一元二次方程根与系数的关系习题1[共35页]

1、2 bx c a1、一元二次方程 ax 0( 0)的求根公式为2 bx c a22、一元二次方程 ax 0( 0)根的判别式为： b 4ac（1） 当 0时,方程有两个不相等的实数根。（2） 当 0时,方程有两个相等的实数根。（3） 当 0时,方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根,则 ；方程有两个相等的实数根,则 ；方程没有实数根,则 。韦达定理相关知识 2 bx c a1 若 一 元 二 次 方 程 ax 0( 0) 有 两 个 实 数 根 x1和x2 , 那 么x1 x ,x1 x2 。我们把这两个结论称为一元2二次方程根与系数的关系,简称 韦达定理 。2 px q2、如果一元二

2、次方程 x 0的两个根是 x1和x2 ,则x1 x2 ,x1 x 。2 2 x x x x x3、以x1和x2 为根的一元二次方程 （二次项系数为 1）是x ( ) 0 1 2 1 22 bx c a4、在一元二次方程 ax 0( 0) 中,有一根为 0,则c ；有一根为 1,则a b c ；有一根为 1,则a b c ；若两根互为倒数,则c ；若两根互为相反数,则 b 。5、二次三项式的因式分解 (公式法) 2 的因 式 时, 如果 可 用 公 式 求出 方程在 分 解 二 次三 项 式 ax bx c2 bx c a 2 bx c a x x x xax 0( 0) 的两个根 x1和x2

3、,那么 ax ( 1)( 2 )如果 2 bx c a 2 不能分解.方程 ax 0( 0)无根,则此二次三项式 ax bx c 基础运用2 k x例 1：已知方程 3x ( 1) 2 0的一个根是 1,则另一个根是 ,k 。变式训练：2 x k1、已知 x 1是方程 3x 2 0 的一个根,则另一根和 k 的值分别是多少？2 kx2、方程 x 6 0 的两个根都是整数,则 k 的值是多少？例 2：设2 xx1和x 是方程 2x 4 3 0,的两个根,利用根与系数关系求下列各2式的值：（1）2 2x1 x （2）( x1 1) ( x2 1) （3）21x11x2（4）2( x1 x )2变式

4、训练：2 x k1、已知关于 x 的方程 3x 10 0 有实数根,求满足下列条件的 k 值：（1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于 2。2 ax a2、已知关于 x 的方程 x 2 0。（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2）a 取何值时,方程有两个正根。（3）a 取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大。（4）a 取何值时,方程到少有一根为零？选用例题：2 bx c a例 3：已知方程 ax 0( 0) 的两根之比为 1：2,判别式的值为 1,则a与 b是多少？2 m x m2例 4、已知关于 x的方程 x 2( 2) 5

5、 0有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大 16,求 m的值。2 x m 2 x m 例 5、若方程 4 0x 与x 2 0有一个根相同,求 m 的值。基础训练：2 x1关于 x的方程 2 1 0ax 中,如果 a 0,那么根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定2设2 xx1 ,x 是方程 2x 6 3 0的两根,则22 2x1 x 的值是（ ）2（A）15 （B）12 （C）6 （D）33下列方程中,有两个相等的实数根的是（ ）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2 5 x （C） 3 x2 2 2 x+2=0（D）

6、3x 2 6 x+1=024以方程 x 2x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）2+5y6=0 （B）y2+5y6=0 （C）y2 2（A） y 5y6=0 （D）y 5y6=02 25如果 x1,x2 是两个不相等实数,且满足 x1 2x11,x2 2x21,那么 x1 x2 等于（ ）（A）2 （B）2 （C）1 （D）126. 关于 x 的方程 ax 2x10 中,如果 a0,那么根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定7. 设 x1,x2 是方程 2x26x30 的两根,则 x 2x 2 的值是（ ）1 2（A）

7、15 （B）12 （C）6 （D）38如果一元二次方程 x24xk20 有两个相等的实数根,那么 k9如果关于 x 的方程 2x 2(4k+1)x 2 k2(4k+1)x 2 k210 有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是10已知 x1,x2 是方程 2x 1x2 ,x1x2 ,27x40 的两根,则 x（x1x2）211若关于 x 的方程(m 22)x22)x2( m2)x 10的两个根互为倒数, 则m .二、能力训练：1、不解方程,判别下列方程根的情况：（1）x 2x=5 (2)9x2x=5 (2)9x26 2 +2=0 (3)x 2x+2=02、当 m= 时,方程 x 2+mx+4

