概率论与数理统计公式整理大全

1、学习必备欢迎下载第一章随机大事和概率（1） ）排列组合公式从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数；从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数；加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，其次种方法（2） ）加法和 可由 n 种方法来完成，就这件事可由m+n 种方法来完成；乘法原理乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，其次个步骤可由 n 种方法来完成，就这件事可由 mn 种方法来完成；重复排列和非重复排列（有序）（3） ）一些常 对立大事（至少有一个）见排列次序问题假如一个试验在相同条件

2、下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止（4） ）随机试 一个，但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果，就称这种试验和随机事件验为随机试验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下，不管大事有多少个，总可以从其中找出这样一组大事， 它具有如下性质：每进行一次试验，必需发生且只能发生这一组中的一个大事；任何大事，都是由这一组中的部分大事组成的；（5） ）基本领 这样一组大事中的每一个大事称为基本领件，用来表示；件、样本空间和大事基本领件的全体，称为试验的样本空间，用表示；一个大事就是由 中的部分点（基本领件）组成的集合；通常用大写字母 a，b， c， 表示大事，它们是 的子集；为必定大事，

3、. 为不行能大事；不行能大事（ .）的概率为零，而概率为零的大事不肯定是不行能大事； 同理，必定大事（ ）的概率为 1，而概率为 1 的大事也不肯定是必定大事；关系：（6） ）大事的 假如大事 a的组成部分也是大事 b的组成部分，（ a 发生必有大事 b 发关系与运算生）：假如同时有 ， ，就称大事 a与大事 b等价，或称 a等于 b：a=b；a、b 中至少有一个发生的大事： a b，或者 a+b；属于 a而不属于 b的部分所构成的大事，称为 a与 b的差，记为 a-b， 也可表示为 a-ab或者 ，它表示 a发生而 b不发生的大事；a、b 同时发生： a b，或者 ab；a b=.，就表示

4、a与 b不行能同时发生，称大事 a与大事 b互不相容或者互斥；基本领件是互不相容的；-a 称为大事 a 的逆大事，或称 a 的对立大事，记为 ；它表示 a 不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： abc=abcabc=abc安排率： ab c=acbcabc=acbc德摩根率：，设 为样本空间，为大事，对每一个大事 都有一个实数 pa，如满意以下三个条件：1 0 pa 1，2 p =1（7） ）概率的公理化定义（8） ）古典概型3 对于两两互不相容的大事， ，有常称为可列（完全）可加性；就称 pa 为大事 的概率；1 ，2 ；设任一大事 ，它是由 组成的，就有pa =如随机试验的结果为无限

5、不行数并且每个结果显现的可能性匀称，同时（9） ）几何概 样本空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述，就称此随型（10） ）加法公式（11） ）减法公式机试验为几何概型；对任一大事a，；其中 l 为几何度量（长度、面积、体积）；pa+b=pa+pb-pab当 pab0 时， pa+b=pa+pbpa-b=pa-pab（12） ）条件概率当 b a 时， pa-b=pa-pb当 a= 时， p =1- pb定义 设 a、b 是两个大事，且 pa0，就称 为大事 a 发生条件下，大事 b发生的条件概率，记为；条件概率是概率的一种，全部概率的性质都适合于条件概率；例如 p/b=1 p /a

6、=1-pb/a（13） ）乘法乘法公式：12n更一般地，对大事 a，a ，a，如 pa a a0 ，就有公式 ；两个大事的独立性1 2n-1设大事 、 满意 ，就称大事 、 是相互独立的；如大事 、 相互独立，且 ，就有（14） ）独立性如大事 、 相互独立，就可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立；必定大事 和不行能大事 . 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；多个大事的独立性设 abc是三个大事，假如满意两两独立的条件， pab=papb ； pbc=pbpc ；pca=pcpa 并且同时满意 pabc=papbpc那么 a、b、c相互独立；对于 n 个大事类似；（15） ）全概

7、公式（16） ）贝叶斯公式设大事 满意1 两两互不相容， ，2 ， 就有；设大事 ， ， 及 满意1 ， ， 两两互不相容， 0， 1，2， ，2 ， ， 就，i=1 ， 2， n；此公式即为贝叶斯公式；，（ ， ， ），通常叫先验概率； ，（ ， ， ），通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断；（17） ）伯努利概型我们作了 次试验，且满意u每次试验只有两种可能结果，发生或 不发生；u次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；u每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验；用 表

