函数项级数的一致收敛性

1、教案函数项级数的一致收敛性复旦大学数学系陈纪修金路1. 教学内容通过讨论关丁函数项级数(两数序列)的无限求和运算(极限运算)是否能 与极限运算，求导运并或枳分运算交换次序的问题，提出函数项级数(函数 序列)的一致收敛概念与一致收敛的两个充分必要条件。2. 指导思想(1) 数学分析与初等函数的根本区别在于引入了极限运算(微分与积分的实质 也是极限运算)，极限运算应用到求和运算上就是级数的概念。由丁有限求 和运算可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，所以讨论级数与 极限运算，求导运算或积分运算的交换次序问题就成为级数理论的一个基 本问题。(2) 函数项级数的一致收敛性是数学分析课程教学中的一

2、个难点，也是学生故 难掌握的内容之一。以往的教材往往r接引进函数项级数的一致收敛概念, 然后再讲解一致收敛的函数项级数可以与极限运算，求导运算或积分运算 交换次序，学生往往只能死记硬背概念，不能真匸理解它的实质意义，过 后很快容易忘记。我们则在教学中反其道而行z,先讨论一系列具体的函 数项级数例子，指出在点态收敛的悄况下，函数项级数不一定可以与极限 运算，求导运算或积分运算交换次序，从而理解为了保证运算的交换，有 必耍引进更强的收敛概念，然后再讲解旳数项级数的一致收敛概念。(3) 在数学分析课程中，一致收敛概念不仅出现丁函数项级数部分，还出现丁 含参变量积分部分(它保证了积分运算与其他运算的可

3、交换性)，可以说， 一致收敛性是数学分析，乃至幣个分析学中最雨要的概念之一，是学好如 泛函分析，偏微分方程等后继课程的必备基础。因此在函数项级数部分第 一次出现一致收敛概念时，必须将问题的背尿，引人一致收敛概念的总义 讲清楚，使学生从本质上理解它，做到终身不忘。3教学安排(1) 函数项级数与函数序列收敛性的等价性：给定函数项级数心以)(收敛域为集合D),设它的部分和函数序列为S(x)：S“(x)=心)WE,A-l则函数序列佝的收敛域也是集介D,且极限函数就是的和函数S(x)： /f=lS(x) = lunSn(x), xWD o/!-X反过來，给定一个函数序列S“(x),只耍令”i(x) =

4、Si(x), “ + i(x) = S“+i(x) -Sn(x) (n = l, 2,.),就可得到函数项级数$“(兀)，它的部分和函数序列就是给定的),而它的收敛性与S“(x)的收敛性是相同的。由J：上述函数项级数$,)与函数序列佝的收敛性在本质上是完全相 同的，在研究函数项级数的性质时，可以先讨论函数序列的性质，而所紂到的结 论对相应的函数项级数也是n然成立的。(2) 函数项级数(或函数序列)的基本问题：如果函数“ (x)(或S“(x)具有某种分析性质(例如连续性,可导性或Riemann 可积性)，那木其和函数(或极限甫数)是否也保持同样的分析性质?具体地说，对 丁-有限个连续，可导或可积

5、函数之和，和函数仍然连续，可导或可积，并且和西 数的极限，导数或积分，可以通过每个函数求极限，导数或积分后再求和來得到。 但是若将这有限个函数之和换成函数项级数，是否仍然可以如上而所述的那样对 和函数进行求极限，求导数或求积分的运算？(a)设(x)(或 S“(x)在 D 连续,含皿)5)(或黑S3 = S(6我们希望和函数(或极限函数)S(x)也在D连续，即对J：任意xoWD,成立hmS(x) = S(xo)。这V.t0一性质对j:两数项级数而言，就是极限运算与无限求和运算能够交换次序：凹= 映心(小”f。n-1%对丁部分和函数序列而言，就是两种极限运算能交换序列:lirn lim Sn(x)

6、 = lun lim Sn(x).XT.% n-w-x下而例题说明上述两等式在点态收敛的情况下不一定成立。 例1设S”(x) = x贝iJS”(x)在区间(-1, 1收敛，极限函数为KK0.-1 xXs”(x).例1说明在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能不可导，下而例题将 说明，即使和函数(或极限函数)可导，上述两等式也不一定成立。则Sn(X)在(-8, +8)收敛，极限西数为5(x) = 0o虽然极限函数S(x)处处可导，且导函数F(x) = 0,但导函数序列Sx)t (x)= 4n cos nx,并不收敛丁(x)(例如当x = 0,旳(。)=亦f 0)。(c)设心(x)(或S(x)

