球面波及点声源公式

1、球面波及点声源公式球面波表达式脉动球源是进行着均匀涨缩振动的球面声源，也就是在球源表面上各点沿着 径向作同振幅、同相位的振动。显然这是一种理想的辐射情况，虽然在实际生 活中很少遇到，但对它的分析具有一定的启发意义，特别是如果应用点源（小脉动球源）的组合来处理任何复杂的面声源，那么这种球源就可以说是最基本 的声源了。设有一半径为1的球体，其表面作均匀的微小涨缩振动，也就是它的半径在i附近以微量=厂作简谐的变化，从面在周围的媒质中辐射了声波。因为球 面的振动过程具有各向均匀的脉动性质，因而它所产生的声波波阵面是球面。 辐射的是均匀球面波。显然，取球坐标系比较简单，坐标原点取在球心。因为波阵面是球面

2、的，所以在距离r处的波阵面面积就是球面面积二一。在这种情况下可以方便地运用特殊形式的波动方程（3-1-10）Mp _ dp _ 1 d2p 二 _ _:，( 3-1-10将代人上式，贝U成为）式就可化为现在作一变量变换，令茁：h ( 4-1-2)显然这方程与（3-1-8）式的形式相同，因此可以直接得到（4-1-2）式的一般解为：八“ f（ 4-1-3）其中A和B为两个待定常数。解得丫就可求得（4-1-1）式的一般解为rr（ 4-1-4）根据前面讲述的知识，我们知道上式第一项代表向外辐射（发散）的球面波；第二项代表向球心反射（会聚）的球面波。现在讨论向无界空间辐射的自由行波，因而没有反射波，这里

3、常数丄11。这样（4-1-1 ）式就成为F（ 4-1-5）A其中A /的绝对值即为声压振幅。按径向质点速度与声压的关系（3-1-1 a）式，可以求得径向质点速度为1 dpV =(4-1-6其中wA 旳丿的绝对值即为速度的振幅。（4-1-5）式及（4-1-6）式就是脉动球源辐射声场的一般形式。球面波声场特性以上求得的脉动球辐射一般解中尚包含有一个待定常数A ，它取决于边界 条件，也就是取决于球面振动情况，这在物理上是显然的，因为声场是由于球 源振动而产生的、所以声场的特征自然也应与球面的振动情况有关。设球源表面的振动速度为式中t为振速幅值，指数中一二是为了运算方便而引入的初相位角，它并 不影响讨

4、论的一般性。在球源表面处的媒质质点速度应等于球源表面的振动速度，即有如下边界条件(4-1-7将（4-1-6）式代入上式就可得到小鶴也村时（4-1-8）其中5 = arc tan 凶丿把求得的A值代入（4-1-5式就可最后求得脉动球源辐射声压为诃-加0 )(4-1-9将A值代入（4-1-6）式就得到脉动球辐射声场的质点速度为( 4-1-10式中ff = arc tan这里雹即为径向质点速度幅值。由（4-1-9 ）式可见，在离脉动球源距离为“的地方，声压幅值的大小就决定于H值，而由（4-1-8 ）式知卜I值不仅与球源的振速 t有关，而且 还与辐射声波的频率（或波长）、球源的半径等有关。当球源半径比

5、较小或 者声波频率比较低，以至有1 时，AL显然，: .这说明在以同样大小的速度r振动时，如果球源比较小或者频率比较低，则辐射声压较小；如果球源比较大或者频率比较高，则辐射声压较大。因此当 球源大小一定时，频率愈高则辐射声压愈大；频率愈低则辐射声压愈小。而对 于一定的频率，球源半径愈大则辐射声压愈大；半径愈小则辐射声压愈小。这种辐射声场与球源大小、声波频率的关系具有普遍意义。一般说来，只要 振动速度一定，凡声源振表面大的，向空间辐射的声压也大，反之就小。例如， 弦乐器如果没有助声膜或板，而仅有单根弦的振动，那么所发出的声音是很微 弱的，因此弦乐器必须将单根弦的振动，通过一定的耦合方式带动助声膜

6、或板 一起振动而发声（例如胡琴用蛇皮等做成助声膜，提琴则用优质的木料做成助 声板），而且一般讲来，振动面越大，低频声越丰富。再例如小口径的扬声器 辐射低频声比较困难，而大口径的扬声器就比较容易些，也就是这个道理。我们已经求得了脉动球源在空间辐射的声压为（4-1-9）图 4 I 1点声源前面已提到，所谓点声源是指半径ro比声波波长小很多，即满足kro ： 1条 件的脉动球源。其辐射本领及辐射声场的特征在以上已基本讨论了，这里再来 专门研究点声源的目的，主要是准备用点源的组合来处理较复杂声源（例如活塞）的辐射。我们已经求得了脉动球源在空间所辐射的声压为（4-1-9）式，当kro ： 1，-时，贝U

7、（ 4-1-9）式成为(4-1-232其中一小11为小脉动球的体积速度幅值，通常称为点源强度。如果是向半空间辐射，例如球源被涤在无限大障板上，则仅有半个圆球的振动对半空间声场有贡献，这时点源强度为；，而（4-1-23）式可改写为(4-1-24现在假设有一个任意形状的而声源，其表面各点振动的振幅和相位一般说来 可能是各不相同的，我们可以设想把该声源表面 S分成无限多个小面元dS ， 在每个面元dS 上,各点的振动则可看成是均匀的， 从而把这些面元dS都看 成是点声源。设位于（-匚|处点源的振动规律为二讪恥）占叫这里-v 1为该面元的振动速度幅值,一一 .L一 1为该面兀的初相位,般地讲，它们都是位置的函数。该点源的强度为IUt。于是该面兀振动时在空间产生的声压据（6 4 1）式为4 曲(xj,z)(4-1-25其中为该面元到观察点的距离因为S面上各面元对空间声场都有贡献叠加起来即可得到总声压%（刊丿zgg切出