二元一次方程组知识点归纳解题技巧汇总练习题及答案

1、二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。有几个方程组成的一组方程叫做方程组。 如果方程组中含有两个未知数， 且含未知数的项的 次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程定义： 一个含有两个未知数， 并且未知数的都指数是 1 的整式方程， 叫二元一 次方程。 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫 二元一次方程组。二元一次方程的解： 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程的 解。二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的

2、解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组 x+y=5 6x+13y=89解：由得 x=5-y把带入，得6(5-y)+13y=89y=59/7把 y=59/7 带入，x=5-59/7即 x=-24/7/ x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过 “代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。加减消元法例：解方程组x+y=9x-y=5 解：+2x=14 即x=7把x=7带入 得7+y=9 解得y=-2 x=7y=-2为方程组的解像这种

3、解二元一次方程组的方法叫做加减消元法( elimination by addition-subtraction) ，简称加减法。 二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=56x+13y=89x=-24/7y=59/7为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=62x+2y=12因为这两个方程实际上是一个方程 (亦称作 “方程有两个相等的实数根 ”) ，所以此类方程组有无数组解。3.无解如方程组x+y=42x+2y=10，因为方程化简后为x+y=5这与方程相矛盾，所以此类方程组无解。注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单 , 避免计算麻烦或导致计算错误。教

4、科书中没有的几种解法(一)加减 -代入混合使用的方法 .例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1) 得 x-y=-1x=y-1 (3)把(3) 代入(1) 得 把 y=2 代入 (3) 得13(y-1)+14y=41x=1 所以 :x=1, y=213y-13+14y=4127y=54y=2特点 : 两方程相加减 , 单个 x 或单个 y, 这样就适用接下来的代入消元(二) 换元法例 2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令 x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8m-n=4 解得 m=6, n=2所以 x+5=6,y-4=2 所

5、以 x=1, y=6特点： 两方程中都含有相同的代数式， 如题中的 x+5,y-4 之类， 换元后可简化方程也是主要 原因。(三)另类换元例 3，x:y=1:45x+6y=29令 x=t, y=4t 方程 2 可写为： 5t+6*4t=2929t=29t=1 所以 x=1,y=4二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，二元一次方程组只有唯一的一个解。注意 ： 二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次 方程单独组成。重点一元一次、一

6、元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）内容提要一、基本概念 1方程、方程的解（根） 、方程组的解、解方程（组）2 分类：二、解方程的依据 一等式性质 1. a=b - a+c=b+c2. a=b - ac=bc （c 旳）三、解法1一元一次方程的解法：去分母 -去括号-移项-合并同类项-系数化成1-解。2.元一次方程组的解法：基本思想：消元”方法：代入法加减法四、一元二次方程1定义及一般形式：2解法：直接开平方法（注意特征）配方法（注意步骤一推倒求根公式）公式法：因式分解法（特征：左边 =0）3 根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若 ，则以 为根的一

7、元二次方程是： 。5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1 分式方程定义基本思想：基本解法：去分母法换元法（如，）验根及方法2 无理方程定义基本思想：基本解法：乘方法（注意技巧！ ！）购换元法验根及方法3 .简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代六、列方程（组）解应用题一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。设元（未知数）。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列， 但越难解。用含未知数的代数式

8、表示相关的量。寻找相等关系（有的由题目合出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个 数与方程个数是相同的。解方程及检验。答案。综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题 的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此， 列方程是解应用题的关键。二常用的相等关系1 行程问题（匀速运动）基本关系： s=vt 相遇问题 （同时出发 ） ： + =追及问题（同时出发）：若甲出发 t小时后，乙才出发，而后在 B处追上甲，则 水中航行： ;2.配料问题：溶质=溶液刈浓度溶液=溶质+溶剂3.

9、增长率问题：4. 工程问题：基本关系：工作量 =工作效率XX作时间（常把工作量看着单位 1”。三注意语言与5. 几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 解析式的互化精品资料4 .方程y=1 x与3x+2y=5的公共解是（）x3x3x 3x3A .B.C.D.y2y4y 2y25 .若|x 21 +(3y+2)2=0,则的值是（）A .1B.-2C.-3D32、选择题:二元一次方程组练习题1. 下列方程中，是二元一次方程的是（）A . 3x 2y=4z B . 6xy+9=0 C-+4y=6 D . 4x=x42. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（）x y

10、42x 3y 7B. 2a 3b 11 C. x2 95b 4c 6y 2xx y 8 x2 y 43.二 元一次方程 5a 11b=21()A 有且只有一解B 有无数解C 无解.有且只有两解6 .方程组4x 3y k的解与x与y的值相等，则k等于（）2x 3y 57.下列各式，属于二元一次方程的个数有（） xy+2x y=7; 4x+1=x y; 6x 2yx+y+z=11一 +y=5; x=y;xy (y 1) =2y2 y2+x x2 y2=2A . 1 B . 2 C . 3 D&某年级学生共有246人，其中男生人数 的方程组中符合题意的有（）y比女生人数x的2倍少2人，？则下面所列x

