第1章集总参数电路中电压、电流的约束关系

1、第一篇 总论和电阻电路分析 第 一 章集总参数电路中电压、电流的约束关系1.1 电路及集总电路模型一、电路模型（circuit model)1、 何谓电路(circuit)? 由电器件相互连接所构成的电流通路称为电路。 电工设备:发电机，变压器，电动机，电灯，电炉，电风扇，开关，等等。电子器件：电阻，电容，电感，二极管，三极管，集成电路，等等。连接导线：电缆，电线。2、 实际电路的组成提供电能的能源,简称电源；用电装置，统称其为负载。连接电源与负载而传输电能的金属导线，简称导线。它将电源提供的能量转换为其他形式的能量；电源、负载、导线是任何实际电路都不可缺少的三个组成部分。中间环节：传递、分配

2、和控制电能的作用负载: 取用电能的装置电源: 提供电能的装置发电机升压变压器降压变压器电灯电动机电炉.输电线激励：电源或信号源的电压或电流，它推动电路工作；响应：由激励所产生的电压和电流。信号处理：放大、调谐、检波等信号源: 提供信息直流电源 放大器扬声器话筒负载直流电源: 提供能源3、 实际电路的功能 进行能量的产生、传输与转换。 如电力系统的发电、传输等。发电机升压变压器降压变压器电灯电动机电炉.输电线实现信号的产生、变换、处理与控制。如电视机、电话、通信电路等，实现雷达信号处理、通信信号处理、生物信号处理等。 由电阻器、电容器、线圈、变压器、晶体管、运算放大器、传输线、电池、发电机和信号

3、发生器等电气器件和设备连接而成的电路，称为实际电路。二、集总假设l 根据实际电路的几何尺寸(d)与其工作信号波长()的关系，可以将它们分为两大类：l (1)集总参数电路：满足d条件的电路。l (2)分布参数电路：不满足d0，则表示电路N确实消耗（吸收）功率；若p0，则表示电路N吸收的功率为负值，实质上它将产生（提供或发出）功率。由此容易得出，当电路N的u和i关联（如图a），N产生功率的公式为p(t) = - u(t) i(t)当电路N的u和i非关联（如图a） ，则N产生功率的公式为p(t) = u(t) i(t)思考与练习1、 为什么在分析电路时，必须规定电流的参考方向和电压的参考极性？参考方

4、向与实际方向有什么关系？2、 求图中各二端元件的吸收功率。4、能量的计算 根据功率的定义 ，两边从-到t积分，并考虑w(-) = 0，得（设u和i关联） 对于一个二端元件（或电路），如果w(t)0，则称该元件（或电路）是无源的或是耗能元件（或电路）。三、常用国际单位制（SI）词头因数原文名称（法）中文名称符号109giga吉G106mega兆M103kilo千k10-3milli毫m10-6micro微10-9nano纳n10-12pico皮pp(t) = -u(t) i(t) 前面介绍电流、电压、功率和能量的基本单位分别是安（A)、伏（V)、瓦（W)、焦耳（J)，有时嫌单位太大（无线电接受）

5、，有时又嫌单位太小（电力系统），使用不便。我们便在这些单位前加上国际单位制（SI）词头用以表示这些单位被一个以10为底的正次幂或负次幂相乘后所得的SI单位的倍数单位。基尔霍夫(G.R.Kirchhoff) (1824-1887) 德国物理学家,以他对光谱分析，光学，和电学的研究著名。基尔霍夫给欧姆定律下了严格的数学定义。还于1860年发现铯和鉫元素。在他还是23岁大学生的时候就提出了著名的电流定律和电压定律，这成为集中电路分析最基本的依据。 1.3 基尔霍夫定律 1847年，基尔霍夫 (G.R.Kirchhoff) 提出两个定律：基尔霍夫电流定律(Kirchhoffs Current Law,

