[专业文献]第二、三章机械能、动量守恒定律

1、 第第 二二 章章 第第 三三 章章动量守恒定律动量守恒定律二二、掌握质点的动能定理、动量定理和动量守恒定律。掌握质点的动能定理、动量定理和动量守恒定律。 一一、掌握功的概念，能计算变力的功，理解保守力做功掌握功的概念，能计算变力的功，理解保守力做功 的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和万有的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和万有 引力的势能。引力的势能。三三、掌握系统的功能原理和机械能守恒定律，能分析简掌握系统的功能原理和机械能守恒定律，能分析简 单系统在平面内运动问题。单系统在平面内运动问题。 恒力沿直线做的功：恒力沿直线做的功： rf 单位：单位： j 2-1 2-1 功和能功和

2、能一一. . 功功 cosrfa 恒力的功恒力的功 变力的功变力的功变力沿曲线做的功变力沿曲线做的功: : rdfabmsd变变 力：力： f元路程：元路程： sd(点乘积，标量积点乘积，标量积) mm ffr 元位移：元位移： dr变力的元功：变力的元功： ddrfa babarfaa d d basfd cos 变力的总功：变力的总功：abrdfm sd d cosrf d cossf 合力的功合力的功 物体同时受物体同时受 的作用时的作用时, , , , , , 21ifff d drfrfabaiiba d ibairf合力对物体所做的功等于各分力所做功的代数和。合力对物体所做的功等于

3、各分力所做功的代数和。 结论：结论： ia1. 1. 功是过程量，与路径有关。功是过程量，与路径有关。 注意：注意： 2. 功是标量，但有正负。功是标量，但有正负。 yxohatmgff drld 解解:小球在任意位置受三个力的作用小球在任意位置受三个力的作用, 推力推力f,绳子的张力绳子的张力t, 重力重力mg,由于小球缓慢移动，所以三力始终是平衡的，即由于小球缓慢移动，所以三力始终是平衡的，即 10 gmtf建立如图所示的坐标系，列分量方程：建立如图所示的坐标系，列分量方程： 2 sin ftx 方向方向 3 cos mgty 方向方向例题（例题（p46 例题例题-）质量）质量m为的小球系

4、于长度为为的小球系于长度为l的细的细绳的末端，细绳的另一端固定在点绳的末端，细绳的另一端固定在点a，将小球悬挂在空间，将小球悬挂在空间现小球在水平推力现小球在水平推力f的作用下，缓慢地从竖直位置移到细绳的作用下，缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直方向成与竖直方向成 角的位置求水平推力角的位置求水平推力f所作的功（不考虑空所作的功（不考虑空气的阻力）气的阻力） yxohatmgff drld （）（）式得，水平推力）（）式得，水平推力f的大小与偏角的大小与偏角 的关系的关系: 4 tanmgf 变力所作的元功为：变力所作的元功为： dcosdcosddrfsflfa 变力所作的总功为：变力所作的总功

5、为： 00dcosdfraa 00dsindcostanmgrmgr)cos1(mgr 2-2 动能和动能定理动能和动能定理 ppvrdfqqv质点由点质点由点p 运动到点运动到点q , ,合力对质点所作的为：合力对质点所作的为： qpqpramrfadd qpqpvvmtvtvmadddd,ddtva tvrdd 因为：因为：所以：所以：又因为：又因为：)(d21)(d21d2vvvvv 则有则有：2222212121dd21dpqqpqpqpmvmvmvvmvvma pqeeakk 所以有所以有：2k21mve 动能定理：动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点作用于质点的合力所作的功

6、，等于质点 动能的增量。动能的增量。，表示合力表示合力 对质点作正功，对质点作正功，0 af0 pqeekk-，质点的动能增大；质点的动能增大；，表示合力表示合力 对质点作负功，对质点作负功，0 af0 pqeekk-，质点的动能减小；，质点的动能减小；所以说，所以说，功是质点能量改变的量度。功是质点能量改变的量度。质点的动能定义：质点的动能定义：质点的质量与其运动速率平方的质点的质量与其运动速率平方的乘积的一半乘积的一半，用，用 表示，即表示，即ke例题例题 2.2. 解：解：(1) 建坐标系如图建坐标系如图 注意：摩擦力作负功！注意：摩擦力作负功！f物理练习一物理练习一 计算题计算题 7

