反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

1、黄冈师范学院本科生毕业论文 本 科 生 毕 业 论 文论 文 题 目： 反常积分与无穷级数收敛关系的讨论 作 者： 陈 淦 院 系： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 201104 指 导 教 师： 何 春 玲 2015 年 5 月 17 日no.：2011211404032008200x2xx40xxx200x2xx40xxxhuanggang normal universitythesis graduatestopic： discuss improper integrals and infinite series converges relations author： chen

2、 gan college： college of mathematics and physics specialty： mathematics and applied mathematics class： 201104 tutor： he chunling may 17th, 2015郑重声明本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 何春玲 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外,没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为,本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 特此郑重声明！指导老师(手写签名)：论文作者(手写签名)： 年 月 日摘要数学分析是一个研

3、究变量的学科,既有连续变量,又有离散变量.级数和积分是数学分析中的两个重要概念,它们之间有着密切的联系,体现了离散与连续这一基本矛盾的对立与统一.因此深入研究两者关系,有助于我们理解数学分析原理,解决相关问题.二者似乎相距甚远,实则同出一源.它们本质上都是求和运算,只不过是对两种不同的变量求和,同时都是一个极限过程,因此“连续化”问题的积分理论（反常积分）和“离散化”问题的级数理论（数项级数）有很多性质、定理都是相互对应的,二者在研究问题与论证方法上极为相似.本文从判别法等方面对二者加以比较,列出了很多平行的结论,以及一些区别,指出它们之间的相互转化关系,并应用这种关系,通过某类问题的求解探究

4、另一类问题的解法,从而使读者体会离散与连续的相互转化思想,学会数学知识的迁移.关键词：反常积分；无穷级数；对比研究；审敛法abstract mathematical analysis is a subject mainly studying on variables, including the continuous and discrete ones. series and integrals are two important concepts of it, there is a close relationship between them. they embodies the oppo

5、site and uniformity of basic contradiction of continuity and discreteness. so doing further research on the relationship between the two terms helps us to understand mathematical analysis principle, and to solve some related questions. both seem to produce a conservation-based legacy with source. th

6、ey are peace operations, is merely to two different variables summation, at the same time is a limit process, so continuous questions of integral theory (generalized integrals, with respect to the integral, etc.) and discretization questions of series (several series, function of series) have many p

7、roperties, theorem are mutual correspond, both in research on problems with similar reasoning methods. by comparing the concepts, convergence, nature and discriminant method of both aspects, this article lists many paralleled conclusions and some differences, as well as the translation between them.

8、 and solve some problems of one kind by applying the solutions of the other kind, thus helping the readers to realize the transformation between discrete and continuous thoughts, and be able to learn mathematics knowledge migration.keywords improper integral; infinite series; comparative study; the

9、inspection technique 目录第1章 绪论11.1 选题背景及意义11.2 问题的提出11.3 相关文献综述21.4 论文的主要结构3第2章 反常积分的收敛方法42.1非负函数无穷积分的收敛判别法42.2一般无穷积分的收敛判别法52.3本章小结7第3章 无穷级数的收敛方法83.1 无穷级数的概念83.2正项级数的一般判别方法83.3一般项级数收敛性判别方法12第4章 无穷级数与无穷积分的关系探讨154.1反常积分与数项级数的联系154.2无穷积分和无穷级数的审敛法比较164.3无穷积分与无穷级数差异174.4本章小结19结束语20致谢21参考文献22第1章 绪论1.1 选题背景

10、及意义级数和反常积分是微积分学中的重要内容,微积分又是以极限为工具来研究数学内容的 .数学分析也叫微积分学它是在17世纪中叶由牛顿和莱布尼茨创立,由麦克劳林、泰勒、达郎贝尔、拉格郎日等数名数学家,历经200多年的发展和完善直到19世纪末才形成现今我们说的数学分析主要内容 .对于级数主要包括数项级数、交错级数、函数项级数、幂级数以及傅里叶级数等主要内容；反常积分也称广义积分主要包括无穷积分和瑕积分两方面内容；反常积分是学习了定积分后又一新的内容,是对定积分的进一步推广,反常积分打破了定积分的区间有穷性和被积函数的有界性限制,无穷积分主要研究的是无穷区间上的“积分”问题,瑕积分主要研究的是无界函数