6、简记KCL)基尔霍夫电压定律(Kirchhoffs Voltage Law,简记KVL)。它只与电路的结构有关，而与构成电路的元件性质无关。 一、电路图的有关术语1、支路（branch)：每个电路元件可称为一条支路；每个电路的分支也可称为一条支路。支路上电流和电压分别称为支路电流和支路电压。p(t) = u(t) i(t)2、节点/结点(note)支路的连接点。电路元件的连接点。图示电路中，a、b、c点是结点，d点和e点间由理想导线相连，应视为一个结点。该电路共有4个结点。 3、回路：由支路组成的任何一个闭合路径。图示电路中 1,2、1,3,4、1,3,5,6、2,3,4、2,3,5,6和4,

7、5,6都是回路。 注：若将每个电路元件作为一个支路；则图中有6条支路，4个节点(a、b、c、d)，注意：由于a点与a点是用理想导线相连，从电气角度看，它们是同一节点，可以合并为一点。 b点与b点也一样。若将每个电路分支作为一个支路；则图中只有4条支路，2个节点(a和b) 。 4、网孔：将电路画在平面上内部不含有支路的回路，称为网孔。l若N 图示电路中的1,2、2,3,4和4,5,6回路都是网孔。 网孔与平面电路的画法有关，例如将图示电路中的支路1和支路2交换位置，则三个网孔变为1,2、1,3,4和4,5,6。注：平面电路是指能够画在一个平面上而没有支路交叉的电路。1,2、2,3,4和4,5,6

8、是网孔。二、基尔霍夫电流定律KCL1、KCL内容 KCL描述了电路中与节点相连各支路电流之间的相互关系，它是电荷守恒在集总参数电路中的体现。 对于集总参数电路中的任一节点，在任一时刻，流入该节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。例：对右图所示电路a节点，利用KCL得KCL方程为： i2 + i3 = i1+ i4 或流入节点a 电流的代数和为零，即： - i1+ i2+ i3- i4= 0 或流出节点a 电流的代数和为零即： i1- i2- i3 + i4= 0 例如下图所示电路中的 a、b、c、d 4个结点写出的 KCL方程分别为： KCL方程是以支路电流为变量的常系数线性齐次代数方程，它

9、对连接到该结点的各支路电流施加了线性约束。 若已知i1=1A, i3=3A和i5=5A，则由 KCL可求得： 此例说明，根据KCL，可以从一些电流求出另一些电流。2、对KCL的说明 不仅适用于节点，而且适用于任何一个封闭曲面。例：对图(a)有 i1+ i2 - i3 = 0，对图(b)有 i = 0，对图(c)有 i1 = i2 。 应用KCL列写节点或闭合曲面方程时，首先要设出每一支路电流的参考方向，然后根据参考方向取符号：选流出节点的电流取正号则流入电流取负号或选流入节点的电流取正号则流出电流取负号均可以，但在列写的同一个KCL方程中取号规则应一致。应将KCL代数方程中各项前的正负号与电流

10、本身数值的正负号区别开来。KCL实质上是电荷守恒原理在集总电路中的体现。即，到达任何节点的电荷既不可能增生，也不可能消失，电流必须连续流动。从以上叙述可见： KCL的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电流，求出另外一些支路电流，即 集总参数电路中任一支路电流等于与其连接到同一结点(或封闭面)的其余支路电流的代数和，即流出结点的i1取正号时，流出结点的ik取负号。思考与练习 l3l 求图 l31电路中的电流i.解: 三、基尔霍夫电压定律KVL1、KVL内容 KVL描述了回路中各支路（元件）电压之间的关系，它是能量守恒在集总参数电路中的体现。 对于集总参数电路，在任一时刻，沿任一回路巡行一周

11、，各支路（元件）电压降的代数和为零。列写KVL方程具体步骤为：（1）首先设定各支路的电压参考方向；（2）标出回路的巡行方向（3）凡支路电压方向（支路电压“+”极到“-”极的方向）与巡行方向相同者取“+”，反之取“-”。2、举例 右图为某电路中一回路，从a点开始按顺时针方向(也可按逆时针方向）绕行一周，有：u1- u3+u5+u4u2 = 0当绕行方向与电压参考方向一致（从正极到负极），电压为正，反之为负。3、说明:用于求两点间的电压，如u6。则对回路a-d-e有 u6 + u 4 u2 = 0 u6 = u 2 u4则对回路a-b-c-d有 u1- u3+ u5 - u6 = 0 u6 = u

