高考专题突破四高考中的立体几何问题

1、第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）高考专题突破四高考中的立体几何问题高考专题突破四高考中的立体几何问题热点题型命题分析类型一：线面位置关系与体积计算线、面的平行与垂直关系是考查的热点内容，通过空间几何体的体积计算，考查学生的空间想象能力类型二：线面位置关系中的探索性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）1正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1中，中，D为为BC中点，中点，E为为A1C1中中点，

2、则点，则DE与平面与平面A1B1BA的位置关系为的位置关系为()A相交相交 B平行平行C垂直相交垂直相交 D不确定不确定第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【解析】【解析】 如图取如图取B1C1中点为中点为F，连接连接EF，DF，DE，则则EFA1B1，DFB1B，平面平面EFD平面平面A1B1BA，DE平面平面A1B1BA.【答案】【答案】 B 第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）2(2018成都模拟成都模拟)如图是一个几何体的三视图如图是一个几何体的三视图(侧视图

3、侧视图中的弧线是半圆中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是，则该几何体的表面积是()第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）A203 B243C204 D244第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）3(2019全国全国卷卷)如图，在下列四个正方体中，如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这为所在棱的中点，则在这四

4、个正方体中，直线四个正方体中，直线AB与平面与平面MNQ不平行的是不平行的是()第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【解析】【解析】 A项，作如图项，作如图所示的辅助线，其中所示的辅助线，其中D为为BC的中点，则的中点，则QDAB.QD平面平面MNQQ，QD与平面与平面MNQ相交，相交，直线直线AB与平面与平面MNQ相交相交B项，作如图项，作如图所示的辅助线，则所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又又AB 平面平面MNQ，MQ 平面平面MNQ，AB平面平面MNQ.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复

5、习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）C项，作如图项，作如图所示的辅助线，则所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又又AB 平面平面MNQ，MQ 平面平面MNQ，AB平面平面MNQ.D项，作如图项，作如图所示的辅助线，则所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ.又又AB 平面平面MNQ，NQ 平面平面MNQ，AB平面平面MNQ.故选故选A.【答案】【答案】 A 第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）4(2019全国全国

6、卷卷)长方体的长、宽、高分别为长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球其顶点都在球O的球面上，则球的球面上，则球O的表面积为的表面积为_第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）题型一求空间几何体的表面积与体积题型一求空间几何体的表面积与体积【例【例1】 (2019全国甲卷全国甲卷)如图，菱形如图，菱形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O，点，点E，F分别在分别在AD，CD上，上，AECF，EF交交BD于点于点H，将

7、，将DEF沿沿EF折到折到DEF的位置的位置第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【思维升华】【思维升华】 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等体等规则几何

8、体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解得到几何体的直观图，然后根据条件求解第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空

9、间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【解析】【解析】 (1)证明证明 PA平面平面ABCD，AB 平面平面ABCD，PAAB.又又ADAB，PAADA，AB平面平面PAD，又又PD 平面平面PAD，PDAB.APAD且且E为为PD的中点，的中点，AEPD，又，又AEABA，PD平面平面ABE.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理

10、科（RJRJ）题型二空间点、线、面的位置关系题型二空间点、线、面的位置关系【例【例2】 (2019山东高考山东高考)由四棱柱由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去截去三棱锥三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形后得到的几何体如图所示四边形ABCD为正方形，为正方形，O为为AC与与BD的交点，的交点，E为为AD的中点，的中点，A1E平平面面ABCD.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）(1)证明：证明：A1O平面平面B1CD1；(2)设设M是是OD的中点，证明：平面的中点，证明：平面A1EM平面平面B1CD1.第八章第八章

11、立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【证明】【证明】 (1)取取B1D1的中点的中点O1，连接，连接CO1，A1O1，由于由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，是四棱柱，所以所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以为平行四边形，所以A1OO1C.又又O1C 平面平面B1CD1，A1O 平面平面B1CD1，所以所以A1O平面平面B1CD1.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）(2)因为因为ACBD，E，M分别为分别为AD和和OD的中点，的中点