7、)( gxllmnf drfalaf )21( 2laxlxlmg )(2 2allmg d )( xxllmgla xox xl 一匀质链条总长一匀质链条总长l为，质量为，质量m为，放在桌面上，并使其下垂，为，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度下垂一端的长度a为，设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为为，设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 ，令链条由静止开始运动，则：（令链条由静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程中，）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条作的功？（摩擦力对链条作的功？（2）链条离开桌面时的速率是多少？）链条离开桌面时的速率是多少？ (2) 对链条应用动能定理：对链条应用动

8、能定理： 2)( 2lalmgaf 前面已得出：前面已得出： 2121202mvmvaaafp 212mv drpalap d xxlmgla )(222allmg 21)(2 )(2 2222mvallmgallmg )()(222alallgv 得：得： xox例例 题题3. 3. 解：解：取地心为原点，引力与矢径方向相反取地心为原点，引力与矢径方向相反 由动能定理：由动能定理： 0212 mva得：得： )(2hrrgmhv m综合练习一综合练习一 填空题填空题 5 d rfarhr d2rrmmgrhr d2 rhrrrgmm )11(hrrgmm )(hrrgmmh hro orf一

9、陨石从距离地面高一陨石从距离地面高 h 处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求（求（1）陨石下落过程中，万有引力作功多少？（）陨石下落过程中，万有引力作功多少？（2）陨石落地）陨石落地时的速度的大小？时的速度的大小？例题例题4. 4. 质量为质量为 2 kg 的质点在变力的质点在变力 (si) 作用下，作用下， i t 12f 从静止出发，沿从静止出发，沿 x 轴正向作直线运动。轴正向作直线运动。解：解：一维运动：一维运动： , d d 00 vvttav d00 ttavv d 00tmft d 212 0ttt 32t d312 302ttta d 36

10、330tt 94t j 729 求：前三秒内该力所作的功。求：前三秒内该力所作的功。 d 00 ttavv , dd tva d30rfa d30tvf d 12 30 tvt一一. .重力的功重力的功m 在重力作用下由在重力作用下由 a b，取地面为坐标原点，取地面为坐标原点： , jmggmp jyixr d dd xyoijb gma m d baprgma ) d d()( bajyixjmg d bayyymg ) ( abymgymg dr ay by重力做功与路径无关。重力做功与路径无关。 2-3 势势 能能二二. .万有引力的功万有引力的功 质点之间在引力作用下相对运动时，以质

11、点之间在引力作用下相对运动时，以 m 所在处为所在处为原点，原点，m 指向指向 m 的方向为矢径的正方向。的方向为矢径的正方向。m 受的引力方受的引力方向与矢径方向相反。向与矢径方向相反。 d3rrrmmgbarr d3rrrmmgbarr ) () (barmmgrmmg ab dr br ar dr cosd 3 rrrmmgbarr d barfa引引mm r f 万有引力做功与路径无关。万有引力做功与路径无关。 三三. . 弹力的功弹力的功 ixkf 重力、万有引力、弹性力做功与路径无关。重力、万有引力、弹性力做功与路径无关。oab x 结论：结论： 我们把做功与路径无关的力称为我们把

12、做功与路径无关的力称为“保守力保守力”。ixr dd 21 2122baxkxk d baxxrf 弹弹a d baxxxxk弹力做功与路径无关。弹力做功与路径无关。 四四. .保守力保守力 做功与路径无关的力。做功与路径无关的力。 d d rfrfaabbaab 保保保保mmrab br ar dr f 0dd baabrfrf保保保保 结论：结论：保守力沿任意闭合路径一周做功保守力沿任意闭合路径一周做功 = 0 。 d rfl 保保 0d rfl保保 ) () (barmmgrmmga 引引五五. . 势能势能 )( dppppabbabaeeeerfa 保保保保 上述等式右端各项反映的是

