2021年第八章第8节

1、第八章 第 8 节第 8 节立体几何中的向量方法二 求空间角最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的运算问题； 2.明白向量方法在讨论立体几何问题中的应用.知 识 梳 理1. 异面直线所成的角设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，就2a 与 b 的夹角 l1 与 l2 所成的角 范畴0， 0，第 26页求法cosab|a|b|cos |cos | |ab|a|b|2. 求直线与平面所成的角|a|n |设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，就 sin |cosa， n| |an |.3. 求二面角的大小(

2、1) 如图， ab，cd 是二面角 l的两个面内与棱 l 垂直的直线，就二面角的大小 ab ，cd.(2) 如图， n1，n2 分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，就二面角的大小 满意|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1 与 n2 的夹角或其补角 .常用结论与微点提示 1. 线面角 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值的肯定值，即 sin |cosa，n|，不要误记为 cos |cosa，n|.2. 二面角与法向量的夹角： 利用平面的法向量求二面角的大小时， 当求出两半平面 ， 的法向量 n1，n2 时，要依据向量坐标在图形中观看

3、法向量的方向，来 确定二面角与向量 n1， n2 的夹角是相等，仍是互补 .诊 断 自 测1.摸索辨析 在括号内打“”或“” (1) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(2) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. 3两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.4两异面直线夹角的范畴是0， 角的范畴是 0， .2 ，直线与平面所成角的范畴是0，2 ，二面解析 1两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；2直线的方向向量 a，平面的法向量 n，直线与平面所成的角为，就 sin |cosa，n|； 3两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角

4、.答案 1 2 3 42.教材练习改编 已知两平面的法向量分别为m 0，1，0，n 0， 1，1，就两平面所成的二面角为 a.45b.135c.45或 135d.90解析 cosm， n mn 1 2m，n 45.|m|n|1 22 ，即两平面所成二面角为 45或18045135.答案 c3. 已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，如cosm， n1 2，就 l 与 所成的角为.11解析 设 l 与 所成角为 ，cosm ，n 2， sin | cosm，n|2，0 90，30.答案 304. 已知正方体 abcd a1b1c1d1 如下列图，就直线 b1d 和 cd1

5、所成的角为.解析 以 a 为原点， ab ，ad ，aa 1分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，就cd1 1，0，1，b1d 1，1，1 01 1，coscd1， b1d 2 30.所以两直线所成的角为90.答案 905.2021 郑州猜测 过正方形 abcd 的顶点 a 作线段 pa平面 abcd ，如 ab pa，就平面 abp 与平面 cdp 所成的二面角为.解析 如图，建立空间直角坐标系， 设 abpa 1，就 a0， 0，0， d0，1，0，p0， 0， 1，由题意， ad平面 pab， 设 e 为 pd 的中点，连接 ae，就 aepd，又 cd平面

6、 pad，011cdae ，从而 ae 平面 pcd.所以ad0，1，0， ae面 pab，平面 pcd 的法向量，且 ad ，ae 45.故平面 pab 与平面 pcd 所成的二面角为 45.答案 45考点一用空间向量求异面直线所成的角，2，2 分别是平【例 1】 1一题多解 2021 全国卷已知直三棱柱 abca1b1c1 中， abc 120，ab 2，bccc1 1，就异面直线 ab 1 与 bc1 所成角的余弦值为 2a. 3b. 15c. 10d. 355322021 湖南五市联考 有公共边的等边三角形 abc 和 bcd 所在平面相互垂直， 就异面直线 ab 和 cd 所成角的余

7、弦值为.解析 1法一 以 b 为原点，建立如图 1所示的空间直角坐标系 .图1图2就 b0，0，0， b10，0，1， c11，0，1.又在abc 中，abc 120，ab 2，就 a 1， 3， 0.所以ab 11， 3，1， bc11，0，1，ab 1 bc1就 cosab 1，bc1 |ab1|bc1|（1， 3，1）（ 1， 0， 1）5 22105，5 210因此，异面直线 ab 1 与 bc1 所成角的余弦值为 5 .法二 如图2，设 m， n，p 分别为 ab，bb 1，b1c1 中点，就 pnbc1，mn ab 1，ab 1 与 bc1 所成的角是 mnp 或其补角 .ab 2

