D1211常数项级数PPT学习教案

1、会计学1D1211常数项级数常数项级数引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2, 1,0(23nn边形, 这个和逼近于圆的面积 A .0a1a2ana设 a0 表示,时n即naaaaA210内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正边形面积为n23机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共24页小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.由自由落体运动方程2g21ts 知g2st 则小球运动的时间为1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g12 63. 2( s )设 tk 表

2、示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 211)21(1limnn3)2(1第2页/共24页给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数，其中第 n 项nu叫做级数的一般项。级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和；nuuuu321次相加, 简记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 1nnS称为级数的部分和序列。它也有收敛的问题通项第3页/共24页1nnuS当级数收敛时, 称差值21nnnnuuSSr为级数的余项余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数发散发散 .显然0limnnr机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、 nuuuu321收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作存在若SSnnlim第4页/共24页 (又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而qannS1lim因此级数收敛 ,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而,limnnS则部分和因此级数发散 .其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共24页2). 若,1q,1时当qanSn因此级数发散 ;,1时当qaaaaan 1) 1(因此nSn 为奇数n 为偶数从而nnSlim综合 1)、2

4、)可知,1q时, 等比级数收敛 ;1q时, 等比级数发散 。则,级数成为,a,0不存在 , 因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共24页 .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “分项抵消分项抵消” 求和23ln34lnnn1ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共24页) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .31214131111nn机动 目录

5、上页 下页 返回 结束 .) 1(1)2( 1nnn第8页/共24页判别级数2211lnnn的敛散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原级数收敛 , 其和为.2ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共24页性质性质1. 若级数1nnu收敛于 S ,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛 ,证证: 令,1nkknuS则nkknuc1,nScnn

6、limSc这说明1nnuc收敛 , 其和为 c S . nnSclim说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共24页,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S证证: 令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共24页说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu

7、取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 皆发散.收敛.第12页/共24页在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.证证: 将级数1nnu的前 k 项去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共24页收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证: 设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,

8、)(21uu 则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和序列 ),2,1(nSn的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但1111发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(543uuu)(109876uuuuu第14页/共24页定理：定理：设收敛级数,1nnuS则必有.0limnnu证证: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则

9、级数必发散则级数必发散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般项为1) 1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共24页0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数nnn13121111虽然，01limlimnunnn但此级数发散 .事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2与题设矛盾!所以假设不真 .21机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共24页141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数)()()(1411

10、411311311211211111nnan12nnna2发散 ,从而原级数发散 .nn121机动 目录 上页 下页 返回 结束 调和级数第17页/共24页;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 则nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故euuunn11从而,0limnnu这说明级数(1) 发散.enn且单调递增)1 (111) 1(! ) 1(nnnnennnne!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共24页123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1)

11、1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121进行分项抵消进行分项抵消,41limnnS这说明原级数收敛 ,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共24页1212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132这说明原级数收敛, 其和为 3 ., 3limnnS故(3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共24页的充要条件是:定理定理.收敛级数1nnu, 0,ZNpnnnuuu21时，当Nn ,Zp对任意有证证: 设所给级数部分和数列为),2, 1(nSn因为npnpnnnSSuuu21所以, 利用数列 ),2, 1(nSn的柯西审敛原理(第一章第六节) 即得本定理的结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共24页.112的敛散性nnpnnnuuu21解解: ,Zp对任意有利用柯西审敛原理判别级数