8、=0有两个相等的实数根；当 m= 时,方程 mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于 x 的方程 10x 2(m+3)x+m7=0,若有一个根为 0,则 m= ,这时方程的另一个根是 ；若两根之和为35,则 m= ,这时方程的两个根为 .4、已知 3 2 是方程 x 2+mx+7=0的一个根,求另一个根及 m的值。5、求证：方程 (m 2+1)x2+1)x2 2+4)=0 没有实数根。2mx+(m6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1 5 和 1+ 5 。7、设 x1,x 2 是方程 2x 2+4x3=0 的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x 1+1)(x

9、 2+1) (2)x2x1+x1x2（3）x1 2+ x2+ x1x2+2 x 18、如果 x 22(m+1)x+m2+5是一个完全平方式,则 m= ;9、方程 2x(mx4)=x26 没有实数根,则最小的整数 m= ;10、已知方程 2(x 1)(x 3m)=x(m4) 两根的和与两根的积相等, 则 m= ;11、设关于 x 的方程 x 26x+k=0的两根是 m和 n,且 3m+2n=20,则k 值为 ;12、设方程 4x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值 : 27x+3=0的两根为 x(1) x 1 2+x 2 (2)x2+x 2 (2)x21x2 （3）1222x1 x （4）x1

10、x2x 113、实数、 分别满足方程 1929910 和且 199920 求代数41式的值。14、已知 a 是实数,且方程 x2+2ax+1=0有两个不相等的实根, 试判别方程 x2+2ax+112(a2x2a21)=0 有无实根？15、求证：不论 k 为何实数,关于 x 的式子(x 1)(x 2) k2 都可以分解成两个一次因式的积。2 k x k16、实数 K在什么范围取值时,方程 kx 2( 1) ( 1) 0有实数正根？训练（一）1、不解方程,请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t 4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u2+1)7u=0, ;2、若方程 x 2

11、(2m1)x+m2+1=0有实数根,则 m的取值范围是 ;3、一元二次方程 x 2+px+q=0两个根分别是 2+ 3 和 2 3 ,则 p= ,q= ;4、已知方程 3x 219x+m=0的一个根是 1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、若方程 x 2+mx1=0 的两个实数根互为相反数,那么 m的值是 ;6、m,n 是关于 x 的 方程 x 2-(2m-1)x+m2-(2m-1)x+m2+1=0 的两个实数根,则代数式m n= 。7、已知关于 x 的方程 x 2(k+1)x+k+2=0 的两根的平方和等于 6,求 k 的值;8、如果 和是方程 2x 2+3x1=0 的两个根,利用根与系数关

12、系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于 +1和+1;9、已知 a,b,c 是三角形的三边长,且方程 (a2+b2+c2)x 2+2(a+b+c)x+3=0 有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10. 取什么实数时,二次三项式 2x 2(4k+1)x+2k2(4k+1)x+2k21 可因式分解 .11. 已知关于 X的一元二次方程2 22（3）10 的两实数根为 , ,若11,求的取值范围。训练（二）1、已知方程 x 23x+1=0的两个根为 , ,则 += , = ;2、如果关于 x 的方程 x 24x+m=0与 x2x2m=0 有一个根相同,则 m 的值为 ;123、已知方

13、程 2x 23x+k=0 的两根之差为 223x+k=0 的两根之差为 2,则 k= ;4、若方程 x 2+(a2+(a22)x 3=0 的两根是 1 和3,则 a= ;5、方程 4x 22(a-b)x ab=0 的根的判别式的值是 ;6、若关于 x 的方程 x 2+2(m1)x+4m2=0 有两个实数根, 且这两个根互为倒数, 那么 m的值为 ;7、已知 p0,q0,则一元二次方程 x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、以方程 x 23x1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设 x1,x 2 是方程 2x 26x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x 1 2+x1x2 2x

14、 2 (2)2x 2 (2)1x11x22 210m取什么值时,方程 2x (4m+1)x+2m1=0（1）有两个不相等的实数根, （2）有两个相等的实数根, （3）没有实数根；11设方程 x2+px+q=0两根之比为 1:2 ,根的判别式 =1,求 p,q 的值。2 k x k 212是否存在实数 k ,使关于 x的方程 9x (4 7) 6 0的两个实根 x1, x2 ,满足x1x232,如果存在,试求出所有满足条件的 k 的值,如果不存在,请说明理由。一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根是 x1、x2,那么 x 1+x2= ,x1