11、 y 246x y 246xy216x y246A .B.C.D.2y x 22x y 2y2x22y x2、填空题9.已知方程2x+3y 4=0,用含x的代数式表示y为：y=;用含y的代数式表示x 为：x=.一 110 .在二兀一次方程 一 x+3y=2中，当x=4时，y=;当y= 1时，x=211. 若 x3m3 2yn1=5是二元一次方程，则 m=, n=.x 212. 已知是方程x ky=1的解，那么k=.y 313. 已知 |x 1 | + (2y+1) 2=0,且 2x ky=4，贝V k=.14. 二元一次方程 x+y=5的正整数解有 .x 515. 以为解的一个二元一次方程是

12、.y 716. 已知 x 2 是方程组 mx y 3的解，贝V m=, n=.y 1x ny 6三、解答题17.当y= 3时，二元一次方程 3x+5y= 3和3y 2ax=a+2 (关于x , y的方程)？有相 同的解，求a的值.18.如果(a 2) x+ (b+1) y=13是关于x , y的二元一次方程，则a, b满足什么条件?19.二元一次方程组4x 3y 7 kx (k 1)y 3的解x,y的值相等，求k.20.已知x, y是有理数，且(|x | 1) 2+ ( 2y+1) 2=0,则x y的值是多少?1?使它与已知方程所组成的方程21. 已知方程 一 x+3y=5，请你写出一个二兀一

13、次方程,2组的解为22根据题意列出方程组：（1）明明到邮局买 0.8 元与 2 元的邮票共 13 枚，共花去 20元钱， ?问明明两种邮 票各买了多少枚？（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4 只，则有一鸡无笼可放； ?若每笼里放 5 只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？x y 2523.方程组 丫 的解是否满足2x- y=8?满足2x y=8的一对x, y的值是否是 2x y 8x y 25方程组的解?2x y 824.（开放题）是否存在整数 m,使关于x的方程2x+9=2（ m- 2） x在整数范围内有 解，你能找到几个 m的值？你能求出相应的 x的解吗？答案：、选择题1.

14、 D解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：含有两个未知数；含有未知 数的项的次数是1;等式两边都是整式.2. A解析：二元一次方程组的三个必需条件：含有两个未知数，每个含未知数的 项次数为1;每个方程都是整式方程.3. B解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解.4. C解析：用排除法，逐个代入验证.5. C解析：利用非负数的性质.6 . B7. C解析：根据二元一次方程的定义来判定，？含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程.8 . B二、填空题9.4 2x4 3y 10 . 4 102311.4解析：令 3m 3=1, n 1=1

15、,二 m , n=2.312.x1解析：把y2代入方程 x ky=1 中，得一2 3k=1 , k= 1. 313.4解析：由已知得x 仁0, 2y+ 仁0,二 x=1, y=11 代入方程 2x ky=4 中，2+k=4, k=1.- 214.解：x 1y 4解析：T x+y=5，二 y=5 x,又y均为正整数, x为小于5的正整数.当x=1时,y=4;当 x=2 时，y=3;当 x=3, y=2 ;当 x=4 时，y=1 .2x33 y 2x 1 x+y=5的正整数解为y 42x+y=17, 2x y=3 等,15. x+y=12解析：以x与y的数量关系组建方程，如此题答案不唯一.16.

16、1 4解析：将x 2代入方程组mx y 3中进行求解. y 1x ny 6三、解答题17.解：t y= 3 时，3x+5y= 3,二 3x+5X( 3) = 3,二 x=4,方程 3x+5y=? ?3?和 3x 2ax=a+2 有相同的解， 3X(3) 2aX 4=a+2,. a= H .918.解：( a 2) x+ (b+1) y=13 是关于 x, y 的二元一次方程, a 2 工 0,b+1 工 0,? a 工 2, b 工一1解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0.(?若系数为0,则该项就是0)19 .解：由题意可知 x=y , 4x+3y=7可化为4x+3x=

17、7, x=1, y=1 .将 x=1, y=?1?代入 kx+ ( k 1) y=3 中得 k+k 1=3, k=2解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数 式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值.120 .解：由(|x | 1)2+( 2y+1) 2=0，可得 |x | 1=0 且 2y+1=0, x= 1, y=.21 13当 x=1, y= 时，x y=1+=;2 22xy= 1+L =21当 x= 1, y= 时,2解析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0,则这两非负数(|x | 1) 2与(2y+1) 2都等于0,从而得到|x | 1=0, 2y+1=0.x 4121.解：经验算是方程 -x+3y=5的解，再写一个方程，如 x y=3.x y 130.8x 2y 20y 1222. ( 1)解：设0.8元的邮票买了 x枚，2元的邮票