利用极坐标解圆锥曲线题.docx

1、利用极坐标解题知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点( 焦点 ) 的距离和一条定直线 ( 准线 ) 的距离的比等于常数e 的点的轨迹以椭圆的左焦点 ( 双曲线的右焦点、抛物线的焦点) 为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：ep.1 ecos其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p 0 当 0 e 1 时，方程表示椭圆；当 e 1 时，方程表示双曲线，若0，方程只表示双曲线右支，若允许0，方程就表示整个双曲线；当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.引论（ 1）若ep1+ecos则 0

2、e 1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线当 e 1 方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若ep1-esin当 0 e 1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线当 e 1 时 ! 方程表示极点在上焦点的双曲线ep（3）1+esin当 0 e 1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线当 e 1 时 ! 方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例 1.（复旦自招）确定方程10表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。3cos52310解法一：5313 cos13 cos

3、55e310， P35c33ac25a55a8b2105c1015c3a3c38b(25)2(15)25882315长轴长25，短轴长5方程表示椭圆的离心率 e，焦距，454解法二：转化为直角坐标（ 2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，1、椭圆中， pa 2cb 2， MNepep) a22ab2.cc1 ecos1 ecos(c2 cos2若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、 B 两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长。同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（ a 为长半轴， b 为短半轴，c 为半焦

4、距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2、双曲线中， （注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）若 M 、 N 在双曲线同一支上，MNepep2ab2；ecos1ecos() a2c2cos21若 M 、 N 在双曲线不同支上，MNepep2ab2ecos1ecosc2 cos2a 21设双曲线直线的倾斜角为，交双曲线于，其中两焦点坐标为A、 B 两点，求弦长|AB|。，过的解：（ 1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、 B在同一交点上，连，设，由余弦定理可得，由双曲线定义可得整理可得，同理，则可求得弦长。（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、 B在两支上，连，设，则，由余弦定

5、理可得，整理可得，则因此焦点在x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式其中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为 AB的倾斜角。pp2 p3、抛物线中， MN1 cos() sin 21 cos若抛物线与过焦点的直线相交于 A、B 两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB| ？（图 4）解：过 A、 B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，则点 A 的横坐标为，点 B 横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为例 2已知抛物线y2=2px （p0 ），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于A ， B 两点，求AB长.练习 1：过双曲线 x

6、 2- y21的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与A、B 两点，453求AB解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得53cosA(,),B( 2,)215353| 80AB|12 | |23cos23cos()733附录直角坐标系中的焦半径公式设 P（ x,y）是圆锥曲线上的点，1、若 F1、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，则PF1aex， PF2aex；2、若 F1、 F2 分别是双曲线的左、右焦点，当点 P 在双曲线右支上时，PF1exa ， PF2exa ；当点 P 在双曲线左支上时，PF1aex ， PF2aex；3、若 F 是抛物线的焦点，PFxp.2利用弦长求面积22

7、例 3设过椭圆xy1 的右焦点的弦AB=8 ，求三角形 AOB 的面积。251622练习 2（ 08 年海南卷）过椭圆xy1 的焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于54A ， B 两点， O 为坐标原点，求AOB 的面积简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式|AB|2ep求弦长，然后利用公式e2cos211| AB |OF | sinAFO 直接得出答案。S AOB2年全国高考理科 )已知点 F 为椭圆 x2练习 3 (2005y21的左焦点 .过点 F 的直线 l1 与椭2圆交于 P 、 Q 两点， 过 F 且与 l1 垂直的直线 l 2 交椭圆于 M 、 N 两点， 求四边形 PMQ

8、N 面积的最小值和最大值 .2解析：以点 F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：22 cos12设直线 l1 的倾斜角，则直线 l2的倾斜角为900 ，由极坐标系中焦点弦长公式知：|PQ|2，|MN |221 cos21 cos2 (900 )1 sin 2111222用他们来表示四边形的面积S1 | PQ |g| MN |111112sin221sin2224gcos2161即求的最大值与最小值1 1 sin2 22 16由三角知识易知：当sin 21时，面积取得最小值16 ；当 sin 20 时，面积取得最大9值 2利用弦长公式解决常量问题x 2y 21 (ab 0)例 4过椭圆

9、 a 2b2的左焦点 F ，作倾斜角为60 的直线 l 交椭圆于 A 、B两点，若 FA2 FB ，求椭圆的离心率 .简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为e pe pe p1ecos则 FA1 ecos 60 0 , FB1 ecos 240 0 ， e p2e p，解得 e2；ee31122练习 4求过椭圆距离。2的左焦点，且倾斜角为的弦长 AB 和左焦点到左准线的3 cos42解：先将方程化为标准形式：3则离心率 e121， ep，331 cos3p2所以左焦点到左准线的距为2。设 A(1,), B(5) ，代入极坐标方程，则弦长42 ,4AB122

10、2243cos3cos5174（ 3）定值问题4例 5.抛物线y 22 px( p0) 的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11定值。FFXab解：以焦点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为p，设 A(a, ), B(b,)1 cos将 A,B 两点代入极坐标方程，得ap, bp1cos1cos()则 11=1 cos1cos() =2 （定值）abppp点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦112MN 经过焦点 F，则有NFepMF例 6经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦 CD, 求证11为定值。ABCD证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，

11、此时椭圆的极坐标方程为ep，又设1ecos3则代入可得A1,1,B2,+ ,C3,2+,D4 ,2+|AB|2ep，| AB|2ep则11= 2-e21e2 cos21 e2 sin 2ABCD2ep注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。例 7 (2007重庆理改编 )中心在原点 O 的椭圆 x2y21，点 F 是其左焦点，在椭圆上任3627取三个不同点 P1,P2 ,P3 使 P1FP 2 P2 FP3 P3 FP11200 证明：1

12、11FP 2为定值，并求此定值FP1FP3解析：以点 F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：9，设点 P1 对应2cos的极角为，则点 P2 与 P3 对应的极角分别为1200 、1200 ， P1 、 P2 与 P3 的极径就分别是|FP1|9、 |FP2|9与 |FP3 |2 cos2cos(1200 )9，因此2cos(1200 )1112cos2 cos(1200 )2cos(1200 )，而在三角函FP1FP 2FP3999数的学习中，我们知道coscos(1200 )cos(1200 ) 0 ，因此1112为定值FP1FP 2FP33点睛：极坐标分别表示 | FP1 |、 | FP2 |与 | FP3 |，这样一个角度对应一个极径就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点推广：若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？例 8 （ 2006x 2y 2全国联赛江苏） 椭圆1的右焦点为 F，P1，P2， ，P24 为 24 个依2516逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1 是椭圆的右顶点，并且P1FP2= P2FP3 = PFP = =PFP .若这 24 个点到右焦点的距离的倒数和为S