8、，bccc1 1，1512mn 2ab 1 2 ， np 2bc1 2 .取 bc 的中点 q，连接 pq，mq ，就可知 pqm 为直角三角形，且 pq 1，mq，1ac 2在abc 中， ac2ab 2bc22abbccosabc1 4 1 2 2 1 2 7， ac 7，2 ，711就 mq 2 ，就mqp 中， mp mq 2pq2mn 2 np2pm 2就pmn 中， cospnm 2mn np5 22 22 25211 2210 5 ，22 210又异面直线所成角范畴为 0， 2 ，就余弦值为 5 .法三 将直三棱柱 abca1b1c1 补形成直四棱柱 abcd a1b1c1d1如

9、图3， 连接 ad 1， b1d1，就 ad 1bc1.图3就b1ad 1 为异面直线 ab1 与 bc1 所成的角 或其补角 ，易求得 ab 1 5，bc1ad1 2，b 1d1 3.10由余弦定理得 cosb1ad 1 5 .2设等边三角形的边长为2.取 bc 的中点 o，连接 oa，od，等边三角形 abc 和 bcd 所在平面相互垂直， oa，oc，od 两两垂直，以 o 为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系 .就 a0，0， 3， b0， 1，0，c0， 1， 0，d3，0，0，ab 0， 1， 3， cd 3， 1，0，cosab， cd abcd11|ab|cd|224，14

10、异面直线 ab 和 cd 所成角的余弦值为 .4答案 1c21规律方法1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是： 1选好基底或建立空间直角坐标系； 2求出两直线的方向向量v 1， v2；3代入公式 |cosv 1，v 2|v 1v 2| |v 1|v2|求解.，2.两异面直线所成角的范畴是 0 ，两向量的夹角 的范畴是 0，当2异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时， 就是该异面直线的夹角； 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练 1】 一题多解 直三棱柱 abca1b1c1 中， bca90， m， n 分别2是 a1b1，a1c1 的中点， bccacc1，

11、就 bm 与 an 所成角的余弦值为 a.c.b.123051010d.2解析 法一 取 bc 的中点 q，连接 qn，aq，易知 bm qn， 就anq 或其补角即为所求，设 bccacc1 2，就 aq 5，an 5，qn 6，an 2 nq2aq2565630cosanq 2an nq 25623010 ，应选 c.法二 以 c1 为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系， 设 bccacc1 2，就 a2，0，2，n1，0，0，m 1，1，0， b 0，2，2，an 1，0， 2， bm 1， 1， 2，an bm 1 4330cosan， bm 5 10 .答案 c|an |bm |

12、630考点二用空间向量求线面角【例 2】 2021 洛阳二模 已知三棱锥a bcd， ad平面bcd，bdcd，ad bd 2，cd 2 3，e，f 分别是 ac， bc 的中点， p 为线段 bc 上一点，且 cp2pb.(1) 求证： ap de ；(2) 求直线 ac 与平面 def 所成角的正弦值 . 1证明作 pg bd 交 cd 于 g，连接 ag. cgcp12gd pb2， gd3cd33.ad平面 bcd， addc，在 adg 中， tangad 33dag 30，在 rt adc 中， ac2ad 2cd2412 16，ac 4，又 e 为 ac 的中点， de ae2，

13、又 ad2， ade 60， agde .ad平面 bcd， adbd，又 bdcd，ad cdd， bd平面 adc，pg平面 adc， pg de .又 agpgg， de 平面 agp， 又 ap. 平面 agp，ap de.2解 以 d 为坐标原点，直线 db ，dc，da 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 dxyz，就 d0，0，0，a0，0， 2，b2，0，0，c0，23，0， e0， 3， 1，f 1， 3，0， df 1， 3，0，de 0， 3，1，ac0， 23， 2.设平面 def 的法向量为 nx，y，z，df n 0， 就即de n0，x 3y

