第六章能量泛函的转换形式及其应用(16K)

1、第六章 能量泛函的转换形式及其应用6.1 总位能泛函转换形式及其应用由4.1节中的（4-16）式，定义了总位能泛函，即 （4-16）该泛函为单变量变分原理，其自变量要求满足位移应变关系及位移边界条件，即所以，这种变分原理是有条件的，并可以进一步证明总位能原理是极小值原理，解的收敛性得到保证。这种原理是目前广为流行的绝大部分有限元素模型的基础，比较理想的情形是“保续元”的建立，而放松某些边界协调条件则构成了有限元素法中的“非保续元”。【例1】 梁元素的总位能泛函及其变换。图6-1所示的一维梁，承受横向分布载荷，简支端（）作用一集中力矩，梁的另一端为固持。显然，其边界条件为： 图6-1 一维弯曲梁

2、：，及 6-1）总位能泛函根据定义可写为 （6-2）其中 （应变能） （6-3） （外力位能） （6-4）上面各式中，表示挠度，它是坐标的函数，而与分别代表及。现在对总位能取一阶变分， （6-5）当弯曲刚度沿长度不变时，可将它放在积分号之前，再利用Green公式，可得 （6-6）将（6-6）式代入（6-5）式中，利用条件（6-1）式，整理后可得 （6-7）现令（6-7）的，利用变分法中的预备定理，可得到 （6-8） （6-9）（6-8）式即为平衡方程，与材料力学所导出的公式完全一致，（6-9）式为力的边界条件，即相当于（6-1）式中的最后一个公式。以上的分析再次验证了总位能泛函的驻值条件是等价

3、于平衡方程的。应当指出，方程（6-8）对自变量即挠度要求它具有四阶可微，而泛函（6-2）中最高可微阶次为两次。显然，定义泛函的自变量的因次可能满足不了平衡方程（6-8）的要求，从这一点来说，直接利用泛函（6-2）来导出的离散型式有限元素法模型，对自变量阶次的要求可能要低得多，这对选择自变量的函数形式带来方便。在连续体力学中所求寻的解一般都具有高阶可微性，且满足微分方程及所有的边界条件。有限元素法情形却不一样，它的解是用有限个自由度来表示的，且是分片光滑函数，这些函数的可微性一般均低于微分方程式中导数的最高阶数。【例2】 图6-2为一维梁元素，节点位移分别为，下标1代表节点1的，下标2代表节点2

4、的，节点位移列阵为 （6-10）因为节点位移有四个，我们以3次多项式表达挠度，即 （6-11）或 （6-12）图6-2 一维梁元素式中： 显然，（6-11）式的阶次并不满足平衡方程式（6-8）。利用节点位移（6-10）式，可得 （6-13）则（6-12）式化为 （6-14）式（6-14）中的矩阵为位移插值函数，其物理涵意在一般有限元书中均有说明。下面由式（6-14）式导出几何矩阵，梁的弯曲应变为 （6-15）（6-15）式中的阵为 （6-16）将（6-14）式中的代入（6-16）式，可求出几何矩阵为最后，利用（4-16）式求出梁的总位能泛函为 （6-17）式中为梁的抗弯模量，为梁横截面关于轴的

5、惯性矩。由泛函的驻值条件，即，可得 （6-18）式中 （6-19）为梁元素的等效节点力。利用能量法求近似解的方法较多，其中Rayleigh-Ritz法是一种有效而应用得比较多的一种方法。其主要是选用一系列满足位移边界条件的函数来离散实际位移，如 （6-20）为待定参数。将上式代入总位能泛函中，得到以为独立变量的泛函如利用泛函驻值条件， （6-21）得到一组代数方程式， （6-22）譬如对于图6-1所示的一端固持一端简支的梁，（6-1）式表示其边界条件。现取 （6-23）显然，（6-23）式是满足位移边界条件的两个连续函数。梁的可能挠度可取为 （6-24）这类函数的形式甚多，这里不在列举。【例3

6、】 薄板的总位能泛函及其变换形式。总位能泛函在薄板中也得到广泛应用。下面我们讨论略去横向剪切效应的Kirchhoff板的总位能泛函的形成过程。图6-3为板边界的正向边界力的规定，表示给定的边界力，为分布法向载荷。图6-3 弯曲板正向边界力其应变能为 （6-25），为板的曲率，在一般薄板弯曲理论中可以查到各基本公式，如 （6-26） （6-27）式中，是材料的泊松系数。将（6-26）式和（6-27）式代入（6-25）式中，可求得 （6-28）给定边界上的外力是由以下几部分组成：表面法向载荷、法向给定边界力矩及等效给定剪力组成，于是外力位能等于 (6-29)式中表示力的给定边界，而用表示位移给定边