13、上述等式右端各项反映的是仅由物体的相对位置所决定的仅由物体的相对位置所决定的能量能量，称为，称为 势能势能，用，用 e p 表示。表示。 注意：注意：必须选定零势能点。必须选定零势能点。 bapymgymga 21 2122baxkxka 弹弹 重力势能重力势能 : : 引力势能引力势能 : : 弹力势能弹力势能 : : phgme prmmge 2 1 2 p xke 以地面为零势能点以地面为零势能点以无穷远处为零势能点以无穷远处为零势能点以弹簧原长为零势能点以弹簧原长为零势能点（ h = 0，e p = 0，可正可负可正可负 ） ( r = ，ep = 0， 恒负恒负 )( x = 0，e

14、 p= 0，恒正，恒正 ) 下面是零势能点的一般取法：下面是零势能点的一般取法： 六六. . 保守力的功与势能的关系保守力的功与势能的关系 保守力的功保守力的功 = 势能增量的负值。势能增量的负值。 dpp00eerfar 保保保保 a 保保 = ( e p e p0 ) 七七. . 非保守力非保守力 (亦称亦称耗散力耗散力） 即做功与路径有关的力即做功与路径有关的力。 例如：摩擦力等。例如：摩擦力等。 1. 1. 只要有保守力，就可引入相应的势能。只要有保守力，就可引入相应的势能。 2. 必须规定零势能点。质点在某点势能的大小等于在保守必须规定零势能点。质点在某点势能的大小等于在保守 力作用

15、下由该点移至零势能点时保守力所做的功。力作用下由该点移至零势能点时保守力所做的功。 3. 势能具有相对意义，所以必须指出零势能点。质点在两势能具有相对意义，所以必须指出零势能点。质点在两 点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单 值函数。值函数。 4. 势能是属于有保守力相互作用的质点系统的。势能是属于有保守力相互作用的质点系统的。 小结：小结： 2-42-4 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律一一. . 系统的动能定理系统的动能定理 外力和内力对系统所做的功外力和内力对系统所做的功 = 系统动能的增量。系统动能的增量。 质点

16、系统质点系统 外力外力 内力内力 保守内力保守内力 非保守内力非保守内力 a外外a内内 e k e k0 代入上式整理得代入上式整理得: :上式可写为：上式可写为： k0keeaaa 非非保保内内保保内内外外a外外+a非保内非保内= (e k+ e p) - - (ek0+ep0) = e - - e0 )( p0p eea 保内保内 二二. . 功能原理功能原理 外力和非保守内力对系统所做的功外力和非保守内力对系统所做的功 = 系统机械能的增量。系统机械能的增量。 a外外a非保内非保内 e e0 功能原理功能原理 应用功能原理时，由于上式右端计算了势能，所以应用功能原理时，由于上式右端计算了

17、势能，所以左端千万不可再计算保守力的功。左端千万不可再计算保守力的功。 注意：注意： 或或 )()( 0p0kpkeeee a外外a非保内非保内 三三、机械能守恒定律机械能守恒定律守恒条件：守恒条件： a外外0 ，a非保内非保内0 或或 仅有保守内力做功仅有保守内力做功守守 恒恒 式式 ： e = e k+ e p = 常量常量 或或 e k+ e p= e k 0+ e p 0四四、能量守恒定律能量守恒定律 自然界的基本定律之一。自然界的基本定律之一。 3-1 3-1 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 ( 课本课本p.65 ) 大小大小： m v 方向：方向： 速度的方向速度的方向

18、单位：单位： kg m s -1一一. . 动量动量 vmp 二二. . 力的冲量力的冲量 tfidd 方向：方向： 力的方向力的方向单位：单位： n s大小：大小： dtf元冲量元冲量 1 恒力的冲量恒力的冲量 tfi 2 变力的冲量变力的冲量 d0 ttfi d d 0 0 tyytxxtfitfi分量式分量式第三章第三章 动量守恒定律动量守恒定律 注意：注意： (2) 动量动量为状态量，为状态量，冲量冲量为过程量。为过程量。 i f(1) 冲量冲量 和瞬时力和瞬时力 的方向不同。的方向不同。 三三. . 系统的动量定理系统的动量定理 (课本课本p.68) 系统系统 由多个质点构成的体系（