14、0， 3yz 0，令 x3，就 n 3， 3，3为平面 def 的一个法向量 .设直线 ac 与平面 def 所成角为 ，|acn|66|21就 sin |cosac，n |ac| |n|，74217 .所以 ac 与平面 def 所成角的正弦值为21规律方法利用向量法求线面角的方法：(1) 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角或其补角 ；(2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练 2】 如图，在六面体 abcd hefg 中，四边形 abcd为菱形， ae ，bf ，cg，

15、dh 都垂直于平面 abcd.如 da dh db 4， ae cg3. 1求证： egdf ；2求 be 与平面 efgh 所成角的正弦值 .(1) 证明连接 ac，由 ae 綉 cg 可知四边形 aegc 为平行四边形， 所以 egac，而 acbd，acbf ，所以 egbd， eg bf，由于 bdbf b， bd， bf . 平面 bdhf ， 所以 eg平面 bdhf ，又 df . 平面 bdhf ，所以 egdf .(2) 解 设 acbd o， eg hf p， 由已知可得，平面 adhe 平面 bcgf ， 所以 eh fg，同理可得： ef hg ， 所以四边形 efgh

16、 为平行四边形，所以 p 为 eg 的中点， o 为 ac 的中点， 所以 op 綉 ae，从而 op平面 abcd ，又 oaob，所以 oa，ob， op 两两垂直， 由平面几何学问，得 bf 2.分别以 oa，ob，op的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 oxyz，就 b0，2，0， e23， 0， 3，f 0， 2， 2， p0，0，3，所以 be 23， 2， 3， pe23， 0，0， pf0， 2， 1.设平面 efgh 的法向量为 nx，y，z，pe n 0，由可得pf n0x 0， 2yz0，令 y1，就 z2.所以 n0， 1， 2为平面 ef

17、gh 的一个法向量 .设 be 与平面 efgh 所成角为 ，|be n|45就 sin |be | |n |25 .25 .所以 be 与平面 efgh 所成角的正弦值为 45考点三用空间向量求二面角 多维探究 命题角度 1运算二面角的大小【例 31】 2021 全国 卷如图，在四棱锥 p abcd 中，abcd，且 bap cdp90. 1证明：平面 pab平面 pad；2如 papdabdc， apd 90，求二面角 a-pb-c 的余弦值 . 1证明bap cdp 90，paab ， pd cd，又 abcd， pdab，又 pdpa p，pd，pa. 平面 pad，ab平面 pad，

18、又 ab. 平面 pab，平面 pab平面 pad.2解 取 ad 中点 o，bc 中点 e，连接 po， oe，ab 綉 cd，四边形 abcd 为平行四边形，oe 綉 ab.由1知， ab平面 pad，oe平面 pad，又 po，ad. 平面 pad，oepo，oead， 又 pa pd， poad，po， oe，ad 两两垂直，以 o 为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系o xyz.设 pa2， d 2， 0， 0， b2， 2， 0，p0，0， 2， c 2， 2，0. pd 2，0， 2，pb2，2， 2，bc 2 2，0， 0，设 nx，y， z为平面 pbc 的法向量，npb

19、 0，由得n bc02x2y 2z0， 22x0.令 y1，就 z 2，x0，得平面 pbc 的一个法向量 n 0， 1， 2， apd90， pdpa，又知 ab平面 pad，pd. 平面 pad，pdab，又 paaba，pa，ab. 平面 pab，pd平面 pab，故pd是平面 pab 的一个法向量， pd 2，0， 2，cospd， npdn2 3 3 ，|pd| |n |233 .由图知二面角 a pb c 为钝角， 所以它的余弦值为3命题角度 2已知二面角的大小求值【例 3 2】 2021 黄冈二模 在如下列图的几何体中，平面adnm 平面 abcd ，四边形 abcd 是菱形，

