108*M4*Wr*Ws*N0. +72*M7*Wr*N0+204*M4*Wr*W3*N0. -156*M5*Wr*K2*N0-384*M4*K2*N1*Wr. +48*Wr*W6*N1-144*M3*Ws*N1*Wr. +240*M3*W3*N1*Wr+144*K4*M*Ws*N0. -48*Wr2*M3*W3*N0-48*K2*Ws*W3*N0. +192*K8*N0-276*K2*Wr*W3*M2*N0. +192*K2*M*W

20、s*N1*Wr-336*K2*M*W3*N1*Wr. -48*M2*W6*N0+216*K6*M*Wr*N0. -3*Wr4*Ws*N1-48*Wr*Ws*W3*N1. -336*M2*K6*N0-12*Wr2*W6*N0. -12*K2*Wr*N2*W3-48*Wr2*K6*N0. +3*Wr4*W3*N1+18*Wr4*M3*N1+96*M5*Ws*N0. +144*M6*N1*Wr+9*M4*Wr4*N0+144*K6*N1*Wr. -48*M*Wr*N0*Ws*W3+144*M4*K4*N0. -192*M5*W3*N0+48*K2*W6*N0. +48*M*Wr*W6*N0-60*K

21、2*Wr*M3*N2. +12*M2*Wr*N2*W3+12*K2*Wr*N2*Ws. -12*M2*Wr*N2*Ws-24*K4*Wr*W3*N0. +144*K4*M2*N1*Wr+36*K4*Wr*N2*M. -6*Wr4*K4*N0+24*M5*Wr*N2+24*K4*Wr*N0*Ws. -84*K4*M3*Wr*N0+24*Wr2*M3*Ws*N0. +12*Wr2*Ws*N0*W3+36*Wr2*K4*M2*N0. -3*Wr4*Ws*M*N0+3*Wr4*W3*M*N0. -6*Wr4*K2*M2*N0-21*Wr4*K2*M*N1. -36*Wr2*M*Ws*K2*N0+3*W

22、r4*M2*N2. +480*M3*W3*K2*N0-3*Wr4*K2*N2;M2=i*3(1/2)*(-2*Wr2*Ws*M*N0+2*Wr2*W3*N1. +2*Wr2*W3*M*N0+4*Wr2*M2*N2. -4*N2*Wr2*K2-8*K4*Wr2*N0. -2*Wr2*Ws*N1+12*Wr*N2*K2*M. +8*Wr*K2*N0*Ws+12*M3*Wr2*N1. +16*K4*M*Wr*N0+4*Wr*N2*Ws. -8*Wr*K2*N0*W3-4*Wr*Ws*M2*N0. -8*K4*N1*Wr+4*Wr*W3*M2*N0. -14*M*K2*Wr2*N1-24*M4*N1*

23、Wr. +6*M2*K2*Wr2*N0-4*Wr*N2*W3-8*Wr*M3*N2. -8*M*W3*N1*Wr-12*M3*K2*Wr*N0. +40*K2*M2*N1*Wr+8*M*Ws*N1*Wr). +48*M*Ws*K2*N0-2*Wr2*Ws*N1+2*Wr2*W3*N1. +12*M3*Wr2*N1+24*M5*Wr*N0+8*K4*N1*Wr. -4*N2*Wr2*K2-8*K4*Wr2*N0. +24*M4*N1*Wr+3*Wr4*M2*N0-2*Wr4*K2*N0. +4*N2*Wr2*M2+16*W6*N0+64*K6*N0. -2*Wr2*Ws*M*N0-48*K4*M

24、2*N0+64*M3*W3*N0. -96*M*W3*K2*N0-N2*Wr4-8*Wr*Ws*M2*N0. +8*Wr*W3*M2*N0+2*Wr2*W3*M*N0. -40*M3*Wr*K2*N0-40*K2*M2*N1*Wr. +6*K2*M2*Wr2*N0-8*M*Ws*N1*Wr+8*K4*M*Wr*N0. -14*K2*M*Wr2*N1+8*M*W3*N1*Wr. -16*Ws*N0*W3-32*M3*Ws*N0;M3=i*Wr4*3(1/2)*Ws*M*N0-60*Wr2*M*W3*K2*N0. -240*K4*M*W3*N0+48*i*3(1/2)*K2*W6*N0. +96*

25、N2*M6+48*N2*W6+288*M7*N1. -48*i*3(1/2)*K2*Ws*N0*W3+12*M2*Wr2*Ws*N1. -12*M2*Wr2*W3*N1+48*M2*N2*Wr2*K2-72*M4*Wr*Ws*N0. +168*M4*Wr*W3*N0+72*M5*Wr*K2*N0-384*M4*K2*N1*Wr. -36*M4*K2*Wr2*N0-144*M3*Ws*N1*Wr. +156*M3*K2*Wr2*N1+240*M3*W3*N1*Wr. +96*K4*M*Ws*N0-48*K2*Ws*N0*W3-12*K2*Wr2*Ws*N1. -672*K2*M2*N1*W3+3