11、的积分问题 ,它们的共同点都是以极限为工具转化为我们熟悉定积分问题进行研究的 .1.2 问题的提出 本论文想通过对反常积分和数项级数以及它们的含参量形式这两对概念的定义、性质、收敛判别法等方面加以比较,列出相平行的结论,得出它们之间确实有着本质的联系这一事实,进而找到这一联系；意义是根据它们的联系,就可以通过离散的形式的理论或研究方法探索得到相应的连续形式的结论,或反过来由连续的形式探究离散形式的理论方法,从而学会知识的迁移,解决更多的问题.1.3 相关文献综述数学分析（上、下册）是数学系数学专业的一门重要基础课,它的任务是使学生获得极限论,一元函数微分学,无穷级数与多元函数微积分学等方面的系

12、统知识.上册内容包括实数集和函数,数列,极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实属完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,附录分为微分学简史,实数理论,积分表等；下册包括数项级数,函数列与函数项级数,幂级数,隐函数,多元函数微积分等.数学分析中的典型问题与方法这本书全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型,每种类型的基本方法,旨在拓宽基础,启发思路,培养学生分析问题和解决问题的能力.包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数；多元函数极限、连续、微分、积分.并参阅了70余种教材、文献及参考书,经过反复推敲、修改和筛选,在几代人长期教学实践的基础上编写而成.选题具有

13、很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对培养学生的能力极为有益.数学分析的思想方法通过多角度、深层次、全方位地探讨了数学分析学科的思想方法对数学分析内容体系中所体现的重要思想进行了探讨与分析.并且通过大量的事例对数学分析内容中所常用的数学思想进行了举例与分析；对数学美与数学分析中的美学思想进行了论述与分析；对微积分创立过程中数学家的思想和方法进行了整理与分析；最后以附录的形式将古代数学家解决问题的方法进行了举例与说明.数学分析纵横谈的作者用唯物史观阐述微积分的发展史和评价历史人物, 采用文理渗透的方法,探索数学分析与史学、 逻辑学、 哲学、 美学及心理学等的联系,融学术性、 教育性、

14、指导性为一体, 是一部数学研究的力作, 对21世纪的数学分析课程建设, 将发挥重要的作用.数学分析原理是数学系经典原版书籍,共分为十一章,涉及了实和复的数域、拓扑、序列与级数、连续性、微分、黎曼斯蒂尔切斯积分、函数列与函数项级数、特殊函数、多元函数以及勒贝格理论等与数学分析相关的内容.反常积分与无穷级数在惟质及敛散性判别法方面极其类似，无穷积分的许多结论几乎是无穷级数相应部分的逐字逐句的“搬家”.目前,许多文献对无穷积分和无穷级数进行了研究.如张千祥1等.研究了无穷积分与无穷级数的关系；关东月2，研究了无穷积分与无穷级数收敛的必要条件的不同之处。本文则主要给反常积分和无穷级数的一个等价关系，进

15、行比较研究。1.4 论文的主要结构对反常积分和数项级数概念的定义、性质以及收敛判别法等方面列出了很多平行结论加以比较,对其中一些重要结论给出了证明,指出了它们之间可以相互转化.并根据这种转化关系,利用一类问题的解法得到另一类问题的求解.最后指出了它们之间存在的一些差别.第1章从选题背景及意义、问题提出、相关文献综述、论文结构这四个方面来阐述,说明了该论题研究现状和成果.第2章 从反常积分的收敛方法，通常所讲的反常积分和无穷级数在理论和研究方法上联系.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化.第3章 简单介绍无穷级数概念与各种收敛方法.第4章 探讨了反常积分与无穷级数收敛关系，并对它们的

16、判别法进行了对比研究.第2章 反常积分的收敛方法通常所讲的反常积分主要包含两类：无穷区间上的反常积分(或称无穷积分)和无界函数的反常积分(或称瑕积分).反常积分和无穷级数在理论和研究方法上几乎是平行的.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化,因此,只需要对其中一类反常积分进行讨论即可,以下主要以无穷积分为例,探析反常积分与无穷级数收敛性关系.2.1非负函数无穷积分的收敛判别法定理2.13（比较判别法）设定义在 上的两个非负函数和都在任何有限区 上可积,且满足 ,则当收敛时必收敛(或者,当发散时必发散）. 推论2.1（比较判别法的极限形式） :若和都在任何有限区间上可积,当时,且,则有

17、： (i)当时,与同敛态；（ii）当时,有收敛可推知也收敛； (iii)当时,由发散可推知也发散.特别地,如果选用作为比较对象,则我们有如下两个推论（称为柯西判别法）.推论2.2（cauchy判敛法）: 若定义于 ,且在任何有限区间上可积,则有：(i)当； （ii）推论2.3（cauchy判敛法的极限形式 ）:若是定义于上的非负函数,在任何有限区间上可积,且 ,则有 （i）当 (ii)当例2.1 讨论下列无穷积分的收敛性 解：,所以由推论3知收敛.2.2一般无穷积分的收敛判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法定理2.2（狄利克雷判别法）若在区间上上有界 , 在上当时单调趋于0,则收敛