12、1- u3+ u5 u6 = u 2 u4 = u1- u3+ u5求a点到d点的电压： uad= 自a点始沿任一路径，巡行至d点，沿途各支路电压降的代数和。 对回路中各支路电压要规定参考方向；并设定回路的巡行方向，选顺时针巡行和逆时针巡行均可。巡行中，遇到与巡行方向相反的电压取负号； 应将KVL代数方程中各项前的正负号与电压本身数值的正负号区别开来。KVL实质上是能量守恒原理在集总电路中的体现。因为在任何回路中，电压的代数和为零，实际上是从某一点出发又回到该点时，电压的升高等于电路的降低。 1.4 电阻（resistor)元件电路中最简单、最常用的元件是二端电阻元件，它是实际二端电阻器件的理

13、想模型。一、电阻元件与欧姆定律电阻元件的定义 若一个二端元件在任意时刻，其上电压和电流之间的关系(VCR ：Voltage Current Relation，)，能用ui平面上的一条曲线表示，即有代数关系 f (u，i) = 0则此二端元件称为电阻元件。元件上的电压电流关系VCR也常称为伏安关系(VAR)或伏安特性。电阻元件的电路符号2、电阻的分类 如果电阻元件的VCR在任意时刻都是通过u-i平面坐标原点的一条直线，如图(a)所示，则称该电阻为线性时不变电阻，其电阻值为常量，用R表示。 若直线的斜率随时间变化(如图(b)所示)，则称为线性时变电阻。 若电阻元件的VCR不是线性的(如图(c)所示

14、) ，则称此电阻是非线性电阻。本课程重点讨论：线性时不变电阻。3、欧姆定律对于（线性时不变）电阻而言，其VCR由著名的欧姆定律(Ohms Law)确定。电阻的单位为：欧姆()。电阻的倒数称为电导(conductance)，用G表示，即 G = 1/R , 电导的单位是：西门子(S)。应用OL时注意：欧姆定律只适用于线性电阻，非线性电阻不适用；电阻上电压电流参考方向的关联性。4、两种特殊情况开路(Open circuit)：R=，G=0，伏安特性短路(Short circuit) ： R=0 ，G=，伏安特性 二、R吸收的功率对于正电阻R来说，吸收的功率总是大于或等于零。 三、举例例1 阻值为2

15、的电阻上的电压、电流参考方向关联，已知电阻上电压u(t) = 4cost (V)，求其上电流i(t)和消耗的功率p(t)。解： 因电阻上电压、电流参考方向关联，由OL得其上电流 i(t) = u(t) /R = 4cost/2 = 2cost (A)消耗的功率： p(t) = R i2(t) = 8 cos2t (W)。例2 如图所示部分电路，求电流I和18 电阻消耗的功率。解：在b点列KCL有 i1 = i + 12，在c点列KCL有 i2 = i1 + 6 = i + 18 ， 在回路abc中，由KVL和OL有 18i + 12i1 +6i2 = 0即 18 i + 12(i + 12)

16、+6(i + 18 ) = 0解得 i = -7(A) ，PR = i218 = 882(W)电 源 电源是有源的电路元件，它是各种电能量（电功率）产生器的理想化模型。独立电源，独立电压源，简称电压源(Voltage Source)，独立电流源，简称电流源(Current Source)非独立电源，常称为受控源 (Controlled Source) 1.5 电压源一、电压源定义 若一个二端元件接到任何电路后，该元件两端电压总能保持给定的时间函数uS(t)，与通过它的电流大小无关，则此二端元件称为电压源。 元件上的电压电流关系VCR也常称为伏安关系(VAR)或伏安特性。u(t) = uS(t)