7、界。总位能泛函为 （6-30）（6-30）式给出的薄板总位能泛函的一般形式。对于具体薄板（给定位移边界及力边界条件等各种情形），上式应作相应调整。譬如对四边简支矩形板，承受分布载荷，如图6-4所示，泛函（6-30）式只保留前两项积分。图6-4 四边简支矩形板如果利用Rayleigh-Ritz法求解，可取三角函数来求挠度，如下面的形式， （6-31）泛函（6-30）可改写为 （6-32）对（6-31）式求导，并利用三角函数积分正交性，再代入（6-32）式后，可得 （6-33）最后，利用总位能的驻值条件 （6-34）得到一组代数方程，从而求出系数，并得到挠度值。总位能原理泛函为位移协调元素模型的建

8、立作出了贡献，问题的实质是由变分泛函直接形成离散的有限元素模型，而不是通过变分运算得到微分方程。元素刚度矩阵的形成过程在有限元专著中均可查到，这里只简单的回顾一下。如图6-5所示的矩形弯曲薄板，节点位移为 （6-35）图6-5 矩形弯曲板元其中，、分别表示节点挠度、转角等。通过双线性插值函数，完成位移的离散，如 （6-36）式中都是的四次多项式（各式可查阅有限元素法教材）。应变与节点位移关系，是由几何矩阵体现的，如 （6-37）几何矩阵为312矩阵现将（6-36）式和（6-37）式代入总位能泛函，经过整理后，可得 （6-38）式中，刚度矩阵 （6-39）等效节点力 （6-40）（6-40）式为

9、实际作用到节点上的载荷，它组成等效节点载荷的一部分。由驻值条件，得到薄板弯曲时的刚度方程为 （6-41）【例4】 现在讨论图6-6所示薄板的屈曲失稳情形。在失稳之前，我们假定在薄板的中面上承受平面应力和，这里表示一比例常数（有的书上用表示）。这些应力可视为初应力，它们均满足平衡条件和力的边界条件（忽略体力）： （在体积V内） 图6-6 薄板的屈曲失稳 （在或上）（6-42）另一种边界为位移边界（或称），对于总位能泛函，则需要预先给定，如及 （在上） （6-43）薄板的中面力可以用单位长度上的力表示，这部分力可视为在失稳过程中是不改变大小与方向的常量，由于中面的平面内的变形，这些力所作用的功为

10、（6-44）注意积分号内的等以压力为正，所以在积分号内各力在计算时均取正值。将（6-44）式代入总位能泛函，则可写出 （6-45）式中挠度为独立变量，从总位能泛函自变量的约束条件要求，则必须满足给定的边界条件如（6-43）式之边界等。经过对（6-45）式泛函自变量的离散化，并按有限元素法刚度方程的形成过程，最后可求得一组特征方程，并由此而求出其特征根，确定了失稳临界系数。6.2 总余能泛函转换形式及其应用由4.1节中的（4-22）式定义了总余能泛函为 （4-22）该泛函为单变量泛函，自变量为力或广义力，泛函成立的约束条件是自变量处处满足平衡方程及力的边界条件，这与总位能原理相对应，它同总位能原

11、理类似，也是属于两种不同场量的经典变分原理。总余能原理在有限元素法中的应用，不如总位能原理广泛，而它对构造应力杂交模型作出了贡献，为有限元法开辟了另一领域。为了与总位能泛函有所区分，这里用U*、V*分别表示余应变能及外力余功，总余能泛函表示为 （6-46）式中 （6-47a,b）如果讨论的对象为平面应力板，则应力分量可以表示为 （6-48）现在引用应力函数，在不考虑体力的情形下，应力函数与应力分量的关系为 （6-49）应力函数满足平衡方程 （6-50）现将（6-49）式代入（6-48）式，（6-48）式又可以表示为 （6-51）显然，（6-51）式中之表示以二阶导数微分算子前乘应力函数。以上引