19、质点系）由多个质点构成的体系（质点系）系统所受合外力的冲量系统所受合外力的冲量 = 系统总动量的增量。系统总动量的增量。 系统的动量定理系统的动量定理 d 00iiiitivmvmtfi d0 0 xiixiitxixvmvmtfi 分量式分量式: : 矢量式矢量式: : d0 0 yiiyiityiyvmvmtfi 四、质心四、质心n n个质点组成的质点系的质心位置为个质点组成的质点系的质心位置为质点系质心的直角坐标分量式为质点系质心的直角坐标分量式为mzmzmymymxmxniiiniiiniii 1c1c1c , ,若质量是连续分布，质心分量式为若质量是连续分布，质心分量式为 mmzzm

20、myymmxxdd ,dd ,ddcccmrmmrmmmmrmrmrmrn1iiin1iin1iiin21nn2211c 注意注意:1.:1.质心的坐标值与坐标系的选取有关；质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.2.质量分布均匀、形状对称的实物，质心位于其几质量分布均匀、形状对称的实物，质心位于其几 何中心处；何中心处； 3.3.不太大的实物，质心与重心相重合。不太大的实物，质心与重心相重合。五、质心运动定理五、质心运动定理由质点系动量定理的微分形式得由质点系动量定理的微分形式得 n1iifc22n1iin1iin1iii22n1iin1iiitddmmmtddm)m(tddrrv 所以有所以

21、有 c1afmnii 此式表示，此式表示，质点系质心的运动与这样一个质点的运动具质点系质心的运动与这样一个质点的运动具有相同的规律，该质点的质量等于质点系的总质量，作用有相同的规律，该质点的质量等于质点系的总质量，作用于该质点的力等于作用于质点系的外力的矢量和。于该质点的力等于作用于质点系的外力的矢量和。这个结这个结论称为论称为质心运动定律。质心运动定律。 2c2tdd r式中式中 = 为质心加速度为质心加速度 ca质心b.exe3-3 3-3 动量守恒定律动量守恒定律由动量定理由动量定理 得：得： 0 , 0 ifi守恒条件：守恒条件：守守 恒恒 式：式： iivm常矢量常矢量 00 iii

22、iiivmvm动量守恒定律动量守恒定律 系统所受的合外力为零时总动量保持不变。系统所受的合外力为零时总动量保持不变。或或 2. 2. 系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 1. 1. 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中， 外力内力，动量守恒定律仍适用。外力内力，动量守恒定律仍适用。 注意：注意： , 00 xiixiixivmvmf 3. 3. 动量守恒可在某一方向上成立：动量守恒可在某一方向上成立： , 00 yiiyiiyivmvmf4. 4. 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。动量守恒定律

23、在微观高速范围仍适用。近似守恒条件：近似守恒条件：0 , iff内内外外 例题例题(p 73(p 73例题例题3-4)3-4)一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块, , 已知其中两块在水平面内各以已知其中两块在水平面内各以80 ms1 和和60 ms1 的速率沿互的速率沿互相垂直的两个方向飞开。求第三块的飞行速度。相垂直的两个方向飞开。求第三块的飞行速度。 解：设碎块的质量都为解：设碎块的质量都为m， 建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系根据动量守恒定律得根据动量守恒定律得0cos31 vv0sin32 vv,75. 08060tan12 vv -12-113sm 100 . 1sm37cos80cos vv解方程组得解方程组得所以所以 37 3v2v1vxyo方向：方向：x:方向方向y 34 碰撞碰撞 一、碰撞现象一、碰撞现象 碰撞可分为两类碰撞可分为两类: : 一类是总动能不变的碰撞一类是总动能不变的碰撞, , 称为完称为完全弹性碰撞；一类是总动能改变的碰撞全弹性碰撞；一类是总动能改变的碰撞, , 称为非完全弹称为非完全弹性碰撞。若两个物体碰撞之后结合为一体了性碰撞。若两个物体碰撞之后结合为一体了, , 这种碰撞这