直线与椭圆解答题

1、解析几何解答方法2 21.椭圆笃 爲1(a b 0)上的点到其两焦点距离之和为4，且过点(0,1).a b(I)求椭圆方程;(n) o为坐标原点，斜率为 k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点A(xi, yi), B(X2, y2)，假设晋0，求AOB的面积.依题意有a 2，1.故椭圆方程为y2 1 .(n)因为直线AB过右焦点(.3,0)，设直线AB的方程为y k(x .3).2X 2联立方程组7 yy k(x1,yy消去y并整理得(4k2故 x1 x28 3k4k21)x2 8、3k2x 12k2 4 0.(*),X!X212k244k2 1k(x, x3) k(X2 x3)k24k2 1

2、8X1X2 y1 y2X1X2又 r-F 0，即卩 丁 y“2 0.又a b4所以 3kn0，可得 k2 -，即 k . 104k21 4k2122方程(* )可化为3x2 4.3x 20，由 AB|(1 k2 |x1 X2 ，可得 AB 2 . 11原点0到直线AB的距离d1213分所以 S AOB 1 AB d 1 .22.椭圆b21(a b 0)的离心率为1 ,过椭圆G右焦点F的直线2m:x 1与椭圆G交于点M (点M在第一象限)(I)求椭圆G的方程;(U)A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线丨与椭圆相交于B,C两点.判断直线MB,MC是否关于直线m对称，并说明理由.解：(I)由题意得c

3、 11分由c 1可得a2a 2-2分所以b2 a2 c2 3-3分22所以椭圆的方程为X143-4分( n)由题意可得点A(32,。),叫)-6分所以由题意可设直线l:y -xn,n 12-7分设 B(x1, yJ,C(X2, y2),2 2x-y- 1,由 43得 x- nx n2 3 0.1y x n2由题意可得n24(n23)123n20,即n ( 2,2)且 n 1 8分x1x2n, x.|x2n23.-9分33y1y2因为kMBkMC221X21-10分1(n 1)(n22) 0n n213分所以直线MB,MC关于直线m 对称14分2 23.如图，椭圆冷每1(a b 0)的左焦点为F

4、，过点F的直线交椭圆于A , B两a b点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60 .(I)求该椭圆的离心率;(U)设线段 AB的中点为G， AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.记 GFD的面积为色， OED( O为原点)的面积为S2I )解：依题意，当直线AB经过椭圆的顶点(0,b)60的取值范围.倾斜角庐F( c,0)，bc.2 分tan 60b 、3c代入2.2 2a b c ，3分所以椭圆的离心率为ec 14分a 2(U ) 解：由(I ), 椭圆的方程可设为2x22-y2 1 .5分4c3c设 A(x1, y1),B(x2, y2).依题意，直线AB不能与x, y

5、轴垂直，故设直线AB的方程为y k(x c)将其代入2 2 23x 4y 12c2 2 2 2 2 2(4k3)x 8ck x 4k c 12c那么 XiX28ck24k23，yiy2 k(xiX2 2c)6ck4k2 3，2G( 4ck 3ck )4k2 3 4k23因为GD AB,3ck4k2 34ck22Xd4k2 3ck24k23因为 GFD OED ,51 |GD|252 |0D|2(4ck2ck2 )2 ( 3ck )2(4k2 3 4k2 3)(4k2 3)(ck2 )2(4k2 3)(3ck2)2(3ck)211分13分(9,).2y的直线的距离是心.54.椭圆2 2(ck )

6、S2求椭圆C的方程;(II)如果直线y kxa 2b.9c2k4 9c2k2c2k40 )的离心率e都在以B为圆心的圆上，求(I)因为原点到直线14分T，原点到过点交椭圆C于不同的两点k的值.c 3a 2，且E，AB : : : 1 的距离 dab24.55yMkBM故所求椭圆C的方程22xy 1.-5164(n)由题意ykx 1,x2y2消去y14，整理得162 2(1 4k2)x2 8kx 120 .7可知 0.设 Eg) , FXm) , EF 的中点是 M(Xmm),kxM 1yM 2Xm12 4kX2 Xm2X34k1 4 k210kyM 2k4k1 4k2k1 4k22k1113分

7、x2上的两个点，点 A的坐标为1,1，直线AB的斜率又因为k 所以k2丄.所以85.A,B是抛物线 W: y为k， O为坐标原点(I)假设抛物线 W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围;AC，过B,C两点分别作 W勺切线，记两切(U)设C为W上一点，且AB 线的交点为D，求0D|的最小值(1I)解：抛(0,)4由题意，得y 1k(x1)，令x 0 ，得y 1 k(0,1k).3分物线2y x的焦八、占八、为-1分直线AB的方程为2分即直线AB与y轴相交于占八、因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，所以1 k -，4解得k 3. 5 分4(n)解：由题意，设 B(X!,x2)，C(X2,x；)， D(Xs,ys)，联立方程1 2 k(x 1),消去y，得x2 kx k 1 0，y x ,由 韦 达 定 理， 得 lk ， 所 以x, k 1. 7 分1同 理， 得 AC 的 方 程 为 y 1 (x 1)，k1x2一 1. 8 分k对函数y x2求导，得y 2x，所以抛物线y x2在点B处的切线斜率为2X1，22x1x x1 .1(尹上.立.2,55同理，抛物线yX2在点线CD联立两条切线的方程y2x1x2 X ,y2x2x2X2,解得X3Xl X222(ki k2),y