20、adnm 是矩形， dab 3 ，ab2，am 1， e 是 ab 的中点.(1) 求证：平面 dem 平面 abm ；(2) 在线段 am 上是否存在点 p，使二面角 p ec d 的大小为出 ap 的长；如不存在，请说明理由.4 ？如存在，求1证明连接 bd，由于四边形 abcd 是菱形， dab 所以 de ab，3 ，e 是 ab 的中点，由于四边形 adnm 是矩形，ma ad ，平面 adnm 平面 abcd 且交线为 ad，所以 ma 平面 abcd，又 de . 平面 abcd，所以 de am .又 am aba， am ， ab. 平面 abm， 所以 de 平面 abm

21、，又 de . 平面 dem ，所以平面 dem 平面 abm . 2解 在线段 am 存在点 p，理由如下：由 de ab，ab cd，得 de cd，由于四边形 adnm 是矩形，平面 adnm 平面 abcd 且交线为 ad，所以 nd 平面 abcd .以 d 为原点， de ，dc，dn 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如下列图的坐标系 .就 d0，0，0， e3， 0， 0，c0， 2， 0，n0，0，1， ec 3，2，0，设 p3， 1，m0m 1，就ep0， 1，m，易知平面 ecd 的一个法向量为 dn 0， 0， 1.设平面 pec 的法向量为 nx，y， z，

22、就n ec0，nep0，即 3x 2y 0， 取 z1，就 n 2m，m， 1 ， ymz 0，3假设在线段 am 上存在点 p，使二面角 pecd 的大小为 4 ，n 就dn1 21cos 4m2. m，34|n|dn |m2177 .所以符合题意的点 p 存在，此时 ap 21规律方法1.利用空间向量运算二面角大小的常用方法：(1) 找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个 平面的法向量的夹角得到二面角的大小， 但要留意结合实际图形判定所求角的大小.(2) 找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，就这两个向量的夹角的大

23、小就是二面角的大小.2.利用向量法求二面角大小的留意点(1) 建立空间直角坐标系时，如垂直关系不明确，应先给出证明；(2) 对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观看，判定该法向量是否已经隐含着，不用单独求 .(3) 留意判定二面角的平面角是锐角仍是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.df【训练 3】 2021 山东卷 如图，几何体是圆柱的一部分， 它是由矩形 abcd 及其内部 以ab 边所在直线为旋转轴旋转 120得到的， g 是 的中点.ce(1) 设 p 是 上的一点，且 apbe，求 cbp 的大小；2一题多解 当 ab 3， ad2 时，求二面角 e ag c的大小.解 1由

24、于 apbe，ab be， ab，ap. 平面 abp，abapa， 所以 be平面 abp，图 1又 bp. 平面 abp，所以 bebp，又 ebc120，因此 cbp30.ec(2) 法一如图 1，取 的中点 h，连接 eh ， gh，ch .由于 ebc120，所以四边形 behc 为菱形，所以 aege acgc 3222 13.取 ag 中点 m，连接 em ，cm ，ec， 就 em ag，cm ag，所以， emc 为所求二面角的平面角 .又 am 1，所以 em cm 13 1 23.在 bec 中，由于 ebc120，由余弦定理得 ec2222222 2 cos 120 1

25、2， 所以 ec 23，因此 emc 为等边三角形，故所求的角为 60.法二图 2以 b 为坐标原点，分别以be， bp， ba 所在的直线为 x， y，z 轴，建立如图 2所示的空间直角坐标系 .由题意得 a0， 0，3， e2，0，0，g1， 3，3，c 1， 3，0， 故ae 2，0， 3， ag1， 3，0， cg 2，0，3.设 mx1，y1， z1是平面 aeg 的法向量 .m ae 0，由可得mag 0，2x13z10，x1 3y1 0.取 z12，可得平面 aeg 的一个法向量 m3， 3，2.设 nx2， y2， z2是平面 acg 的法向量 .nag 0，由可得n cg 0