7、在闭区间a, b u D上Riemann可积，工“= n=lS(x)(或limS“(x) = S(x),我们希望和数(或极限函数)S(x)也-.a, h l：Riemann 刀一R可积，且积分值P(x)dx可以通过先对妬(0(或S3)求积分，再求和(再求极限) 得到。这一性质对函数项级数而言，就是求积分运算与无限求和运算可以交换次 序：n=lw=l对丁部分和函数序列而言，就是求积分运算与极限运算能够交换次序：f lini Sn(x) dr = lun Sn (x) dx下而例题将说明在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能Riemann不可 积，且即使Riemaim可积，上述两等式也不一定成

8、立。例3设=J1,当x川为幣数，=0,当x为其他值.当x是无理数时，对一切，S“(x) = 0,因此S(x)= limSzl(x) = 0；当x是有理数邑， TAppWN, gWZU寸,对于心p, 5n(x) = 1,因此S(x)= liraSn(x) = 1 o 于是S“(x)的极 限函数S(x)就是我们所熟知的Dinchlet函数。显然，S“(x)在任何有限区间上都是 Riemaim可积的，但极限函数S(x)却Riemaun不可积。例4设S“(x) = z(l -F)”，则Sn(x)在区间0, 1上收敛丁极限函数S(x) = 0o 显然对任意，S“(x)与S(x)都在0, 11:Riema

9、nn可积，但是2(打 + 1)/ 5(a) dx(/L8)。fs”(%)dx =爲x(l x)dx = - *(l x)d(l x)上述例子说明了“点态收敛”不可能对所提出的两数项级数的某本问题给以 肯定的冋答，为此我们需要引进一种比“点态收敛”要求更强的收敛概念。(3) 函数项级数(或函数序列)的一致收敛性所谓“函数序列久在集介0上(点态)收敛丁S(x)”是扌矗对丁任SxoeD , 数列)收敛丁丸心)，用“ e 一N”语言來表示的话，就是：对任意给定的e 0,可以找到H然数N = Ng ),当“N时，成立：I Sn(XQ)- S(Xo) I V ,其中Ng )不仅与有关，而且与XoD有关。一

10、般來说，Ng e )随着Xo的变化 而变化，这反映了S“(x)在集合D的不同点上收敛丁S(x)的速度不同。现在的问题 是：能否找到与心无关，而仅与D有关的N = Ne),使得当QN时，I S“(x) - S(x) | 0,存在仅与D 有关的自然数N(),当nN( e )时，I S“(x) - S(x) | S(x)o符号表述：S”厶S(x) O V e 0, 3N, PnN, VxD :I Sn(x) - S(x) I V 定义 若函数项级数”(x), XWD,的部分和函数序列Sn(x), S“(x)=你(x),在D致收敛于S(x),则称工“”(x)在D上一致收敛于S(x)。*1符号表述：在

11、D 上一致收敛于 5(x)0 Ve 0, mN, PnN, VxGD : /rlI 丈叫(x) - S(x) | = | S“(x) - S(x) | V 。一致收敛性的几何描述：对任意给定的e 0,存任N=N(),当nN( e ) 时，函y = Sn(x), xGD,的图彖都落在带状区域(x, y) | xWD, S(x) - y 0,只耍取N=丄,当nN时，2sI S“(x) - S(x)丨 W 丄 V In对一切+8)成立，因此S“(X)在(-8, +8)上一致收敛S(X)= 0o从儿何上看，对任意给定的 0,只耍取N=丄,当川时，函数y = 2sS“(x), xW(-8, +8),的图

12、彖都落在带状区域(x, y) | | y | e 中，这正是一 致收敛的儿何描述。例6设S“(x) = 0(见例10.1.2),我们考察S“(x)在区间0, 1)上的一致收敛性。对任意给定的0 V V 1,耍使I S”(x) - S(x) | = ( V ,必需lii a因此N = N(X,)至少须取些。由于当X1-时，-+8,因此不可能 111 X111X找到对一切x0, 1都适用的N = Ng,换言乙必在0, 1上不是一致 收敛的(图像演示)。从儿何上看，对每个”，函数y =的取值范鬧(即值域)都是0, 1),因此 它们的图象不可能落在带状区域(“, y) |xe0, 1, 0yN时，11