15、x2= 。2、已知 x 1、x2是方程 2x2+3x4=0的两个根,那么： x1+x2= ；x1 x2= ；1x11x2；x 21+x22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ； x1x 2= 。3、以 2和3为根的一元二次方程 ( 二次项系数为1)是 。4、如果关于 x的一元二次方程 x2+ 2 x+a=0的一个根是 1 2 ,那么另一个根是 ,a的值为 。5、如果关于 x的方程 x 2+6x+k=0的两根差为2,那么 k= 。6、已知方程 2x2+mx4=0两根的绝对值相等,则m= 。7、一元二次方程 px 2+qx+r=0(p0)的两根为0和 1,则q p= 。8、已知方程 x2mx+2

16、=0的两根互为相反数,则m= 。9、已知关于 x的一元二次方程 (a 21)x 2(a+1)x+1=0 两根互为倒数,则a= 。10、已知关于 x的一元二次方程 mx24x6=0的两根为x 1和x2,且x 1+x2=2,则m= ,(x 1+x2)x = 。1 x21311、已知方程 3x 2+x1=0,要使方程两根的平方和为9为 。,那么常数项应改12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为。13、若 、为实数且 +3+(2) 2=0,则以 、 为根的一元二次方程为 。( 其中二次项系数为 1)14、已知关于x的一元二次方程 x 22(m1)x+m2=0。若方程的两根互为倒

17、数, 则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数,则 m= 。15、已知方程x 2+4x2m=0的一个根 比另一个根 小4,则= ；= ；m= 。16、已知关于x的方程x 23x+k=0的两根立方和为 0,则k=17、已知关于x的方程x23mx+2(m1)=0的两根为x 1、x2,且m= 。1x11x234,则18、关于x的方程2x 23x+m=0,当 时,方程有两个正数根；当 m时,方程有一个正根,一个负根；当 m 时,方程有一个根为 0。19、若方程x 24x+m=0与x2x2m=0有一个根相同,则 m= 。20、求作一个方程, 使它的两根分别是方程 x 2+3x2=0两根的二倍, 则所求

18、的方程为 。21、一元二次方程 2x23x+1=0的两根与x23x+2=0的两根之间的关系是 。22、已知方程 5x2+mx10=0的一根是 5,求方程的另一根及 m的值。23、已知2+ 3是x24x+k=0的一根,求另一根和 k的值。24、证明：如果有理系数方程 x 2+px+q=0有一个根是形如 A+ B 的无理数(A、B均为有理数) ,那么另一个根必是 A B 。25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大 ?(1) x2 x x3 5 0, (2)2263026、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x

19、31x 2+x1x3227、已知x1和x 2是方程2x 23x1=0的两个根, 利用根与系数的关系, 求下列各式的值：1 12x1 x2228、已知x1和x 2是方程2x 23x1=0的两个根, 利用根与系数的关系, 求下列各式的值：(x21x 22)229、已知x1和x 2是方程2x 23x1=0的两个根, 利用根与系数的关系, 求下列各式的值：x1x230、已知x1和x 2是方程2x 23x1=0的两个根, 利用根与系数的关系, 求下列各式的值：2x2x131、已知x1和x 2是方程2x 23x1=0的两个根, 利用根与系数的关系, 求下列各式的值：x 51 x 22+x21 x5232、

20、求一个一元二次方程,使它的两个根是 2+ 6 和2 6 。33、已知两数的和等于 6,这两数的积是 4,求这两数。34、造一个方程,使它的根是方程 3x27x+2=0的根；(1) 大3；(2)2 倍；(3) 相反数；(4) 倒数。35 、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足： (1) 一个根比另一个根大 2；(2) 一个根是另一个根的 3倍；(3) 两根差的平方是 17。36 、已知关于x的方程2x2( m1)x+m+1=0的两根满足关系式 x1x 2=1,求m的值及两个根。37 、是关于x的方程4x 24mx+m2+4m=0的两个实根,并且满足9( 1) ( 1)

21、1 ,求m的值。10038 、已知一元二次方程 8x2(2m+1)x+m7=0,根据下列条件,分别求出 m的值：(1) 两根互为倒数；(2) 两根互为相反数；(3) 有一根为零；(4) 有一根为1；(5)两根的平方和为164。39 、已知方程 x2+mx+4=0和x2( m2)x 16=0有一个相同的根,求 m的值及这个相同的根。40 、已知关于 x的二次方程x22(a 2)x+a 25=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a的值。41 、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根, 两根之差等于 3,两根的平方和等于29,求b、c的值。42 、设：3a26a11=0,3b26b

22、11=0且ab,求a4b4的值。43 、试确定使 x2+(ab)x+a=0的根同时为整数的整数 a的值。44 、已知一元二次方程 (2k 3)x 2+4kx+2k5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当 k取何整数时,方程有两个整数根。45 、已知： 、是关于x的方程x 2+(m2)x+1=0的两根,求 (1+m+2)(1+m+2) 的值。46 、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根, x 1+1、x 2+1是关于x的方程x 2+qx+p=0的两根,求常数 p、q的值。47 、已知x1、x 2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根； y1、y 2是关于y

