随机过程试题及解答

1、随机过程试题及解答2016随机过程(A)解答1、( 15 分)设随机过程 X(t) U t V , t (0, ) , U , V是相互独立服从正态分布N (2,9)的随机变量。1) 求X(t)的一维概率密度函数；2) 求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数3) 求X(t)的二维概率密度函数；解：由于U , V是相互独立服从正态分布N (2,9)的随机变 量，所以X(t) U t V也服从正态分布，故:(1)ft(x)13,厂 t2 1X(t)的x 2t 2 218(t2 1)e ,维概率密度函数为:x 为：X(t)的均值函数为：m(t) 2t 2 ;相关函数R(s,t) E X(s) X

2、(t) E (U s V) (U t V) st E U2 (s t) E U V E V2 st 13 (s t) 4 13协方差函数为：B(s,t) R(s,t)m(s) m(t) 9st 9(3)相关系数：(s,t)B(st)=.9 st9st1.D(s) ,D(t) 9s2 9 、9t2 9s2 1 t2 1X(t)fs,t(为，X2)1812 21(x, 2s 2)2 2 (旳 2s 2)(X2 2t 2) (x? 2t 2)22(12)9(s2 1)9s2 1 t2 14(t2 1)e且：m(t)E X(t)E U tV t EU EV 2t 2D(t) D X(t)D U t V

3、 t2D U D V9t2 92、( 12分)某商店8时开始营业，在8时顾客 平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为 每小时80人。问在10:00 14:00之间无顾 客到达商店的概率是多少？在10:00 14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方 差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将8时至15时平移到0 7时，则顾客的到达速 率函数为：4 19t, 0 t 480,4 t 7在10:00 14:00之间到达商店顾客数X(6) X(2)服 从泊松分布，其均值：646m(6) m(2) (t)dt (

4、4 19t)dt 80dt 282224在10:00 14:00之间无顾客到达商店的概率 为：6) X(2) 0 警 e282 e282在10:00 14:00之间到达商店顾客数的数学期 望和方差相等，均为：m(6)m(2)2823、( 13分)设移民到某地区定居的户数是一个 泊松过程，平均每周有8户定居，如果一户 4人的概率为0.2，如果一户3人的概率为 0.3，一户2人的概率为0.3，一户1人的概 率为0.2，并且每户的人口数是相互独立的 随机变量，求在8周内移民到该地区人口数 的数学期望与方差。解：已知移民到某地区定居的户数 N(t)是一个强 度8的泊松过程，第i户的人口数Y( i 1,

5、2,)是相 互独立同分布的随机变量，在t周内移民到该地 区人口数：N (t)X(t)Y是一个复合泊松过程，Y的分布为：i 1Y|1234P|0.2 0.3 0.3 0.22EY 2.5 EY 7.3由公式 : E X(t) tEY, D X(t)tEY2可得在5周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为：E X(5)8 8 2.5 160, D X(5)8 8 7.3 467.24、( 15分)设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.20.30.5P 0.10.50.40.6 0.2 0.2(1)求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平 均返回时间。（2）求两步转移概率矩阵p及当零时刻初始 分布为：PX。

6、1 0.2, PXo 2 0.2, PXo 3 0.6,时，经两步转移后的绝对分布。解：10.21 0.12 0.620.31 0.52 0.230.510.42 0.2123 134372, 3满足:3331310321033234T 解得：1渚故平稳分布37（1）此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状 态，存在平稳分布各状态的平均返回时间：1103110311031132 ,2234 ,3337(1)P(2)0.20.30.50.20.30.50.370.310.32P P0.10.50.40.10.50.40.310.360.330.60.20.20.60.20.20.26 0.320.4

7、2已知初始分布PT (0)(0.20.20.6)所以经两步转移T氓，牯租后的绝对分布为:0.370.310.32PT (2)PT (0) P(0.20.20.6)0.310.360.33(0.2920.3260.260.320.420.382)5、（ 10分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），开车时这个路口如果红灯则下个路 口仍红灯的概率为0.1 而如果这个路口绿灯则下个路口仍绿灯的概率为 0.6，式求路口遇红灯的极限概率，以及红灯和绿灯状态的平均返回时间。解:设红灯为状态1,绿灯为状态2,可以求出其转移概率矩阵为:0.1 0.9 P0.4 0.6此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存

8、在平稳分布T 1，2满足：1 0.1 i 0.4 22 0.9 1 0.6 21 2 1解得：1兰2 21313故平稳分布丁 爲路口遇红灯的极限概率为1乞13红灯和绿灯状态的平均返回时间:1131131 二-, 2 1 4 2 96、( 15分)设马尔可夫链的状态空间I 123,4,5，转移概率矩阵为:0.0 0.30.1 0.2P 0.0 0.00.0 0.7 0.00.3 0.2 0.20.4 0.0 0.60.0 0.4 0.0 0.6 0.0 0.0 0.0 0.2 0.0 0.8(1)试对状态进行分类，并说明各状态的类型;(2)求各常返闭集的平稳分布， 及各状态的平均返回时解:马尔可

9、夫链的状态空间I 123,4,5可以分解为 C 1,2, 4和C2 3,5的并。其中G为非常返状态；C2为 不可约、非周期、正常返闭集，从而存在平稳分 布。对于C2 3,5，转移概率矩阵为:0.4 0.60.2 0.8 ，平稳分布满足：解得：3 4,544故C2 3,5的平稳分布0.430.250.630.8551各常返状态的平均返回时间:4,7、( 10分)一质点在1，2, 3点上作随机游动。 若在时刻t质点位于这三个点之一，则在t,t h) 内，它都以概率5h o(h)分别转移到其它两点 之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微 分方程，转移概率Pij(t)及平稳分布。解：质点随机游动t时刻

10、的位置X(t)是一个马尔科夫过程，其状态空间: Q矩阵元素为：qjh(h mo H hh5moH hh/(.oqii(qi qi,i J10,(其中约疋状态：0=3, 4=1)1055即：Q51055510柯尔莫哥洛夫向前微分方程为：Pi,j(t) 5(Pi,j 1(t) Pi,(t) 10pi,j(t)由于：Pi,j1(t) Pi,j(t) Pi,j 1(t) 1得到： Pi,j(t) 5(1 Pi,j(t) 10pi,j(t)15pi,j(t) 5解此一阶线性微分方程得：Pi,j(t) C e15t 3，C为待3定常数。又因：Pi,j(0) ； i j1,1 J】e15t i j故转移概率Pij(t)为：Pi,j(t)3,3215t13e 3 i j平稳分布为：j timPij(t) 3, (j 1,2,3)3&( 10分)设随机过程X(t) sin2(t), t ，其中 是服从区间0,上的均匀分布的随机变 量。试回答：X(t)是否为(宽)平稳过程？研 究X的均值函数和相关函数是否具有各态历 经性。解:)丄 sin2(t02)sin (t )dE X(t) E sin2(t ) -sin2(t )d