8、示每次试验发生的概率，就发生的概率为，用 表示 重伯努利试验中 显现 次的概率， ；其次章随机变量及其分布（ 1 设离散型随机变量 的可能取值为 xkk=1,2, 且取各个值的概率， 即大事）离x=xk 的概率为散型 px=xk=pk ，k=1,2, ，随 就称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式机 给出：变量 ；的 明显分布律应满意以下条件： 分布 （1） ， ，（2） ；律（ 2 设 是随机变量 的分布函数，如存在非负函数，对任意实数 ，有）连 续 ，型 就称 为连续型随机变量； 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密随 度；机变 密度函数具有下面 4 个性质：

9、 量的 1；分 2；布密度（ 3）离散 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中与 所起的作用相类似；连续型随机变量的关系（ 4 设 为随机变量， 是任意实数，就函数）分布函 称为随机变量 x 的分布函数，本质上是一个累积函数；数可以得到 x 落入区间 的概率；分布函数 表示随机变量落入区间 （ ，x 内的概率；分布函数具有如下性质：1；2是单调不减的函数，即时，有 ；3，；4，即 是右连续的；5；对于离散型随机变量，； 对于连续型随机变量，；（ 5 0- px=1=p, px=0=q）八1大 分分 布布二在 重贝努里试验中，设大事发生的概率为 ；大事 发生的次数是随机

10、项变量，设为，就 可能取值为 ；分布，其中 ，就称随机变量 听从参数为 ， 的二项分布；记为 ；当 时， ， ，这就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例；泊设随机变量的分布律为松分， ， ，布就称随机变量 听从参数为 的泊松分布，记为 或者 p ；泊松分布为二项分布的极限分布（ np=，n）；超几何随机变量 x听从参数为 n,n,m 的超几何分布，记为 hn,n,m ；分布几，其中 p0， q=1-p；何分随机变量 x听从参数为 p 的几何分布，记为 gp；布均设随机变量的值只落在 a ，b 内，其密度函数在a ，b 上为常数 ，即匀分布 axb其他，就称随机变量 在a

11、 ，b 上听从匀称分布，记为xua，b ；分布函数为axb0，xb ；当 ax1x2 b时， x落在区间（ ）内的概率为；指,数分布 0,其中 ，就称随机变量 x 听从参数为 的指数分布；x 的分布函数为,x0 ；记住积分公式：正设随机变量的密度函数为态分，布其中 、 为常数，就称随机变量听从参数为 、 的正态分布或高斯（ gauss）分布，记为 ；具有如下性质：1的图形是关于 对称的；2当 时， 为最大值； 如 ，就 的分布函数为；参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为， ，分布函数为；是不行求积函数，其函数值，已编制成表可供查用； -x 1- x 且 0 ；假如 ，就

12、 ；（ 6 下分位表： ；）分位 上分位表： ；数（ 7 离已知 的分布列为）函散数 型，分的分布列（互不相等）如下： 布，如有某些 相等，就应将对应的相加作为 的概率；连先利用 x的概率密度 f xx 写出 y 的分布函数 fyy pgx y ，再利续用变上下限积分的求导公式求出f yy ；型第三章二维随机变量及其分布（1） ）联合离散型假如二维随机向量 （x，y）的全部可能取值为至多可列个有序对（ x,y ），就称 为离散型随分布机量；设 = （x，y）的全部可能取值为 ，且大事 = 的概率为 pij, , 称为 = （x， y）的分布律或称为 x和 y的联合分布律；联合分布有时也用下面的

13、概率分布表来 表示：y1y2yjp11p12p1jp21p22p2jpi1yxx1x2xi这里 pij 具有下面两个性质：（1）pij 0（i,j=1,2,）；（2）连续型对于二维随机向量 ，假如存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区 域 d，即 d=x,y|axb,cyx1 时，有 f（x2 ,y ）fx1 ,y;当 y2y1 时，有 fx,y 2 fx,y 1;（3）f（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即（4） （4）（5） 对于.（4） ） 离散型与连续型的关系（5） ）边缘 离散型x 的边缘分布为分布；y 的边缘分布为；连续型x 的边缘分布密度为y 的边缘

14、分布密度为（6） ）条件 离散型在已知 x=xi 的条件下， y取值的条件分布为分布在已知 y=yj 的条件下， x取值的条件分布为连续型在已知 y=y的条件下， x 的条件分布密度为；在已知 x=x的条件下， y 的条件分布密度为（7） ）独立 一般型fx,y=f xxf yy性离散型有零不独立连续型fx,y=fxxfyy直接判定，充要条件：可分别变量正概率密度区间为矩形二维正态分布0随机变量的函数如 x1,x 2, xm,x m+1, xn 相互独立，h,g为连续函数，就：h（x1，x2, xm）和 g（xm+1, xn）相互独立；特例：如 x与 y独立，就： h（ x）和 g（y）独立；