26、84*K2*M2*N1*Ws. -96*M*Ws*N1*W3+72*K2*Wr*Ws*M2*N0-216*K2*Wr*W3*M2*N0. +192*K2*M*Ws*N1*Wr-336*K2*M*W3*N1*Wr+96*M*W6*N1. +288*K6*M*Wr*N0-84*K4*M*Wr2*N1. -48*N1*Wr*Ws*W3+12*K2*Wr2*W3*N1+384*M2*K6*N0. -72*M5*Wr2*N1+12*Wr2*W6*N0+3*Wr4*W3*N1. +18*Wr4*M3*N1-48*M5*Ws*N0+144*M6*N1*Wr. -24*M4*N2*Wr2+144*K6*N1*

27、Wr-24*K4*Wr2*N2. +48*N1*Wr*W6-3*Wr4*Ws*N1-48*M*Wr*Ws*W3*N0. +32*i*M*3(1/2)*W6*N1-96*i*3(1/2)*K6*M2*N0. -32*i*3(1/2)*M2*W6*N0+352*i*3(1/2)*K2*M3*W3*N0. +224*i*K4*3(1/2)*M3*N1+32*i*3(1/2)*M6*N2. +96*i*M7*3(1/2)*N1+96*N2*K6-480*M4*K4*N0. +48*M5*W3*N0+144*N2*K4*M2-288*K2*M4*N2. +192*N2*W3*M3+144*M6*N0*K

28、2+48*K6*N1*M. +48*K4*N1*W3+672*K4*N1*M3-912*M5*K2*N1. +432*M4*N1*W3+48*K2*W6*N0-288*K2*M*W3*N2. -120*K2*Wr*N2*M3-24*K2*Wr*N2*W3+24*K2*Wr*N2*Ws. -48*K4*Wr*N0*W3-24*M2*Wr*N2*Ws+144*K4*M2*N1*Wr. +72*K4*Wr*N2*M+48*K4*Wr*N0*Ws+48*i*3(1/2)*K2*M6*N0. +32*i*3(1/2)*K6*Wr2*N0-128*i*3(1/2)*K2*M4*N1*Wr. +8*i*3(

29、1/2)*K4*N2*Wr2-128*i*3(1/2)*K2*M5*Wr*N0. -52*i*3(1/2)*K2*M3*Wr2*N1-16*i*3(1/2)*K6*N1*Wr. -4*i*Wr4*N2*3(1/2)*M2-i*Wr4*3(1/2)*W3*M*N0. +32*i*3(1/2)*M2*Ws*N0*W3+4*i*3(1/2)*Wr2*W6*N0. +48*i*3(1/2)*M5*N0*Ws+16*i*3(1/2)*W6*N2. +128*i*3(1/2)*K8*N0+32*i*3(1/2)*K6*N2. -i*Wr4*3(1/2)*W3*N1-16*i*3(1/2)*K6*M*Wr*

30、N0. +16*i*K4*3(1/2)*N1*W3-4*i*3(1/2)*K2*Wr2*W3*N1. +96*i*3(1/2)*K4*M3*Wr*N0. -16*i*3(1/2)*K2*N2*Wr2*M2+16*i*3(1/2)*K2*Wr2*Ws*M*N0. +16*i*3(1/2)*K2*Wr*Ws*M2*N0+16*i*3(1/2)*M3*W3*N1*Wr. -80*i*M4*3(1/2)*Ws*N1-16*i*3(1/2)*Ws*W3*N2. +4*i*3(1/2)*K2*Wr2*Ws*N1-16*i*3(1/2)*M4*Wr*Ws*N0. +48*i*3(1/2)*M6*N1*Wr-

31、28*i*3(1/2)*K2*Wr2*W3*M*N0. -16*i*3(1/2)*K2*Wr*W3*M2*N0. +20*i*3(1/2)*M3*Wr2*W3*N0+8*i*Wr4*K4*3(1/2)*N0. +6*i*3(1/2)*M4*Wr4*N0+8*i*3(1/2)*M4*Wr2*N2. -4*i*3(1/2)*M2*Wr2*Ws*N1+4*i*3(1/2)*M2*Wr2*W3*N1. +48*i*3(1/2)*M7*Wr*N0-32*i*M*3(1/2)*W3*N1*Ws. -304*i*K2*3(1/2)*M5*N1-40*i*3(1/2)*K4*M2*Wr2*N0. +28*i*