12、入应力函数的目的是为了用节点应力函数（包括导数）来离散元素应力，这恰如基于位移法的有限元法中以节点位移来离散位移有相似之处。对于图6-7所示的边长为和的矩形平面元素，节点编号为），节点应力函数为 （6-52）由（6-52）式可以分别表示元素的4个节点参数。如果11-21边为应力给定的边，则应有图6-7 矩形平面板元素为了保证元素与元素之间的协调，这里采用了Hermitan插值函数，对自然坐标可分别写出各插值函数为 （6-53）及 （6-54）应力函数可以由下式插值完成 （6-55）形函数展开后，为以下161列阵形式 （6-56）对应于形函数的节点应力函数参数为 （6-57）式中均表示对、及的导

13、数。利用（6-51）式和（6-55）式，元素应力可表示为 （6-58）将（6-58）式代入余应变能（6-47a）式中，（6-47a）式可以转换为 （6-59）上式中的即为元素的柔度矩阵，为（1616）的对称矩阵，且 （6-60）为了保证元素与元素间的协调，则需要应力函数及其导数沿边界保持连续条件，这种连续条件可以由双三阶Hermitan插值予以保证。这些元素均属于元素相交边界，对于那些应力指定的边界上，这些应力属于已知量或称为边界力，这部分边界力的平衡关系在应力函数中难以满足，因此，对总位能泛函应作松弛处理，或者说以Lagrange乘子项对总余能泛函进行修正。对于图6-7所示的11-12边界上

14、的指定应力为及的情形， （6-61） （6-62）如果已知边界上指定的力为 （6-63）图6-8 五次锸值函数从（6-61）式及（6-62）式中，边界应力还需要应力函数的二阶偏导与，所以上述的插值对边界来说是不够的，故必须引入满足二阶导数条件的五次插值函数，如图6-8所示。为了与一般元素的应力函数有别，对应力边界元素现在以表示其应力函数。插值函数为 （6-64）且 （6-65）为了更简洁，这里的一般插值函数表示为 （6-66）则应力函数为 （67）如果图6-7所示的元素为边界上的一个元素，为了满足（6-51）式的要求，该元素的应力函数可表示为 （6-68）这里形函数的顺序可以重新按的对应顺序排

15、列一下及 （6-70）式见下页。现在利用（6-68）式，将（6-68）式代入（6-61）式与（6-62）式，并合并此两式，如下 （6-71）再利用力的边界条件，将（6-71）式及（6-63）式代入后，可得 （6-72）（6-72）式即为边界力平衡方程。依上类似，如果边界元素两边均承受已给定的应力，如、及，如图6-9所示。边界力为，及，及图6-9 两边承受给定应力的边界元素对11-21及11-12两条边均需引用（6-64）式的插值函数，为清晰起见，可用下表表示：125（6-73）（6-73）式中的为10次多项式，这样的形函数为10次函数。而且这种排列是十分规律的，对任意扩大的各种力的边界都十分方

16、便，其中包含有与，所有的边界应力均可得到满足。边界元素的节点参数由（6-73）式不难写出 （6-74）下一步是按照有限元素法常规过程进行，将各元素的局部自由度，向结构总体自由度过渡，如 （6-75）由于自变量应力函数对边界条件（6-72）是松弛的，故（4-22）式的总余能泛函必须将部分松弛条件以Lagrange乘子相乘计入总余能泛函参考（6-47a）式，形成如下形式的松弛泛函，如 （6-76）取式（6-76）的驻值条件即，自变量为及，于是有以下各式 ： （6-77） ： （6-78）将（6-77）式与（6-78）式合并，得 （6-79）由（6-79）式的第一式，可得 （6-80）再取（6-79

17、）式第二式，并将（6-80）式代入，可得取，则上式可转化为及 （6-81）将（6-81）式代入（6-77）式中，则有 （6-82）式中 （6-83）（6-82）式为最终公式，不妨称为广义位移，为广义柔度矩阵，显然，它具有对称带状等特点，因此，对计算带来很大的方便。6.3 混合泛函变分原理及其变换形式由4.1节中的（4-31）式，混合泛函是二场量泛函，即应力场与位移场处于平等地位，显然该泛函与上面两种形式的泛函有别。该泛函定义为 （4-31）混合变分原理泛函具有下列特点：首先，它是二变量变分原理，两种场变量应力与位移在泛函中具有彼此独立的平等地位，这一点与不完全广义变分原理及各类杂交元素不同，更

