专题基本不等式常见题型归纳学生版

1、v1.0可编辑可修改专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号.三个不等式关系：(1) a, b R, a2 + b22ab,当且仅当a= b时取等号.(2)a， b R+, a+ b 2 ab,当且仅当a= b时取等号.2 . 2 .(3) a,a= b时取等号.a + ba+ b 2 r t rb R, w (丁)，当且仅当上述三个不等关系揭示了 a2+ b2 , ab , a+ b三者间的不等关系.其中，基本不等式及其变形：a, b戌，a+ b2 ab(或abw (*)2)，当且仅当a= b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值

2、.【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例11 已知 ab1 且2logab3logb a 7，则a1 的最小值为b2 122练习：1.若实数x, y满足xy0 ,且log2Xlogx2 y 1，贝Uy的最小值xy为2.若实数x, y 满足 xy 3x 3(0x-),3 则_1的最小值为2xy33.已知a0,b0,c2，且 ab2，则 aCcc5的最小值为bab2c 24xy【典例2】已知x, y为正实数，则+的最大值为4x + y x+ y【典例3】若正数a、b满足ab a b 3,则a b的最小值为 变式：1.若a, b R ,且满足a2 b2 a b ,则a b的最大值为 .1第9页共9页

3、2.设 x 0, y 0 , x 2y 2xy8，贝U x 2y的最小值为3.设 x, y R , 4x22y xy 1，贝U 2x y的最大值为19.ab 5，则ab的最小值为4.已知正数a , b满足丄9a b【题型二】含条件的最值求法【典例4】已知正数x, y满足x y1，则的最小值为1 1练习1.已知正数x, y满足一x y4x1，则竺9y的最小值为y 12. 已知正数x,y满足x 2y 2，则-8y的最小值为xy3. 已知函数y ax b(b 0)的图像经过点P(1,3)，如下图所示，41则-的最小值为a 1 b4. 己知a, b为正数，且直线 ax by 60与直线 2x (b 3

4、)y2a+3b的最小值为.、a 2b 15. 常数a, b和正变量x, y满足ab= 16, -+ =-.若x+ 2y的最小值为x y 250互相平行，则64,则 ab=6.已知正实数a,b满足12a b b22b a a1，则ab的最大值为【题型三】代入消元法【典例5】(苏州市2016届高三调研测试14)已知ab - , a,b (0,1)，则丄 _L的41 a 1 b最小值为.练习1 设实数x, y满足x2+ 2xy 1 = 0,则x2+ y2的最小值是 2. 已知正实数x, y满足，贝U x + y 的最小值为.3. 已知正实数x,y满足(x 1)(y 1) 16，则x y的最小值为 .

5、414. 若a 0,b 2，且a b3，则使得-取得最小值的实数a =。a b 25. 设实数x、y满足x 2 + 2xy 1= 0,贝U x+ y的取值范围是 6. 已知x, y,z R，且x y z 1, x2y2z23，求xyz的最大值为【题型四】换元法【典例6】已知函数f(x) = ax2+x b(a, b均为正数)，不等式f(x) 0的解集记为P,集1 1合Q= x| 2 t v xv 2 + t 若对于任意正数t , PA g ，则彳b的最大值是L *2.已知正数a, b, c满足b+ca,则一+_ -的最小值为 C 3t &练习1.若实数x,y 满足 2x2 + xy y2= 1

6、,则2的最大值为5x 2xy 2y2 .设x, y是正实数，且x y2丄的最小值是y 13.若实数x, y满足2x2+ xy y2 = 1,则厶乂:笃乂十&的最大值为4. 若 实 数【题型五】【典例7】判别式法2已知正实数X, y满足x 2 3yx410，则xy的取值范围为y1. 若正实数的最大值为2.设 x, y R , 3x22y xy 1，则2x y的最大值为变式1.在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(1, 0)，B(0,1)，C(a , b)，D(c,d)，若不等式CD (m2)OC ODm(OC OB) (OD oA)对任意实数a , b, c, d都成立，则实数m的最大值是.【方

7、法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法判别式法: 将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数2f(x) ax bx c(a 0, x R),有1) f(x) 0对x R恒成立 a 02) f (x)0对x R恒成立0分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1)f(x) g(a)(a为参数)恒成立 g(a) f(x)max2)f(x) g(a)(a为参数)恒成立 g(a) f(x)maX确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2.设二次函数f x ax2 bx c ( a,b,c为常数)的导函数为 f x .对任意x R,b2不等式f x f x恒成立，则2的最大值为 .a c【题型六】分离参数法【典例8】已知x0,y 0，若不等式x3+y3kxy (x+y )恒成立，则实数k