32、3(1/2)*K4*M*Wr2*N1-16*i*3(1/2)*K2*M*W3*N1*Wr. +48*i*3(1/2)*N2*M*Ws*K2-96*i*3(1/2)*M4*K2*N2. -312*K4*M3*Wr*N0+24*M2*Wr*N2*W3+i*Wr4*3(1/2)*Ws*N1. -12*Wr2*M3*Ws*N0-12*Wr2*Ws*N0*W3+48*Wr2*K4*M2*N0. +36*Wr2*M3*W3*N0-3*Wr4*Ws*M*N0+3*Wr4*W3*M*N0. +48*M*Wr*N0*W6+9*Wr4*K2*M2*N0-21*Wr4*K2*M*N1. +128*i*K2*3(1/

33、2)*M2*N1*Ws+96*i*3(1/2)*K4*M2*N1*Wr. +16*i*3(1/2)*K2*M*Ws*N1*Wr+6*Wr4*N2*M2+48*M5*Wr*N2. -112*i*3(1/2)*M5*W3*N0-64*i*3(1/2)*M4*K4*N0. +64*i*3(1/2)*N2*M3*W3-224*i*K2*3(1/2)*M2*W3*N1. +144*i*M4*3(1/2)*W3*N1+24*Wr2*M*Ws*K2*N0. +96*M3*W3*K2*N0-48*N2*Ws*W3-96*N2*M3*Ws. -48*K4*N1*Ws-240*M4*N1*Ws+48*i*3(1/

34、2)*K4*M2*N2. -96*i*3(1/2)*N2*K2*M*W3+16*i*K6*3(1/2)*N1*M. -6*Wr4*N2*K2-12*Wr4*K4*N0+24*i*3(1/2)*M5*Wr2*N1. +7*i*Wr4*M*3(1/2)*K2*N1-13*i*Wr4*M2*3(1/2)*K2*N0. -160*i*3(1/2)*K2*M3*Ws*N0+4*i*Wr4*3(1/2)*K2*N2. -6*i*Wr4*M3*3(1/2)*N1-12*i*3(1/2)*Wr2*N0*M3*Ws. +16*i*3(1/2)*M4*Wr*W3*N0+12*i*3(1/2)*M4*K2*Wr2*

35、N0. -16*i*3(1/2)*M3*Ws*N1*Wr+128*i*3(1/2)*K4*M*Ws*N0. -4*i*3(1/2)*Wr2*Ws*N0*W3-32*i*3(1/2)*N2*M3*Ws. -16*i*K4*3(1/2)*N1*Ws-272*i*3(1/2)*K4*M*W3*N0. +144*N2*M*Ws*K2;M4=(-6*K2*M*W3+4*W3*M3-Ws*W3+4*K6+W6-3*K4*M2+3*M*. Ws*K2-2*M3*Ws); 三阶微分方程统一符号显式解太长，还没有整理出像二阶微分方程统解那样，可以读懂关于三阶变化的自然法则。1.1统解复函数运算与可视化方法如果结

36、构函数M, K, W是待解变量的函数,必须循环迭代运算复函数运算必须虚部和实部分开分别运算.利用虚实分离分时处理方法,完美解决方程复变量随时间变化,方程解复函数连续映射的可视化曲线问题用统解表达式,循环迭代,虚实分离分时处理方法,按照虚实匹配法则编制计算机程序,可以统一求解所有二阶类微分方程并绘制各种特性曲线.运算过程全部数据存储在相应存储器中.为可视化曲线和数值解数据代入方程检验提供条件以结构函数分类,微分方程分为三类:第一类,结构函数是时间函数或常数,称为独立控制方程;第二类,结构函数变量是待解变量,称为联合控制方程;第三类,称为混合方程,是一二类组合.三类微分方程可以用上述方法编制程序统

37、一运算并可视化各种曲线,并进行方程解检验.这样，抽象难懂的数学表达式，就可用几何曲线的形象思维帮助认识理解所谓“非线性问题”。1.2新理念的微分方程基本概念三阶类微分方程统解直接给出虚数符号,表明统解是复函数.(i)寻找一个可以连续N次求导的复函数,代入N阶微分方程使方程恒等式成立.(ii)求解过程与积分运算无关,不会出现积分常数C;(iii)W是正数或负数,系统是实频率或虚频率;W为函数,系统是“瞬时频率”组成的连续复频谱.复周期表示用复时间,是虚实分离分时处理和虚实匹配方法的根据；(iv)W函数变化如果过零产生虚实频率边界.边界不可穿越，就是微分方程定义域边界; (也是混沌理论中的不动点，

