(完整)初2103根式的恒等变形

1、第 2103 讲根式的恒等变形一、知识和方法要点表示方根的代数式称为根式，即含有根号，且根号内有字母的代数式称为根式。对于根式中的字母的一组允许的值，代入此根式得到的值称为根式的值。根式的恒等变形是指利用根式的基本性质将根式化为与其恒等的根式。二次根式具有以下基本性质1） ( a ) 2a （ a0 ）；aa02） a 2| a |0a0 ；aa03） b ac a (b c) a （ a0 ）；4） abab （ a0 ， b0 ）；aa0 ， b0 ）；5）（ abb6） ( a) na n （ a0 ）。根式的恒等变形有它的特殊性，需要较强的代数式变形技巧。通常要对题目中的条件根式和欲变

2、形根式综合考虑，寻求一个简单而清晰运算线路进行变形。常用的方法有：分解因式法，配方法，平方法，换元法等。化简根式必须化到最简根式为止，所谓最简根式，是指满足以下三个条件的根式：1）被开方数（式）的幂指数与根指数互质；2）被开方数（式）的每一个因式的幂指数都小于根指数；3）被开方数（式）不含有分母。二、典型题例选讲例1化简：4845 。（复合根式化简；配方法）【分析 】 这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。可通过配方法进行化简。应首先变形为适合配方的形式，然后进行配方。【解答】 化简如下48453(415)4 382 1543( 53) 243( 53)43( 106) 。2(2) 222【

3、评注 】 配方法是复合二次根式化简的最常用的方法。例 2化简：232332 2322 。（复合根式化简；平方法）【分析 】 这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。 ，可通过平方法进行化简。应前两项使用平方法，后两项使用平方法后相加。【解答】 因为2323( 2323) 24 2 23236，3 2 23 2 2(322322)262322322 2。两式相加得232332232262 。所以， 原式6 2 。1【评注 】 为了书写简洁，平方运算在根号下进行。例 3化简：2222L。（复合根式化简；方程法）【分析 】 如果设 x2222 L，两边平方可得关于x 的方程 x2x2 0 ，解这个方

4、程就可能求出 x 的值。【解答】 设 x2222 L，两边平方，得x22222 L，于是x22x ，即 x 满足方程x2x20 ，解方程得x2 或 x1(舍去 ) 。所以，2222 L2 。【评注 】 本题还涉及到2222L是否收敛，即它是否表示一个实数的问题。例 4 设 y 是偶数，最简根式3xy 2xy 与 y 6 4 xy2是同次根式，求 y 的值。（根式概念；分类讨论）【分析 】 首先利用偶次根式对根底数大于等于零（本题只能大于零）的要求，解得 y 的范围，然后讨论求得满足要求的 y 的值。【解答】由同次根式的意义，得3xy y6 ，知 x 2 ，于是给定根式为y 6 4y 与 y 6

5、 6y ，它们为偶次根式，于是 4y 0， 6 y 0 ，推得 y4， 2，0，或 2 。1）当 y4 时，两个根式为8与2，其中8 不是最简根式；2）当 y2 时，两个根式为4 6与 4 4，其中44 不是最简根式；3）当 y0 时，两个根式为64 与 66，其中64不是最简根式；4）当 y2 时，两个根式为82 与 88，它们是最简根式，符合题意；所以，所求的 y2 。【评注 】 本题考察同次根式、最简根式等基本概念。例 5 已知 1 x0 ，化简：21x221。x 2x2x2（根式化简；配方法）【分析 】 这是一个字母根式的化简问题。观察知，两个根底数都是完全平方式，而一个数平方再开根号

6、等于这个数绝对值，然后根据已知给出的x 的范围打开绝对值解决问题。【解答】 化简如下原式 ( x1)2(x1 )2| x1 | | x1 | (x1 ) (x1 ) 2 x 。xxxxxx【评注 】 永远要记住平方再开根号等于绝对值。例 6 设 a， x， y 是两两不同的实数，且a (xa)a( ya)xaay ，求 3x2xy y2 的值。x2xy y2（根式求值；隐含条件）【分析 】 考虑到偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件，容易从条件式解出x，y 的值，就可以代入欲求值代数式进行简单求值。【解答】 因为a( x a)0，xa 0 知 a0 ，a( y a) 0， ay 0 知 a0

7、 ，由此得a0 。于是xyxy 。2所以， 原式3 y2y2y2y 21。y2y2y23y23【评注 】 从偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件得到解题所需的中间结果。5x5x例 7设5 x 5 ，且 x0 ，化简： 5x5x 。5x5x5x5x（根式化简；分式性质）【分析】 观察欲化简根式的特点，注意到5x 与 5x 都是正数，且互为倒数，采用将此根式的分子、分母5x 5x同乘上5x 即可一次性去掉根号解决问题。5 x【 解答】 化简如下5 x ( 5 x5x) 5x1原式5x5x5x5x5x5x5x5x15x (5x5x)5x(5x)(5x)105 。(5 x) (5 x)2xx【评注