15、例如：如 x与 y独立，就： 3x+1和 5y-2 独立；（8） ）二维 设随机向量（ x，y）的分布密度函数为匀称分布其中 sd为区域 d的面积， 就称（x，y）听从 d上的匀称分布， 记为（x，y） u（d）；例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 ；y1d 1o1x图 3.1yd211o2x图 3.2y d3dcoabx图 3.3（9） ）二维 设随机向量（ x，y）的分布密度函数为正态分布（10） ） 函数分布其中 是 5 个参数，就称（ x，y）听从二维正态分布， 记为（ x，y） n（由边缘密度的运算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 x n（但是如 xn

16、（ ，x ，y未必是二维正态分布；z=x+y依据定义运算：对于连续型， f zz 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）；n 个相互独立的正态分布的线性组合， 仍听从正态分布；，z=max,minx1,x 2, xn 如 相互独立，其分布函数分别为，就z=max,minx1,x 2, xn 的分布函数为：分布设 n 个随机变量 相互独立，且听从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量 w听从自由度为 n 的 分布，记为 w ，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数；分布满意可加性：设就t 分布设 x， y是两个相互独立的随机变量，且可以证

17、明函数的概率密度为我们称随机变量 t 听从自由度为 n 的 t 分布， 记为 ttn ；f 分布设 ，且 x与 y独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量 f 听从第一个自由度为n1，其次个自由度为 n2 的 f 分布，记为 f fn 1, n 2.第四章随机变量的数字特点（ 1）一维随机变量的 期望数字特 期望就是平均值征离散型连续型设 x是离散型随机变量， 其分设 x是连续型随机变量， 其概率布律为 p pk ，k=1,2, ,n ，密度为 fx，（要求肯定收敛）（要求肯定收敛）函数的期望y=gxy=gx方差dx=ex-ex2，标准差，矩对于正整数 k，称随机变量对于正整数 k，称随

18、机变量 xx的 k 次幂的数学期望为 x的的 k 次幂的数学期望为 x的 kkk 阶原点矩，记为 vk, 即k =ex= , k=1,2,.对于正整数 k，称随机变量x 与 e（x）差的 k 次幂的数学期望为 x的 k 阶中心矩，记为 ，即= ， k=1,2,.阶原点矩，记为 vk, 即k=ex =kk=1,2,.对于正整数 k，称随机变量 x 与 e（x）差的 k 次幂的数学期望为 x的 k 阶中心矩，记为 ， 即=k=1,2,.2切比雪夫不等式设随机变量 x具有数学期望 e（ x）= ，方差 d（ x）= ，就对于任意正数 ，有以下切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知 x的分布的情形下

19、，对概率的一种估量，它在理论上有重要意义；（ 2）期（ 1）ec=c望的性质（ 2）ecx=cex（ 3）ex+y=ex+ey ，（ 4）exy=ex ey，充分条件： x和 y独立；充要条件： x和 y不相关；（ 3）方（ 1）dc=0 ；ec=c差的性质（2） ）dax=a dx ；eax=aex22（ 3）dax+b= adx ；eax+b=aex+b22（ 4）dx=ex -e x（ 5）dxy=dx+dy ，充分条件： x和 y独立；充要条件： x和 y不相关；dxy=dx+dy 2ex -exy-ey，无条件成立；而 ex+y=ex+ey ，无条件成立；（4） ）常期望方差见分布的

20、期望 0-1 分布p和方差 二项分布np泊松分布 几何分布 超几何分布匀称分布指数分布正态分布n2nt 分布0n2（5） ）二期望维随机变量的数字特 函数的期望 征方差协方差对于随机变量 x与 y，称它们的二阶混合中心矩为 x 与 y 的协方差或相关矩，记为，即与记号 相对应， x与 y的方差 d（x）与 d（ y）也可分别记为与 ；相关系数对于随机变量 x与 y，假如 d（ x） 0, dy0 ，就称为 x与 y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）；| |1，当 | |=1时，称 x 与 y 完全相关： 完全相关而当 时，称 x与 y不相关；以下五个命题是等价的： ；covx,y=0;exy