38、吸引子)。2.0统解Lorenz方程 以引领混沌潮流的最著名的Lorenz方程为例： 用一阶导数等于零所求不动点，成为“两个吸引子”或“两个平衡点”，系统围绕平衡点运动。这是经典结论，凡是研究Lorenz方程的论文，几乎全都引用。 微分方程存在（成立）的基本概念：N阶微分方程的解函数表达式必须存在连续N阶导数。如果函数变量在变化过程中，一阶导数出现了“0”值，二阶、三阶导数不是“0”而是无意义，是微分方程失去连续导数的断点，微分方程定义域边界。 关于“不动点”的认识与理解，是“混沌理论”的支点，支点错了，理论还能成立？ 取Lorenz方程: x=-ax+ay; y=cx-y-x*z; Z=-b

39、z+x*z; 转换成三阶微分方程，结构函数M,K,W有多种（至少四种）结构选择，必然有多种显式解。关于微分方程组有多个显式解的证明另文介绍。取四种结构函数之一表达式如下:x+(a+b+1-x/x)x+(a*b+b-x/x-a*x/x+x2)x+a(b-bc)+x2x=0;选取结构函数如下：W=a(b-bc)+x21/3 K=1/3*(ab+b-x/x-a*x/x+x2）1/2 M=1/3(a+b+1-x/x) 由三阶微分方程统解求出显式解：x，x，x，再由三元方程组求出X,Y,Z的显式解表达式如下： X; X;Y=(x+aX)/a; Y=(x+ax)/a；Z=c-Y/X-y/x; Z=-bZ+

40、xz； 方程解X,Y,Z及导函数X,Y,Z符号表达式代入方程组检验，由于表达式太长，普通台式计算机难以胜任。可用方程组如下表达式，可视化曲线趋向零值证明方程解正确: fcx=X1+a*X0-a*y0; fcy=y1+y0-c*X0+X0.*z0; fcz=z1+b*z0-X0.*z0; 也可以可视化方程组恒等式两端曲线重合方法，检验方程解的正确性。 确定方程定义域: 绘制 W=(a*(b*(1-c)+x02)(1/3)曲线。当W值为零时的x值为定义域边界: 图1 确定方程定义域可视化特性曲线: 图2 方程解x数值解数据代入方程检验: 图3 方程解y 图4 方程解z 图5 方程解x,y,z相图

41、图6 方程解x,y,z检验tx=175x0=X0(:,tx),x1=X1(:,tx),x2=X2(:,tx),x3=X3(:,tx)M=Mp(:,tx),W=Wp(:,tx),K=Kp(:,tx)ReFc=real(x3+M*x2+K2*x1+W3*x0)ImFc=imag(x3+M*x2+K2*x1+W3*x0)AbFc=abs(x3+M*x2+K2*x1+W3*x0)tx = 175x0=0.3434 + 0.1447i; x1= 0.4001 - 0.9819i; x2=-2.8074 - 1.1052ix3=-3.0497 + 8.0252i; M=5.0013e+002 -2.845

42、3e+000i;W=15.9398 + 0.0001i;K=7.0760 - 0.0288iReFc =1.5530e-010; ImFc = -3.3219e-010;AbFc = 3.6670e-0102.1统解Rossler方程Rossler方程:x =-y-z; y =x+ay; z =bx+xz-cz;转换成三阶微分方程:y+(c-a+a*y-y)*y+(1+b-c*a-y+a*y-a2*y)*y+(c-b*a+a*y)y=0选取结构函数:W=(c-b*a+a*x0)(1/3);K=1/3(1+b-c*a-x0-a2*x0+a*x1)(1/2); M=1/3(c-a+a*x0-x1)

43、; 求出显式解:y0,y1,y2,y3.代入方程组求出: x0=y1-a*y0; x1=y2-a*y1; z0=-y0-x1; z1=b*x0+x0.*z0-c*z0;方程解x,x,y,y,z,z代入方程组检验方法同上: fcx=x1+y0+z0; fcy=y1-x0-a*y0; fcz=z1-b*x0-x0.*z0+c*z0;取参数:a=0.1;b=1200;c=6000;N0=5;N1=15; N2=0;TN=50; 图7 方程解x 图8 方程解y 图9 方程解z 图10 方程解曲线检验 数值解数据代入方程检验:tx=175x0=y0(:,tx),x1=y1(:,tx),x2=y2(:,t

44、x),x3=y3(:,tx)M=Mp(:,tx),W=Wp(:,tx),K=Kp(:,tx)ReFc=real(x3+M*x2+K2*x1+W3*x0)ImFc=imag(x3+M*x2+K2*x1+W3*x0)AbFc=abs(x3+M*x2+K2*x1+W3*x0)tx = 175x0=2.5999 + 4.5892i;x1=-4.6627 + 2.3417i;x2=-2.0830 - 4.7226ix3=4.7690 - 1.8245iM=6.0047e+003 +2.1285e+000i;W=18.0495 - 0.0005i;K=24.4478 + 0.0870iReFc =-4.7074e-008;ImFc = -9.7101e-008;AbFc = 1.0791e-0072