18、.定理2.3（阿贝尔判别法） 若收敛 ,在上单调有界 ,则收敛. 例2.2 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛. 例2.3 讨论积分 (a0) 的收敛性（p为实数）解：当时,因=（）所以发散当1时=ip(b)因为 ip(b)=所以积分 当p1时收敛,值为；当p0)的收敛性解：因(同理所以收敛, 且2.3本章小结详细介绍了无穷积分比较判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,用不同的判别法来判断例题的敛散性.第3章 无穷级数的收敛方法3.1 无穷级数的概念 给定一个数列,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 （3-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数）,其中称为数项级数的通项或一般

19、项.数项级数也常写作或简单写作.数项级数的前项之和,记为 , （3-2）称它为数项级数的第个部分和,也简称部分和.若数项级数的部分和数列收敛于 即（）,则称收敛,称为的和,记作 或 .若是发散数列,则称数项级数（3-1）发散. 3.2正项级数的一般判别方法定理3.1（正向级数的单调有界判别）正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界,即存在某正数m,对一切正整数有.定理3.2（正项级数的比较原则）设级数和是两个正项级数,如果存在某正整数,对一切都有 ,则(i)若级数收敛,则级数也收敛；(ii)若级数发散,则级数也发散.例3.1 判别级数敛散性；解：因为而正项级数收敛，由比较判别法知级数收敛.推论

20、3.1（正项级数比较判别法的极限形式）设级数和是两个正项级数.若 则 (i)当时,级数和同时收敛或同时发散； (ii)当时且级数收敛时,级数也收敛；(iii)当时且级数发散时,级数也发散.例3.2判别级数敛散性；解：因为而正项级数发散，有比较判别法极限形式知发散.判别级数根据比较原则,可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性.本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的.定理3.3（达朗贝尔判别法,或称比式判别法）设为正项级数,且存在某正整数及常数(i)若对一切,成立不等式 ,则级数收敛.(ii)若对一切,成立不等式 ,则级数发散.例3.3判别的敛散性解 因为所以

21、正项级数发散.推论3.2（比式判别法的极限形式)若为正项级数,且 则 （i）当时,级数收敛； （ii）当或时,级数发散.定理3.4（柯西判别法,或称根式判别法）设为正项级数,且存在某正整数及正常数,(i)若对一切,成立不等式则级数收敛.(ii)若对一切,成立不等式则级数发散.例3.4 判断判别法；解 因为所以由根式判别法知收敛.推论3.3（根式判别法的极限形式）设为正项级数,且则(i)当时,级数收敛；(ii)当时,则级数发散.积分判别法时利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.定理3.5 (积分判别法) 设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同

22、时发散.定理3.6(拉贝判别法) 设为正项级数,且存在某正整数及常数,(i)若对一切,成立不等式,则级数收敛；(ii)若对一切,成立不等式则级数发散.例3.5 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性解：因为所以由拉贝判别法知级数收敛.推论3.4 （拉贝判别法的极限形式）设为正项级数,且极限存在,则(i)当时,级数收敛；(ii)当时,则级数发散.3.3一般项级数收敛性判别方法关于一般数项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂,所以下面只讨论了某些特殊类型级数 的收敛性问题.（1）交错级数： （3-3）定理3.7（莱布尼茨判别法）若交错级数（3-3）满足下述两个条件：(i)数列单调递减；(ii)则级数（3

23、-3）收敛.（2）讨论级数 （3-4）收敛性判别方法.定理3.8（阿贝尔判别法） 若为单调有界数列,且级数收敛,则级数（3-4）收敛.定理3.9（狄利克雷判别法） 若数列单调递减,且,又级数的部分和数列有界,则级数（3-4）收敛.例3.5 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别判断下列级数的收敛性；（1） ;解：数列，但时有同时，当时有即严格递减且有界；当时，原级数为，满足莱布尼茨条件，即收敛；时，有即严格递减且有界.又由于是收敛的，故由阿贝尔判别法知原级数收敛.本章详细介绍了各种级数的收敛判别方法用不同的方法来判断级数的敛散性.第4章 无穷级数与无穷积分的关系探讨无穷积分和无穷级数的敛散性都是通过极

