托勒密定理及圆的其它定理

1、托勒密定理 定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质定理提出 定理的内容 。 摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和

2、差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质 定理内容指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE. 则ABEACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD, 所以ABCAED. BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因为BE+EDBD （仅在四边形ABCD是某圆的

3、内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角BAC =

4、BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一点K，使得ABK = CBD； 因为ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK与DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBD = ABCD，且CKBD = BCDA； 两式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABCD + BCDA。证毕。 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与

5、另一组对边所包矩形的面积之和)已知：圆内接四边形ABCD，求证：ACBD=ABCD+ADBC 证明：如图1，过C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。+得 AC(BP+DP)=ABCD+ADBC即ACBD=ABCD+ADBC 四、广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有： m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C) 推论1.任意凸四边形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，当

6、且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 推广托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 得不等式ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 运用要点1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理：在一条线段上AD上，顺

7、次标有B、C两点，则ADBC+ABCD=ACBD弦切角定理1. 推论内容 2. 应用举例弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另 图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，TCB，TCA，PCA，PCB都为弦切角。 弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 TCB=90-OCB BOC=180-2OCB ,BOC=2TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） BOC=2CAB（圆心角等于圆周角的两倍） TCB

8、=CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 证明已知：AC是O的弦，AB是O的切线，A为切点，弧是弦切角BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在BAC的一边AC上 AC为直径，AB切O于A， 弧CmA=弧CA 为半圆, CAB=90=弦CA所对的圆周角 B点应在A点左侧（2）圆心O在BAC的内部. 过A作直径AD交O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理） （3）圆心O在BAC的外部, 过A作直径AD交O于D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 C

9、DA=CAB （弦切角定理） 弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在RtABC中，C=90，以AB为弦的O与AC相切于点A，CBA=60 , AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. 在RtABC中, C=90 BAC=30 BC=1/2a(RT中30角所对边等于斜边的一半） 例2：如图，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EFBC. 证明：连DF. AD是BAC的平分线BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC 例3：如图

10、，ABC内接于O，AB是O直径，CDAB于D，MN切O于C， 求证：AC平分MCD，BC平分NCD. 证明：AB是O直径 ACB=90 CDAB ACD=B， MN切O于C MCA=B， MCA=ACD， 即AC平分MCD， 同理：BC平分NCD. 相交弦定理 概念相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 相交弦说明几何语言： 若弦AB、CD交于点P 则PAPB=PCPD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言： 若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC2=

11、PAPB（相交弦定理推论） 如何证明证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得A=D，C=B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） PACPDB，PAPD=PCPB，PAPB=PCPD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。 其逆定理也可用于证明四点共圆。 比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。切割线定理定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 切割线定理示意图几何语言： PT切O于点T，PBA是O的割线

12、 PT的平方=PAPB（切割线定理）推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言： PBA，PDC是O的割线 PDPC=PAPB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT的平方=PAPB=PCPD 证明切割线定理证明: 设ABP是O的一条割线，PT是O的一条切线，切点为T，则PT2=PAPB 证明：连接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理) 切割线定理的证明P=P(公共角) PBTPTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PBPA 比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆

13、幂定理。一般用于求直线段长度。圆幂定理求助编辑百科名片 圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。定义圆幂=PO2-R2（该结论为欧拉公式） 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PAPB=PCPD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L

14、2与圆交于C、D（可重合），则有PAPB=PCPD。 证明圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理） 问题1相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得A=D，C=B。 PACPDB PA/PD=PC/PB PAPB=PCPD 问题2割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PAPB=PCPD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA2=PCPD 证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间） ABCD为圆内接四边形 CAB+CDB=180 又CAB+PAC=1

15、80 PAC=CDB APC公共 APCDPB PA/PD=PC/PB PAPB=PCPD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 几何语言：PT切O于点T，PBA是O的割线 PT2=PAPB（切割线定理） 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：PBA、PDC是O的割线 PDPC=PAPB（切割线定理推论） 问题3过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PAPB为定值（圆幂定理）。 证：以P为原点，设圆的方程为 (x-xO)2+(y-yO)2=a 过P的直线为 x=k1t y=k2t 则A、B的

16、横坐标是方程 (k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0 的两个根t1、t2。由韦达定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 为定值，证毕。 圆也可以写成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中a为圆的半径的平方。所说的定值也就是（原点）与圆心O的距离的平方

17、减去半径的平方。当P在圆外时，这就是自P向圆所引切线（长）的平方。 这定值称为点P到这圆的幂。 在上面证明的过程中，我们以P为原点，这样可以使问题简化。 如果给定点O，未必是原点，要求出P关于圆的幂（即OP2-r2），我们可以设直线AB的方程为 是 的倾斜角， 表示直线上的点与 的距离 将代入得 即 ， 是它的两个根，所以由韦达定理 是定值 是 关于的幂（当 是原点时，这个值就是 ）它也可以写成 即 与圆心 距离的平方减去半径的平方 当P在圆内时，幂值是负值；P在圆上时，幂为0；P在圆外时，幂为正值，这时幂就是自P向圆所引切线长的平方。 以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用 问题4自圆外一