13、1 PI SQ) - S(x) | V P 对一切炸0, P成立。换言之，S3在0, p (P ) | 0M& P , OWyW 中。(5)关于一致收敛的两个充分必耍条件定理1设函数序列Sn(x)在集合D上点态收敛于S(x),定义d(S”，S)= sup | Sn(x) - S(x) | ,则)在D上一致收敛于S(x)的充分必要条件是：lim d(S” S) = 0on-x证设S(x)在D上一致收敛于S(x),则对任意给定的 0,存在N=N()， 当nN时,I S“(x) - S(x) | 反过來，若lund(S” 5) = 0,则对任意给定的e o,存在N=N(e),当N时，d (S“，S)

14、 ,此式表明1 Stl(x) - S(x) | S)=In对丁例 6 中的S”Cr) = *, xW0, 1),由丁d(S”，S) = sup V1 = 1/0 (一8),0xl所以S3在o, 1上不是一致收敛的。例7设S“(x)= 处、，则)在(0, +8)上收敛丁S(x) = O,由于1 +I Sn(x) - S(x) |nxl + n2x2等号成立当且权当丄，可知n因此S“(x)在(0, +8)上不是-致收敛的(图像演示)。从儿何上看(图4),对每个小函数y= 在丄取到最大值，因此l + “*n它们的图象不可能落在带状区域(X, y) I OVxV +8, I y | V 1中。事实 上

15、，S3在任意包含兀=0或以x = O为端点的区间上都不是一致收敛的。注 若考虑上例llS(x)在区间p , A (0 P A 丄时,Pd(S“，S)= - 0 (打一8),l + /7p这说明S”(x)在P，A上是一致收敛TS(x) = 0,也就是说，Sn(x)在包含 J*(0, +8)内的任意闭区间上是一致收敛的,我们称S”(x)在(0, +8)内闭一致 收敛。回忆例6,对S“(x) = C S“(x)在0, 1)上不一致收敛，但在任意的0, p u 0, 1上一致收敛,因此称S“(x)(S”(x) = f)在0, 1)内闭一致收敛。 显然，在区间D上一致收敛的函数序列一定在D内闭一致收敛，

16、但反过來却不一 定成立。例 8 设S(x) = (1 - x)a?,则S“(x)在0, 1上收敛TS(x) = 0o 由I S“(x) - S(x) | =(1 - x) V*,及(1 - x)xri= xnl/? - (“ + l)x,容易知道I S”(x) - S(x) | fc=取到最大值，从而/I + 1d(S“，5) = (1 -(化)”n + 17/ + 1=(丄7)/(1 + 丄)”0(L8),+1n这就说明S“(X)在0, 1 致收敛于5(%) = 0.定理2 设函数序列S“(x)在集合D上点、态收敛于S(x),则S“(x)在D上 一致收敛于S(x)的充分必要条件是：对任意数列

17、x“,成立Inn (Sn(x) - S(x) = 0.n-x证 设S“(x)在D上一致收敛丁S(x),贝IJd(S” S)= sup | 5n(x) 一 S(x) | fO(“f 8).vD于是对任意数列x”, xn en,成立I S“(x“)- Sg | W d(S“，S) -* 0(“-* 8).关于充分性，我们采用反证法，也就是证明：若S”(x)在D上不一致收敛 丁S(x),贝I一定能找到数列x“, &WD,使得S“(x”)- S(xn) /-* 0(“一8)。我们已经知道，命题“$在D上一致收敛丁S(x)”可以表述为V e 0, 3 N, FAN, VxGD :| Sn(x) - S(

18、x) | V .于是它的否定命题“S”(x)在D上不一致收敛于S(x)”可以表述为：3e00. V NOt m nN, 3xD : | S“(x) - S(x) | M%于是下述步骤可以依次进行：取 M = l, MAI, 3x eD :丨 S” (“)- S(“)|取 M=”i，引2心，3xn, eD : | Sn (xn ) - S(xn )丨 N%, 取 Nk=Mi，3/Vk/Vk_i，3xrt4 GD : | S”a(J - S(*) |对丁mWNl，“2，皿，可以任取XmD,这样就得到数列”, Xn ED,由丁它的子列乙使得I Sq(乙)-S(f) |显然不可能成立lmi (Sn(xn) - S(x“)= O on-证毕 定理2常用丁判断萌数序列的不一致收敛性。例如对例6中的sn(x) = xflr XWO, 1),我们可以取心=1 - 丄 G0, 1), WiJSn(x)-S(x) = (l -丄) nn3-8),这说明S“(X)在0, 1)上不一致