26、，x2 3y20， 2x23z2 0.取 z2 2，可得平面 acg 的一个法向量 n3， 3， 2.所以 cosm，n mn 1|m| |n|2.因此所求的角为 60.1.如直线 l 的方向向量与平面的法向量的夹角等于 120，就直线 l 与平面 所成的角等于 a.120 c.30b.60d.60或 30解析 设直线 l 与平面 所成的角为 ，直线 l 与平面 的法向量的夹角为 .就 sin |cos |cos 120|12.又 0 90，30.答案 c2.在正方体 a1b1c1d1 abcd 中， ac 与 b1d 所成角大小为 a. 6b. 4c. 3d. 2解析建立如下列图的空间直角坐

27、标系，设正方体边长为1，就 a0，0，0，c1， 1， 0，b 11， 0， 1，d0，1，0. 1， 1， 0， 1，1， 1，acb1dacbd1111010，1acbd，1ac 与 b1d 所成的角为 2 .一、挑选题基础巩固题组建议用时： 40 分钟答案 d3.2021 郑州调研 在正方体 abcd a1b1c1d1 中， bb1 与平面 acd1 所成角的正弦值为2a. 3b. 3c.3d.2355解析 设正方体的棱长为 1，以 d 为坐标原点， da ，dc，dd 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如下列图.就 b1，1，0， b11，1，1，a1，0

28、，0， c0， 1， 0，d1 0，0，1，所以bb 10，0，1，ac1，1，0，ad 1 1， 0， 1.令平面 acd1 的法向量为 nx， y， z，就 nac xy0，nad 1 xz 0，令 x1，可得 n1， 1， 1，所以 sin |cosn，bb 1|13.313答案 b4. 在正方体 abcd a1b1c1d1 中，点 e 为 bb 1 的中点，就平面 a1ed 与平面 abcd所成的锐二面角的余弦值为 2a. 1b.2c. 3d. 2332解析 以 a 为原点建立如下列图的空间直角坐标系a xyz，设棱长为 1， 就 a10， 0， 1，2e 1， 0， 1，d0，1，0

29、，1ad 0，1， 1，1a1e 1，0， 2 ，设平面 a1ed 的一个法向量为 n11，y，z，所以有a1dn10，即yz0，21解得z2.y2，a1en10，1 z 0，n1 1，2，2.平面abcd 的一个法向量为 n20，0，1，223 cosn1，n2 31.2即所成的锐二面角的余弦值为 3.答案 b5. 设正方体 abcd a1b1c1d1 的棱长为 2，就点 d1 到平面 a1bd 的距离是 2a. 3b. 2c. 2 2d.23233解析 如图建立坐标系 .就 d10，0，2， a12，0，2， b2，2， 0，d1 a12， 0， 0， db 2， 2， 0，da 12，0

30、，2.设平面 a1bd 的法向量为nx， y， z，就nda 10，ndb 0，2x2z0，2x2y0，令 z1，得 n1， 1， 1.d1 到平面 a1bd 的距离 d|d1a1n |n|223 3 .3答案 d二、填空题6.2021 昆明月考 如下列图，在三棱柱 abc a1b1c1 中， aa 1 底面 abc，abbcaa1，abc90，点 e，f 分别是棱ab，bb 1 的中点，就直线 ef 和 bc1 所成的角是 .解析 以 bc 为 x 轴，ba 为 y 轴，bb 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系.设 abbcaa 1 2，就 c12， 0， 2，e0，1，0， f 0，0，1

31、，就ef 0， 1，1， bc12， 0， 2，ef bc12，22cosef ，bc1221 2，ef 和 bc1 所成的角为 60.答案 607. 在正四棱柱 abcd a1b1c1d1 中， aa12ab，就 cd 与平面bdc 1 所成角的正弦值等于.解析 以 d 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa1 2ab 2，就 d0，0，0， c0，1， 0，b1，1，0，c10，1，db2，就dc0， 1，0， 1，1，0，dc10，1， 2.设平面 bdc1 的法向量为 nx，y，z，就x y 0，ndb 0， ndc10，所以有y 2z0，令 y 2，得平面 bdc 1 的一个法