12、，所以所以EMBD.又又A1E平面平面ABCD，BD 平面平面ABCD，所以所以A1EBD.因为因为B1D1BD，所以所以EMB1D1，A1EB1D1.又又A1E，EM 平面平面A1EM，A1EEME，所以所以B1D1平面平面A1EM.又又B1D1 平面平面B1CD1，所以平面所以平面A1EM平面平面B1CD1.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【思维升华】【思维升华】 (1)证明面面垂直，将证明面面垂直，将“面面垂直面面垂直”问问题转化为题转化为“线面垂直线面垂直”问题，再将问题，再将“线面垂直线面垂直”问题转化问题转化为为“

13、线线垂直线线垂直”问题问题证明证明C1F平面平面ABE：()利用判定利用判定定理，关键是在平面定理，关键是在平面ABE中找中找(作作)出直线出直线EG，且满足，且满足C1FEG.()利用面面平行的性质定理证明线面平行，则利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化面面平行的转化(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化第八章第八章 立体几何与

14、空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）跟踪训练跟踪训练2 如图，在三棱锥如图，在三棱锥SABC中，平面中，平面SAB平面平面SBC，ABBC，ASAB.过过A作作AFSB，垂足为，垂足为F，点，点E，G分别是棱分别是棱SA，SC的中点的中点求证：求证：(1)平面平面EFG平面平面ABC；(2)BCSA.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【证明】【证明】 (1)由由ASAB，AFSB知知F为为SB中点，中点，则则EFAB，FGBC，又，又EFFGF，ABBCB，因此平面因此平面EFG平面平面A

15、BC.(2)由平面由平面SAB平面平面SBC，平面，平面SAB平面平面SBCSB，AF 平面平面SAB，AFSB，所以所以AF平面平面SBC，则，则AFBC.又又BCAB，AFABA，则，则BC平面平面SAB，又又SA 平面平面SAB，因此，因此BCSA. 第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）(1)证明：证明：CD平面平面A1OC；(2)若平面若平面A1BE平面平面BCDE，求平面，求平面A1BC与平面与平面A1CD夹角的余弦值夹角

16、的余弦值第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）所以四边形所以四边形BCDE为平行四边形，故有为平行四边形，故有CDBE，所以四边形所以四边形ABCE为正方形，所以为正方形，所以BEAC，即在题图即在题图2中，中，BEOA1，BEOC，且，且A1OOCO，从而从而BE平面平面A1OC，又，又CDBE，所以所以CD平面平面A1OC.(2)由已知，平面由已知，平面A1BE平面平面BCDE，又由又由(1)知，知，BEOA1，BEOC，所以所以

17、A1OC为二面角为二面角A1BEC的平面角，的平面角，第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【思维升华】【思维升华】 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况一折前后图形

18、中线面位置关系和度量关系的变化情况一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化在同一个平面上的性质发生变化第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）跟踪训练跟踪训练3 (2018桂林调研桂林调研)如图如图(1)，四边形，四边形ABCD为矩为矩形，形，PD平面平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图，作如图(2)折折叠，折痕叠，折痕EFDC.其中点其中点E，F分别在线段分别在线段PD，PC上，沿上，沿EF折叠后，点折叠后，点P叠在线段叠在线段AD上的点记为上

19、的点记为M，并且，并且MFCF.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）(1)证明：证明：CF平面平面MDF；(2)求三棱锥求三棱锥MCDE的体积的体积第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【解析】【解析】 (1)证明证明 因为因为PD平面平面ABCD，AD 平面平面ABCD，所以所以PDAD.又因为又因为ABCD是矩形，是矩形，CDAD，PD与与CD交于点交于点D，所以所以AD平面平面PCD.又又CF 平面平面PCD，所以所以ADCF，即，即MDCF.又又MFCF，MDM

20、FM，所以，所以CF平面平面MDF.(2)因为因为PDDC，PC2，CD1，PCD60，第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）题型四立体几何中的存在性问题题型四立体几何中的存在性问题【例【例4】 (2018邯郸模拟邯郸模拟)在直棱柱在直棱柱ABCA1B1C1中，中，AA1ABAC1，E，F分别是分别是CC1，BC的中点，的中点，AEA1

21、B1，D为棱为棱A1B1上的点上的点第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【解析】【解析】 (1)证明证明 AEA1B1，A1B1AB，AEAB.又又AA1AB，AA1AEA，AB平面平面A1ACC1.又又AC 平面平面A1ACC1，ABAC.以以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八

22、章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【思维升华】【思维升华】 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手一般先假对于探索性问题用向量法比较容易入手一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且