24、限来定义的，只不过无穷积分是函数的极限，无穷级数是数列的极限，两者有着密切的联系.4.1反常积分与数项级数的联系定理4.1 收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列（其中a1=a）,数项级数收敛,且. （4-1）证：必要性 如果反常积分收敛,则充分性 已知对任意的趋于+的递增数列（其中a1=a）,数项级数收敛,即它的部分和数列（或）收敛,由海涅定理知,反常积分收敛,且由此得到讨论无穷积分的收敛问题可考虑转化为讨论无穷级数的收敛问题;另一方面,每一数项级数,可以看作一个阶梯函数的无穷限反常积分,只要置,因而.4.2无穷积分和无穷级数的审敛法比较二者常用的审敛法有比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别

25、法和阿贝尔判别法。下面主要通过定理4.1,由无穷级数的判别法来推出无穷积分也具有相应的判别法。例4.1 由无穷级数的比较判别法可以推出无穷积分也具有比较判别法，反之同理。证明：已知无穷级数的比较判别法即：当时，若级数收敛。则级教也比收敛。由定理4.1 可构造如下函数；，其中是任意趋于的递增数列。由于，故， （4-2）因为定理4.1和级数收敛，所以无穷积分收敛；同理，因为定理4.1和级数收敛，所以无穷积分收敛；又由于级数收敛，则必有也收敛。故无穷积分收敛时，则必有穷积分也收敛。综上可知：(4-2)式成立时，无穷积分穷积分收敛，则必有收敛。反之同理。由无穷级数的柯西判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判

26、别法等判别法也可以推出无穷积分也具有柯西柯西判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法别法等判别法。反之同理。而证明方法和上述的证明方法相仿因此略。4.3无穷积分与无穷级数的差异对于无穷级数收敛的必要条件是,但对于无穷积分,却未必有.例如，条件收敛,而却不存在.究其原因,该例子中的是变号的.进一步,当,且连续,是否就有呢？回答是否定的.例如4.2 无穷积分收敛.被积函数.在时,且满足.这表明函数图像与第一项限的角平分线有无穷多个交点,交点的坐标是（）.但当时,函数值就急剧下降,当时函数图像已经与轴很难区分开来.这个例子说明无穷积分收敛,不仅有,而且可以有,即函数是无界的.事实上,由定理我们可以看出式

27、（4-1）中的,相当于无穷级数中的,而不是.那么加什么条件才能得到结果呢？收敛时,互为充分条件定理4.2 收敛,且在上一致连续,则.证明 用反证法.假设,即,有.已知在一致连续,即,有. （4-2）,.若,则有,矛盾.若,则,由（2）式有从而.若,则,由（2）式有从而,即 .于是,有.根据cauchy收敛准则逆否命题,发散,已知条件矛盾.于是,.定理4.3 若函数有连续导数,且无穷积分与都收敛,则.证明 已知无穷积分收敛,即存在,也就是极限存在.设.下面证明.用反证法.假设,不妨设,即.由连续函数的保号性,于是,有 .从而,有.根据cauchy收敛准则逆否命题,发散,已知条件矛盾.于是,.4.

28、4本章小结通过对无穷积分与无穷级数的审敛法的对比研究说明二者判别法上极为相似的本质原因.再通过同时阐述了无穷积分与无穷级数间的内在关系,这两部分内容为数学分析学习搭建了桥梁,将更易于掌握新知识、理清知识前后脉络关系.结束语反常积分和无穷级数是数学分析中重要的两部分内容，自从微积分发展以来，反常积分与无穷级数的对比研究一直是经典内容。本文主要从三个方面入手，首先详细介绍了无穷积分与无穷级数的常用判别方法，并加以习题予以应用。再通过对无穷积分和无穷级数的判别方法对比研究发现：无穷积分和无穷级数的敛散性都是由极限来定义的，只不过无穷积分是函数的极限，无穷级数是数列的极限，并且这两部分能相互转化，故它们的大多收敛问题都可归化为同一种问题解决。这也是无穷积分与无穷级数在性质和判别法上有这么多相似地方的本质原因。 虽然无穷积分与无穷级数有这么多相似的地方，它们仍有不同地方。比如无穷级数收敛的必要条件并不能推广成无穷积分收敛的必要条件。故最后为此讨论了无穷积分收敛时一定有的若干充分条件。全文通过比较无穷积分和无穷级数的共同点与不同点，发现它们内在关系，为这两部分内容的学习搭建了桥梁，将更易于掌握新知识、理清知识的前后脉络关系。致谢 这篇论文之所以能够顺利地完成，除了自身的努力之外，还与他人的帮助是分不开的.因此在这里，我要对所有帮助过我的人表示感谢.首先