18、点 向圆引割线交圆于 、 两点，又作切线 、 ， 、 为切点， 与 相交于 ，如图8求证 、 、 成调和数列，即 证：设圆的方程为 点 的坐标为 ， 的参数方程为 其中 是 的倾斜角， 表示直线上的点 与 的距离 代入得 即 、 是它的两个根，由韦达定理 另一方面，直线 是圆的切点弦，利用前边的结论， 的方程为 代入得 因此，这个方程的根 满足 综合，结论成立。 可以证明，当 在圆内时，上述推导及结论仍然成立。 说明：问题4的解决借用了问题3的方法，同时我们也看到了问题4与问题1、问题2的内在联系。 西姆松定理 西姆松定理图示西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任

19、意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。西姆松定理说明相关的结果有： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 (5)过三角形垂心的任意直线都是三角形的的西姆松线 证明证明一：ABC外接圆上有点P，且PEAC于E，PFBC于

20、F，PDAB于D，分别连FE、FD、BP、CP. 易证P、B、D、F及P、F、C、E和A、D、P、E分别共圆， 在PBDF圆内，DBP+DFP=180度，在ABPC圆内ABP+ACP =180度，ABP=DBP 于是DFP=ACP ，在PFCE圆内 PFE=PCE 而ACP+PCE=180 DFP+PFE=180 即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由可见A、 证明一（图）B、P、C共圆. 证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于 BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和 P、M、C、 L分别四点共圆，有 NBP = N LP = M LP

21、= MCP. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、P、B、C四点共圆，则 N BP= MCP。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB， 有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有 NBP = N LP = MCP = M LP. 故L、M、N三点共线。 相关性质的证明连AH延长线交圆于G, 连PG交西姆松线与R,BC于Q 如图连其他相关线段 AHBC,PFBC=AG/PF=1=2 A.G.C.P共圆=2=3 PEAC,PFBC=P.E.F.C共圆=3=4 =1=4 PFBC =PR=RQ BHAC,AHBC=5=6 A.B.G.C共圆=6=7 =5=7 AGBC=BC垂直平分GH =

22、8=2=4 8+9=90,10+4=90=9=10 =HQ/DF =PM=MH 第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心，重心和垂心。 则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而G还是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直线上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中点。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上，并且两圆半径比为1:2 所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的反位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是正位似中心(相似点在位似中心的同一边)。 所以H到三角

23、形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上。垂径定理求助编辑百科名片 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC等于弧BC定义垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 逆定理：平分弦（不是直径）或平分弧的直径垂直于弦。 证明如图 ，在O中，DC为直径， AB是弦，ABDC，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 垂径定理证明图连OA、OB OA、OB是半径 OA=OB OAB是等腰三角形 ABDC AE=BE，AOE=BOE（等腰三角形三线合一） 弧AD=弧BD，AOC=B

24、OC 弧AC=弧BC 推论推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 1.平分弦所对的优弧 2.平分弦所对的劣弧 （前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧） 3.平分弦 (不是直径) 4.垂直于弦 5.经过圆心

25、 圆的有关性质知识点圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 大纲要求1 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系； 2 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个 圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一； 3 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半 径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是

26、对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系； 4 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的 圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； 5 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题； 6 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦在“过圆心”“垂直于另一条弦” “平分这另一条弦”“平分这另一条弦所对的劣弧”“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当为条件时要

27、对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。 考查重点与常见题型1 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学 生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（ ） (A)相等的圆

28、心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦 (C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 2 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重 点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。 二，知识点 相交弦定理、切割线定理及其推论 大纲要求 1 正误相交弦定理、切割线定理及其推论； 2 了解圆幂定理的内在联系； 3 熟练地应用定理解决有关问题； 4 注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似 三角形结合的产物。这几个定理

29、可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点； （2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。 考查重点与常见题型 证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空割线定理定义

30、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LALB=LCLD。如下图所示。(LT是切线） 相关及证明概述割线定理为圆幂定理之一，其他二为： 切割线定理 相交弦定理 证明如图直线ABP和CDP是自点P引的O的两条割线，则PAPB=PCPD 证明:连接AD、BC A和C都对弧BD 由圆周角定理，得 A=C 又APD=CPB ADPCBP AP:CP=DP:BP, 也就是APBP=CPDP 比较割线定理与相交弦定理，切割线定理通称为圆幂定理。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 如图中，切线长AC=AB。 ABO=ACO=90 BO=CO=半径 AO=AO公共边 RtABORtACO（H.L