17、，任何ti(t)任意R = 6 ，u = 6V，i =1 A：R = 3，u = 6V，i = 2A ：R = 0，u = 6V，i = 二、电压源的性质从定义可看出它有两个基本性质:其端电压是定值或是一定的时间函数，与流过的电流无关，当uS = 0，电压源相当于短路。电压源的电压是由它本身决定的，流过它的电流则是任意的，由电压源与外电路共同决定。三、需注意的问题 理想电压源在现实中是不存在的； 实际电压源不能随意短路。对电压源电流、电压参考方向一般设为非关联方向，但因为电流有正有负，故理想电压源可能产生功率，也可能从外电路吸收功率。 1.6 电流源一、电流源定义 若一个二端元件接到任何电路后

18、，该元件上的电流总能保持给定的时间函数iS(t)，与其两端的电压的大小无关，则此二端元件称为电流源。 u(t)任意i(t) = iS(t)，任何tR = 0 ，i = 2A，u = 0 VR = 3， i = 2A，u = 6 VR = 6， i = 2A，u = 12 V二、电流源的性质从定义可看出它有两个基本性质:其上电流是定值或是一定的时间函数，与它两端的电压无关。当 iS = 0，电流源相当于开路。电流源的电流是由它本身决定的，其上的电压则是任意的，由电流源与外电路共同决定。三、需注意的问题理想电流源在现实中是不存在的；实际电流源不能随意开路。四、举例例1 如图电路，已知i2 =1A，

19、试求电流i1、电压u、电阻R和两电源产生的功率。 G = 1/R , 电导的单位解：由KCL i1 = iS i2 = 1A故电压 u = 3 i1 + uS =3+5 = 8(V)电阻 R = u / i2 = 8/1 = 8iS产生的功率 P1 = u iS = 82 = 16 (W)uS产生的功率 P2 = - u i1 = - 51 = - 5 (W)可见，独立电源可能产生功率，也可能吸收功率。 例2 如图电路，求电流i和电压uAB。 解：由KVL从A点出发按顺时针巡行一周有 1 i + 10 + 4 i 5 + 1 i + 4 i = 0解得 i = - 0.5 (A) uAB应是从

20、A到B任一条路径上各元件的电压降的代数和，即uAB= 1 i + 10 = - 0.5 + 10 = 9.5(V)或uAB= - 4 i 1 i + 5 - 4 i = 9.5(V) 1.7 受控源 为了描述一些电子器件内部的一种受控现象，在电路模型中常包含另一类电源受控源。一、受控源的定义 所谓受控源是指大小方向受电路中其它地方的电压或电流控制的电源。 二、四种受控源受控电流源电流控制电流源CCCS(Current Controlled Current Source)电压控制电流源VCCS(Voltage Controlled Current Source)受控电压源电压控制电压源VCVS(

21、Voltage Controlled Voltage Source)电流控制电压源CCVS(Current Controlled Voltage Source)三、四种线性受控源的电路模型 其中，控制系数、无量纲，r的单位是，g的单位为S。受控源是二端口元件，本质上和电源不同，表现形式上和电源相同。四、说明 独立源与受控源是两个本质不同的物理概念。独立源在电路中起着“激励”的作用；而受控源是为了描述电子器件中一种受控的物理现象而引入的理想化模型，它不是激励源。对包含受控源电路进行分析时，首先把它看作独立源处理。电路图中，受控源的两个端口不一定画在一起，但一定要把控制量标出。幻灯片75例 如图电

22、路，求电压U。解： 由KCL，得 I1 = 8I + I = 9I在回路A利用KVL列方程为 2I + U - 20 = 0利用OL，有 U = 2I1 = 18I 解上两式得， U = 18V 1.8 分压公式和分流公式 一、电路等效的概念1、电路等效的定义电路理论中，等效的概念及其重要。利用它可以简化电路分析。 设有两个二端电路N1和N2，如图(a)(b)所示，若N1与N2的外部端口处(u，i)具有相同的电压电流关系(VCR），则称N1与N2的相互等效，而不管N1与N2内部的结构如何。例如图(c)和(d)两个结构并不相同的电路，但对于外部a、b端口而言，两电路的等效电阻均为5，因而端口处的