32、向量 n 2， 2，1.设 cd 与平面 bdc 1 所成的角为 ，就sin |cosn，dc|ndc23答案 2|n|dc|3.8. 已知点 e，f 分别在正方体 abcd a1b1c1d1 的棱 bb 1，cc1 上，且 b1e 2eb ， cf 2fc 1，就平面 aef 与平面 abc 所成的二面角的正切值等于 .解析 延长 fe ，cb 相交于点 g，连接 ag，如下列图 .设正方体的棱长为 3，就 gbbc3，作 bh ag 于点 h ，第 18页连接 eh ，就ehb 为所求二面角的平面角 .32bh 2 ，eb1，eb2tan ehb bh 3 .3答案2三、解答题9. 如图，

33、在四棱锥 pabcd 中，pa平面 abcd ，底面 abcd为菱形， ab 2， bad 60 . 1求证： bd平面 pac；2如 paab，求 pb 与 ac 所成角的余弦值 .(1) 证明由于四边形 abcd 是菱形，所以 acbd.由于 pa平面 abcd ，bd. 平面 abcd，所以 pabd .又由于 ac pa a， ac， pa. 平面 pac， 所以 bd平面 pac.(2) 解 设 acbd o，由于 bad 60， paab2， 所以 bo1，ao co 3.如图，以 o 为坐标原点，建立空间直角坐标系o xyz.就 p0， 3，2， a0， 3， 0， b1，0，0

34、，c0， 3， 0.所以pb1， 3， 2，ac0，23，0.设 pb 与 ac 所成角为 ，pb ac6 6第 27页就 cos 22 4 ，|pb|ac|234 .故 pb 与 ac 所成角的余弦值为610.2021 北京卷 如图，在四棱锥 p abcd 中，底面 abcd 为正方形，平面 pad 平面 abcd ，点 m 在线段 pb 上， pd平面 mac ，papd 6，ab4.(1) 求证： m 为 pb 的中点；(2) 求二面角 b pd a 的大小；(3) 求直线 mc 与平面 bdp 所成角的正弦值 . 1证明设 ac bdo，连接 om.pd平面 mac 且平面 pbd平面

35、 mac mo ，pd mo .四边形 abcd 是正方形，o 为 bd 中点，所以 m 为 pb 中点. 2解 取 ad 中点 e，连接 pe.papd， pead，又平面 pad平面 abcd 且平面 pad平面 abcd ad， pe. 平面 pad，pe平面 abcd，oe. 平面 abcd ， peoe，四边形 abcd 是正方形，所以 oead.建立如下列图空间直角坐标系，就 b 2， 4， 0， p0， 0， 2，d2，0， 0， 易知平面 pda 的一个法向量 m0， 1， 0.设平面 bpd 的法向量 nx0，y0，z0，就ndp（ x0，y0，z0） （ 2， 0， 2）

36、2x0 2z0 0，n db （ x0，y0，z0） （ 4， 4， 0） 4x0 4y0 0，令 x1，就 y1，z 2.可取 n1， 1， 2.|m|n|设二面角 b pda 的平面角为 易知为锐角 ， 就 cos |cosm， n| mn1111212（ 2） 2 2， 3 ，故二面角 b pd a 的大小为 3 .23解 由2可知 m 1， 2， 2， c2， 4，0，2mc 3， 2， 2 .设直线 mc 与平面 bdp 所成的角为 ，就有sin |cosmc ，n|3 2 1|mc n|mc | |n |262 2 9 .21 1（ 2）23222 .直线 mc 与平面 bdp 所成角的正弦值为 269才能提升题组建议用时： 20 分钟 11.2021 济南质检 如下列图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 abca1b1c1，cacc1 2cb，就直线 bc1 与直线 ab 1夹角的