18、不能理解混合变分原理只是某种单变量变分原理泛函的另一种表达形式，这是一种不正确的理解。其次，对（4-31）式取驻值条件，它可以导出弹性力学的平衡方程、协调关系、力的边界条件（上）及位移边界协调条件（上），所以，它是一种无条件变分原理。如果将（4-31）式中等号右边第一项用分部积分展开，则有 （6-84）将它代入（4-31）式，不难求得下式 （6-85）显然可见，（6-84）式的泛函等于二变量广义泛函，由4.2.节已知，是一个无条件的完全广义泛函。混合泛函在薄板分析用得比较多，所载的有关文献大都属于薄板分析方面的问题。因为用Reissner泛函表示薄板时，自变量（挠度）需要二阶导数，对实际假定带

19、来不便，Herrman则在原有的Reissner泛函的基础上进行转化，形成了Herrman-Reissne泛函。Reissne泛函用于薄板的弯曲，在边界条件力的边界上： ；及 （6-87）位移边界上： （法向导数） （6-88）的情形下，泛函写为 （6-89）式中，为曲率，且，（6-89）式的泛函不要求连续，而曲率为挠度的二阶导数，需要一阶导数连续，构造这样一个高阶导数的挠度模式，往往对计算带来一些麻烦。所以，Herman在Reissner泛函的基础上进行了改造，最后得到Herman泛函，具体作法如下。第一项为 （A）其中，各项可以由分部积分而得到 （B）将（B）式代入（A）式，并引用变换公式

20、：（） (C)及弯矩及扭矩的公式（参考图6-10所示力矩方向）图6-10 力矩变换 （D）（A）式可化为 （6-90）式中 (6-91)显然，Herrman泛函只需要挠度的一阶导数，也就是说，挠度函数要求连续，与Reissner泛函比较，其对挠度函数的要求降低了，该泛函第三项周边积分中，第一项为单元的整个周边积分，第二项是在应力边界上进行的，第三项是指定不向转角那一部分上进行的。Herrman泛函同样属于二变量变分原理，对薄板来说，是取挠度与弯矩为自变量的，两者彼此独立选取，这与经典的单变量变分原理不同。因此，可以对挠度与力矩分别插值，如取挠度为 （6-92）及力矩为 （6-93）式中为元素节

21、点广义位移；为对应于静定基的节点力，其取法与平衡模型相同。将（6-92）、（6-93）式代入（6-90）式中，得下式 （6-94）式中 （6-95a,b,c,d）由（6-94）式的驻值条件，可得以下两式上式可并于一矩阵形式方程 （6-96）由（6-96）式第一式，可求得 （6-97）将（6-97）式代入（6-96）式之第二式中，整理后可得 （6-98）式中，刚度矩阵 （99）等效节点力 （6-100）（6-98）式为混合变分泛函的刚度方程。【例5】 混合变分泛函在常弯矩三角形薄板元素中的应用及变换。此种元素共有6个节点, 如图6-11所示，三个角节点提供三个节点位移，如图6-11 常弯矩三角形

22、薄板元素而三个边中点节点提供了法向弯矩为元素的挠度可用面积坐标插值，如 （6-101）元素的弯矩假定为常弯矩，令表示之，如 （6-102）现在，我们用边中点的节点弯矩来表示这些常数，各边的轴的夹角为，由（D）式的第一式，由弹性力学不难写出以下各式，如 （6-103）并以矩阵方程表示，可写为 （6-104）式中利用（6-104）式，不难求出 （6-105）即可得 （6-106）由（D）式第二式，可求得边界上的扭矩如下 （6-107）式中再将（6-105）式代入（6-107）式，得到 （6-108）式中沿元素边界求切线方向导数，可以由（101）式求得由图6-11的三角元素节点编号，可将面积坐标用各

23、边的切线坐标表示，如式中表示边的长度，及 （6-109）式中因为中各元素均为常数，所以，由（6-95a，b）二式，可求得将、及代入（6-99）式，可求得元素刚度矩阵，同样，由（6-95c，d）二式，可求得及，或由（6-100）式可求得等效载荷。在由元素向全系统总体坐标集合时，只要有了元素刚度矩阵，则按常规过程集合可利用已有的程序进行即可以。以上所介绍的混合泛函元素是Herman在1997年提出的，该元素的优点是简便低阶，它只具有33阶的刚度，而计算精度则偏低。1969年Visser在这一模型的基础上，仍利用Herrman-Reissner泛函，进行了一些改善，形成了以下三角元素。这两篇著作发表