23、的方程y2+5my+7=0的两个实数根,且 x 1y1=2,x 2y 2=2,求m、n的值。48 、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为 1的实根,x 2+2(a+m)x+2am2+6m4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。49 、关于x的一元二次方程 3x2(4m21)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求 m的值。50 、已知： 、是关于x的二次方程： (m2)x 2+2(m4)x+m4=0的两个不等实根。(1) 若m为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值；(2) 若2+2=6时,求m的值。51 、已知关于x的方程mx2nx+2=0两根相等, 方

24、程x24mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程 x 2(k+n)x+(k m)=0一定有实数根。52 、关于x的方程边长。12 n2x 2 mx =0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底4(1) 求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是 8,等腰三角形的面积是 12,求这个三角形的周长。53 、已知关于 x的一元二次方程 x 2+2x+p2=0有两个实根 x1和x2(x 1x2) ,在数轴上,表示x2的点在表示 x1的点的右边,且相距 p+1,求p的值。54 、已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根为 、 ,且两个关于 x的方程x2+(

25、+1)x+2=0与x 2+( +1)x+2= 0有唯一的大众根, 求a、b、c的关系式。55、如果关于 x的实系数一元二次方程 x 2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根 、,那么( 1) 2+(1) 2的最小值是多少 ?56、已知方程 2x 25mx+3n=0的两根之比为2 3,方程 x22nx+8m=0的两根相等(mn0)。求证：对任意实数 k,方程 mx 2+(n+k1)x+k+1=0恒有实数根。57、(1)方程x23x+m=0的一个根是 2 ,则另一个根是 。(2)若关于 y的方程 y2my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么 m,n应满足 。58 、不解方程 ,求下列各方程的

26、两根之和与两根之积x 2+3x+1=0；59 、不解方程 ,求下列各方程的两根之和与两根之积3x22x1=0；60 、不解方程 ,求下列各方程的两根之和与两根之积2x 2+3=0；61 、不解方程 ,求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0。62 、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是 2,求它的另一个根及 m的值。63 、已知关于x的方程3x21=tx的一个根是 2,求它的另一个根及 t的值。64 、设x1,x 2是方程3x22x2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：(1)(x 14)(x24)；(2)x 13x 24+x14x 23；(3)1 1x x ；1 2

27、 33x x2 1(4)x 13+x 23。65、设x1,x 2是方程2x24x+1=0的两个根,求 x1x2的值。66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是 x1和x2,方程x2mx+n=0的两实根是 x 1+7和x 2+7, 求m和n的值。67、以2,3为根的一元二次方程是 ( )A.x 2+x+6=0 B.x 2+x6=0C.x2x+6=0 D.x 2x6=068、以3,1为根,且二次项系数为 3的一元二次方程是 ( )A.3x 22x+3=0 B.3x2+2x3=0C.3x 26x9=0 D.3x2+6x9=069、两个实数根的和为 2的一元二次方程可能是( )A.x 2+2x3=0

28、 B.x 22x+3=0C.x2+2x+3=0 D.x 22x3=070、以3,2为根的一元二次方程为 ,以321,321为根的一元二次方程为 ,以5,5为根的一元二次方程为 ,以4,14为根的一元二次方程为 。71、已知两数之和为 7,两数之积为 12,求这两个数。72、已知方程2x23x3=0的两个根分别为 a,b,利用根与系数的关系, 求一个一元二次方程 ,使它的两个根分别是：(1)a+1.b+1(2)2b 2a ,a b773、一个直角三角形的两条直角边长的和为 6cm,面积为 2cm2,求这个直角三角形斜边的长 。74、在解方程x 2+px+q=0时,小张看错了 p,解得方程的根为

29、1与3；小王看错了q,解得方程的根为 4与2。这个方程的根应该是什么 ?75、关于 x的方程 x2ax3=0有一个根是 1,则a= ,另一个根 是 。76、若分式( )2xx2x13的值为0,则x的值为 A.1 B.3 C.1或3 D.3或177、若关于 y的一元二次方程 y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则 ( )A.m=0且n 0 B.n=0且m 0C.m=0且n 0 D.n=0且m 078、已知 x1,x2是方程2x 2+3x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各 式的值：(1)(2x13)(2x23)；(2)x 13x 2+x1x 23。79、已知 a2=1a,b2=1b,且 ab,求 ( a1)(b1)的值。80、如果x=1是方程2x23mx+1=0的一个根,则 m= ,另一个根为 。81、已知m2+m4=0, 1