8、】 采用分母有理化解题将比较烦琐。例 8已知 ab0 ，且 a2b222，化简： a11b 11。aba2b2（根式化简；分式性质）【分析 】 观察所给条件式与欲化简式的特点，利用条件式首先可将欲化简式的根底数化简，这时问题就简单化了。解： 由 a2b2a22111，即 111111b得a2b2a2b2 ，b2a2，所以原式1b1a2a 2bab|b | a |a | a |b | b |aba2b2a2b 2ab当b0aababa 2b 2a 2b2ab当 a0b 。abab【评注 】 要对对 a，b 进行讨论。例 9 设 a， b， c， x， y， z 是非零实数，且a2b 2c2x2y

9、2z2axbycz ，求xyz 的值。abc（根式求值；配方法）【分析 】 观察所给条件式的特点，可以通过配方法， 得到 ax0， by0， cz 0 ，即 ax， b y， cz ，由此简单求值。【解答】 由 a2b 2c2x2y2z2axby cz ，得(a22axx2 )( b22byz2 )(c22czz2 )0 ，配方得(ax) 2(b y)2(cz)20 ，于是ax 0， by 0，cz 0 ，即ax，by，cz 。3所以，xyz1 113 。abc【评注 】 巧妙利用条件式进行配方，妙！例 10设 x0， y0 ，且x (x2 y)y(6x5y ) ，求xxyy 的值。2 xxy

10、3 y（根式求值；因式分解）【分析 】 观察欲求值式的特点，只须从条件式中求出x :y 即可，由此将条件式分解因式，得到x 5 y解决问题。【解答】 由条件式得(x) 24xy5(y)20，分解因式得(x5y )(xy)0 ，因为 xy0 ，故x5y 0 ，即x5y 。所以，xxyy25 y5yy29 y1 。2xxy3 y50 y 5y3y58 y2例 11化简： 2a22 2a4a21 。（根式化简；配方法）【分析】 观察欲化简的根式，a4a21可以分解因式，这样a4a21 就可以写成两个根式的乘积，再采用配方法进行化简。【解答】 因为a 4a21(a42a 21)a2(a 21)2a2(

11、a 2a1)(aa1) ，所以原式(a2a 1) 2a2a 1 a2a 1 ( a2a 1)( a 2a 1) 22 a2a 1 a 2a 1 ( a2a 1)2(a 2a1a2a1) 2a 2a 1a 2a1 。【评注 】 由于 a 2a1， aa1 的判别式都小于零，有a 2a1 0，aa10 。例 12设1 x 1 ，且 x 0 ，化简：1x1x111。(1 x1 x1 x2x 1) (x2| x |)（根式化简；提高题）【分析】 本题欲化简根式比较复杂，根据欲化简根式的特点，可以围绕着两个简单根式1 x 和1 x 进行恒等变形达到化简的目的。【解答】 化简如下4原式 (1 x( 1 x

12、) 2) 1 x211 x1 x1 x ( 1 x1 x)| x |(1x1x)1x211 x1 x1 x1 x| x |1x1x1x211x1x| x |(1x1x)(1x1x)1x21(1x1x)2| x |2 x1x21221x2| x |x1x2111x2| x |x1当1x0| x |1当0x1。【评注 】 一边化简一边观察，寻找下一步的最佳运算方向。例 13 已知 2x33 y34 z3， 1111 ，求 3 2x23y24z2的值。xyz（根式求值；提高题）【分析 】 由第一个条件式，连比设k，则 32x23y24 z23kkk3 k ，下面只须解决求3 k 的值，将xyzx，

13、y， z 表示为 k 的表达式，代入第二个条件式即可解决问题。【解答】 令2 x33y34z3k ，则3 2x23 y223 k k k3k 。4 zxyz又x3 k， y3 k， z3 k ，234代入 1111 得323 3341，xyz3 k解之得3 k323 334。所以， 32x23y24z2323334 。【评注 】 在奥数中，与本题类似的题还有几个。例14 已知 (x22006x)(y 22006y)2006，求 x23xy4 y26x6 y81 的值。（根式求值；提高题）【分析 】 两边同乘以共轭根式，将已知式化简，从中可解出xy0 ，再将欲求值式因式分解，采用整体代入法解决问

14、题。【解答】 将条件式两边乘x22006x ，得y22006yx22006x ，同理，将条件式两边乘y22006y ，得x22006xy22006y ，两式相加得xy0 。所以， 原式( xy)( x4 y6)8181 。【评注 】 在奥数中，与本题类似的题还有几个。三、同步练习题1.已知 a0 ，那么化简 |a2a |的结果是（）。5A. 0B. 2aC.2aD.不能确定2.已 知 a ， b ， x ， y都 是 实 数 ， 且 满 足 等 式 y | x2| 1 a 2， | x4 | 3y 3 b2 ， 那 么a b xy。（ 2005 年上海市初中数学竞赛试题）3.当 x3 时，求代数式11的