24、在：（1）L.Herman “Finite Element Bending Analysis for plate”, J. Eng. Mech. Div ASCE EM5 1967, p13-16.(2)W.Visser “A Refine Mixed-Type Plate Bending Element ”, J. AIAA VOL 7, NO.9, 1969.必要时可查阅参考。【例6】 混合模型变分泛函在线性弯曲三角形薄板元素中的应用及其变换。为了提高计算精度，可采用高阶函数来表示位移场与应力（弯矩）场，Visser提出了假定元素弯矩为线性分布、挠度为二次曲线、每个元素仍取6个节点（即三个

25、角节点及三个边的中点）的三角元素（图6-12）。元素的挠度取为（6-110）或式中图6-12 线性弯曲三角形薄板元元素弯矩为 （6-111）有了（6-110）与（6-111）式两个基本模式，就具备了利用混合Herrman泛函的转换条件，这里将给出几个基本的矩阵，利用这些矩阵代入（6-95）式不会有任何困难，并利用（6-99）式求出刚度矩阵。首先，余应变能为 （6-112）式中及再计算 （6-113）式中为69矩阵，分别表示节点的力矩，它们是参数的函数，见（6-111）式。变换后节点的力矩为，可由（D）式求得，且可用下列矩阵形式给出 （6-114）挠度为三角节点及三个边中点的挠度，如 （6-11

26、5）而节点力矩为三角节点的力矩，方向如图6-12所示。 （6-116）泛函线积分可计算如下 （6-117）式中 （6-118）矩阵的求法可如下进行。因为，现在令则上式可写成 （6-119）而 （6-120）将（6-119）代入（6-120）式，将各指定点的物理参数（）等代入后，（6-120）式可写为 （6-121）以上说明了（6-117）式的由来。（118）式中表示节点沿着边的扭矩，在节点的三个扭矩可用点的、表示如下（见（D）式）利用（6-114）式，可用三角元素的法向弯矩表示、及()。由于法向弯矩与相邻元素的未知量无关，利用（6-96）式第一式，由聚缩方法，可以消去它们，使原有的由（91）阶

27、降为（61）阶，即元素原有的自由度由15个降为12个。6.4 杂交模型对应的泛函及其应用杂交模型对应的变分原理泛函是一种修正广义变分原理泛函，它有效地利用独立假定边界场量，使边界相容条件得到满足，特别对某些结构，如薄板、薄壳及裂纹尖端应力计算中应用的比较多，对复合材料也比较适用。关于原理介绍可查阅本教材第四章。（1）应力杂交模型泛函及其应用。应力杂交模型泛函定义为（见（4-95）式） （6-122）（6-122）式中，为元素周边，它包括有 （6-123）为应力边界，为位移边界，为元素与元素间的共同边界。如果现在将（6-123）式代入（6-122）式中，则呈现的泛函具有更清晰的涵意，如 （6-1

28、33）上式为应力杂交泛函的另一种形式，式中、为相邻元素边界力。显然，（6-133）式泛函为一种不完全广义变分原理泛函，就泛函本身性质来说，元素中的平衡方程应作为自变量的约束条件。如果将位移边界条件（在上）代入（6-133）式末项，则（6-133）式可写为 （6-134）（6-134）式等号右边末两项可视为Lagrange乘子有关项，它起到松弛泛函部分约束条件的作用。【例7】 应力杂交元素之一：平面矩形元素。图6-13 应力杂交元素：平面矩形元素图6-13为一平面矩形元素，矩形元素的边长为、，坐标原点与节点1重合，、轴与两边重合。首先假定元素内部的应力场为 （6-135）则有 （6-136）式中

29、该应力满足平衡方程（略去体力）由(6-135)式可求出作用于各元素边界上的边界力，例如，在边界1-2上在2-3边界上同样，可求出其它两边界力，由此得到 （6-137）现在选择与应力完全独立的边界协调位移，而且边界位移可分片假设，如果各节点的位移为。现假定沿元素的边界位移为线性变化，即用元素的节点表示边界位移。例如，在边界2-3上位移为对其它条边也可以写出类似的式子，由此，得到边界位移如下 6-138）或将（6-136）、（6-137）与（6-138）各式代入下册教材第四章（6-74a,b）两式中，可得如果讨论的元素为内元素，泛函（6-122）式等号右边末项为零，则元素的刚度矩阵为（见下册第四章