23、VCR相同，故两者是互相等效的。幻灯片772、等效的含义 对任何电路A，如果用C代B后，能做到A中的电流、电压、功率不变，则称C与B等效。AB(a)AC(b)用C代B 或者说，若C与B等效，则用(b)图求A中的电流、电压、功率与用(a)图求A中的电流、电压、功率的效果完全一样。 可见，等效是对两端子之外的电流、电压、功率，而不是指B，C中的电流、电压等效。 思考：下图所示电路2 i2 - + u2 N2 1A 图（b） i1 - + + - u1 N1 2V 2 图（a） 可求得：i1=1A u1=2V u2 =2V i2=1A 问N1和N2是否等效？ 因为， N1为理想电压源，N1的VAR为

24、 ：u1 = 2v ，i1可为任意值；N2为理想电流源，N2的VAR为 ：i2 = 1A ，u2可为任意值。所以，N1和N2不等效！等效是指两电路端口的VCR完全相同，即，这两个电路外接任何相同电路时，端口上的电流电压均对应相等。3、举例 如图(a)电路，求电流i和i1。 解：首先求电流i。3与6等效为R=3/6 = 2,如图(b)所示。故电流 i = 9/(1+R) = 3(A) u = R I = 23 = 6(V)再回到图(a)，得i1 = u/6 =1(A) 二、电阻的串联及分压公式1、电阻的串联等效电阻串联的特征：流过各电阻的电流是同一电流。对N1，根据KVL和OL，其端口伏安特性：

25、对N2，其端口伏安特性为： 2、串联电阻的分压公式 根据等效定义，N1与N2的伏安特性完全相同，从而得：串联电阻等效公式：Req = R1 + R2 + + Rn串联电阻分压公式：，k =1,2,n 3、电路中的参考点零电位点 在电路分析中，常常指定电路中的某节点为参考点零电位点，各节点对参考点的电位差，称为各节点的电位。 在电力系统中，常选大地为参考点；而在电子线路中，常规定一条公共导线作为参考点，这条公共导线常是众多元件的汇集点。参考点用接地符号表示。 如图(a)，选d为参考点，b点的节点电压即为b点至参考点d的电压降ubd，可记为ub。参考点又称为“零电位点”。 根据以上特点，电子线路中

26、常用一种简化的习惯画法极性数值法，来简画有一端接地的电压源，如图(b)所示。 *电路中某点的电位随参考点选取位置的不同而改变；电压是两点之间的电位差，与参考点的选取无关。例 如图电路，求节点电压Ua。解： 在回路abc，由KVL和OL列方程得 3i1 5 + 3i1 = 0，故i1 = 1 (A)显然有 i2 = 0，因此Ua = 3i1 + 6i2 5 = 3 5 = - 2(V) 例：如图所示两个电阻R1 、R2串联的电路。各自分得的电压u1 、u2分别为：电阻R1 、R2的功率为：PR1 = R1 i2 ，PR1 = R2 i2 故有 可见，对电阻串联，电阻值越大者分得的电压大，吸收的功

27、率也大。 二、电阻的并联等效及分流公式1、电阻的并联等效电阻并联的特征：各电阻两端的电压是同一电压。对N1，根据KCL和OL，其端口伏安特性：对N2，其端口伏安特性为： 2、并联电阻的分流公式 根据等效定义，N1与N2的伏安特性完全相同，从而得：并联电导等效公式：Geq = G1 + G2 + + Gn并联电阻分流公式：，k =1,2,n 例：如图所示两个电阻R1 、R2并联的电路。等效电阻电阻R1 、R2分得的电流 i1 、i2分别为：电阻R1 、R2的功率为：PR1 = G1 u2 ，PR1 = G2 u2故有 可见，对电阻并联，电阻值越大者分得的电流小，吸收的功率也小。 3、 电阻混联等效既有电阻串联又有并联的电路称