30、（75）式）【例8】 应力杂交模型之二：裂纹尖端应力场的有限元法分析。图6-14表示一开口型裂纹尖端的模型。断裂力学尖端应力分析中已给出以下公式图6-14 应力杂交模型：裂纹尖端应力场的有限元法分析 （6-139）式中：为应力强度因子，为原点在尖端处的半径。首先假定应力，应力为 （6-140）该方程应满足平衡方程（6-140）式中，第一项之参数为由一般参数组成，当然它必须满足平衡方程，第二项是（6-139）式的组合项，其中是由强度因子、所组成，如由（6-140）式可以求出边界力的表达式，如 （6-141）用应力杂交模型计算裂纹尖端应力，可以直接求出各强度因子不需要二次换算，对实际应用带来方便。

31、其次，假定一独立的协调位移场，譬如我们取为位移边界，可以分片插值，它是独立于元素内位移的，如取 （6-142）式中，为节点广义位移，为由插值函数组成的矩阵。现将图6-14的计算对象划分为两部份，在裂纹附近的元素为p个，其应力是由（6-140）式表示，受应力集中影响较小的外部区域划分为m-p个元素，这部分元素不需要考虑裂纹尖端的影响，因此应力只需要计算（6-140）式等号右边第一项就够了（认为）。将（6-140）、（6-141）、及（6-142）式代入泛函中，经过整理，可得下式 (6-143)式中 （6-144a-f）以后可按泛函的驻值条件，求刚度方程的标准过程进行，如取，则可得当：当： （6-

32、145a,b）由（6-145a,b）两式，可分别求出及现将以上两式分别代入（6-143）式中，得 （6-146）式中 （6-147a,b,c）用总体节点位移，使（6-146）式化为以下形式（具体变换过程在一般有限元素法中均有说明，这里从略。） （6-148）式中：、均为对应于的刚度矩阵、参数列阵及外力列阵等。由的驻值条件，这里及均为自变量，于是可求得以下两式及 以上两式可组合为 （6-149）由上式的第二式，可得 （6-150）（6-150）式代入（6-149）式之第一式中，可得 （151）式中，刚度矩阵 （6-152）本文所介绍的方法是1971年卞学璜与董平所提出的，论文发表在：Proc.2

33、nd Conf. Matrix Method in Structural Mechanics, Wright-Patterson Air Force Base Ohio, 197110. T.H.H. Pian & P.Tong, Elastic Crack Analysis by Finite Element Hybrid Method. p661-682.【例9】 应力杂交模型之三：分析复合材料层板间力的有限元模型。复合材料迭层板是由若干纤维不同角度的迭层板以基体结合而成。各迭层具有不同的物理性质，一般为对称中面的迭层板，如或其它组合。为方便起见，总体坐标可取得与对称中面一致，如图6-15

34、之坐标系，各层的局部坐标可取，这里与一致。应力：首先选取满足平衡方程图6-15 复合材料迭层板 （6-153）式中（，且），的应力参数，如取 （6-154）（6-154）式共有20个（），且假定层间正应力，即忽略了体力及的影响，（6-154）式可写为 （6-155）注意到（6-155）式上标，表示第层的应力，因为各层均有独立的应力及参数。其次，考虑各层间剪应力的连续性：层间剪应力属于的边界条件（可参考泛函（6-133）式）。且注意上、下层板表面剪应力为零，其它各层间剪应力满足力的平衡关系，如下、上表面的标号为及，而层间剪应力下标1，2分别表示下、上迭层，如层下表面的剪应力为，而层上表面的剪应力

35、为，于是可写出下式 （6-156）式中，当上标为“0”或“”时，则剪应力为零，即将（6-154）式代入（6-156）式中，则（156）式又可写成下式 （6-156/）其中，矩阵为阶矩阵，此矩阵容易求得。元素周边边界上的位移的插值函数为：设第层中，节点（=1，2，3，4）的位移，可由总体坐标系的某函数统一假设而定出。现设节点的位移为 这时节点的广义位移可定义为整个元素是由4个这样的位移而定义的，如 （6-160）再由线性插值，可得到节点与节点间边界上各点位移插值函数 （6-161）可将（6-158）式代入（6-161）式，并层四周的边界位移为 （6-162）实际上，（6-162）式即是层的边界位移。再求与边界位移相对应的边界力：第层的边