21、=exey;dx+y=dx+dy;dx-y=dx+dy.协方差矩阵混合矩对于随机变量 x与 y，假如有 存在，就称之为 x 与 y 的 k+l阶混合原点矩，记为 ； k+l 阶混合中心矩记为：（6） ）协icov x, y=cov y, x;方差的性质iicovax,by=ab covx,y;(iii) covx 1+x2, y=covx 1,y+covx 2,y;(iv) covx,y=exy-exey.（7） ）独（ i ）如随机变量 x 与 y 相互独立，就；反立和不 之不真；相关（ ii ）如（ x，y） n（ ），就 x 与 y 相互独立的充要条件是 x 和 y 不相关；第五章大数定

22、律和中心极限定理（1） ）大数定律 切比雪夫大数定律设随机变量 x1， x2 ，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 c所界： d（xi ）ci=1,2, , 就对于任意的正数 ，有特别情形：如 x1，x2，具有相同的数学期望e（xi ）=，就上式成为伯努利大数定律辛钦大数定律设 是 n 次独立试验中大事 a发生的次数， p 是大事 a在每次试验中发生的概率，就对于任意的正数，有伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时， 大事 a发生的频率与概率有较大判别的可能性很小， 即这就以严格的数学形式描述了频率的稳固性；设 x1，x2， xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且 e（ xn）=，就对

23、于任意的正数 有（2） ）中心极限定列维林德伯设随机变量 x1， x2 ，相互独立，听从同一分布，且具理格定理 有相同的数学期望和方差：，就随机变量的分布函数 fn x 对任意的实数 x，有棣莫弗拉普拉斯定理此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理；设随机变量 为具有参数 n, p0p1 的二项分布， 就对于任意实数 x, 有（3） ）二项定理 如当 ，就超几何分布的极限分布为二项分布；（4） ）泊松定理 如当 ，就其中 k=0，1，2， n，；二项分布的极限分布为泊松分布；第六章 样本及抽样分布（1） ）数理统 总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指计的基本概念标的全体称为总体

24、（或母体）；我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）；个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）；样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本；样本中所含的样品数称为样本容量， 一般用 n 表示；在一般情形下， 总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简洁随机样本；在泛指任 一次抽取的结果时， 表示 n 个随机变量（样本）；在详细的一次抽取之后，表示 n 个详细的数值（样本值）；我们称之为样本的两重性；样本函数和统计量设 为总体的一个样本，称（ ）为样本函数，其中 为一个连续函数；假如中不包含任何未知参数，就称 （ ）为一个统计量；常见统计量 样本

25、均值及其性质样本方差样本标准差样本 k 阶原点矩样本 k 阶中心矩， ， ,其中 ，为二阶中心矩；（2） ）正态总 正态分布设 为来自正态总体 的一个样本，就样本函数体下的四大分布t 分布设 为来自正态总体 的一个样本，就样本函数其中 tn-1表示自由度为 n-1 的 t 分布；设 为来自正态总体 的一个样本，就样本函数其中 表示自由度为 n-1 的 分布；f 分布设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体的一个样本，就样本函数其中表示第一自由度为 ，其次自由度为 的 f 分布；（3） ）正态总 与 独立；体下分布的性质第七章参数估量（1） ）点 矩估量设总体 x 的分布中包含有未知数

26、 ，就其分布函数可以表成 它的 k 阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 ；又设 为总体 x 的估量n 个样本值，其样本的k 阶原点矩为这样，我们依据“当参数等于其估量量时，总体矩等于相应的样本矩”的原就建立方程，即有由上面的 m个方程中，解出的 m个未知参数 即为参数（ ）的矩估量量；极大似然估量如 为 的矩估量， 为连续函数，就为 的矩估量；当总体 x 为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中 为未知参数；又设为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为 ln.当总体 x 为离型随机变量时，设其分布律为，就称为样本的似然函数；如似然函数 在 处取到最大值，就称 分别为 的最大似然估量值，相应

27、的统计量称为最大似然估量量；如 为 的极大似然估量， 为单调函数，就为 的极大似然估量；（2） ）估 无偏性设 为未知参数 的估量量；如 e （ ）= ，就称 为 的无偏估计量的评比标准计量；e（ ）=e（x）， e （s2）=d（ x）有效性设 和 是未知参数 的两个无偏估量量；如 ，就称 有效；一样性设 是 的一串估量量，假如对于任意的正数，都有就称 为 的一样估量量（或相合估量量）；（3） ）区 置信区间如 为 的无偏估量，且 就 为 的一样估量；只要总体的 ex 和 dx存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一样估量量；设总体 x 含有一个待估的未知参数；假如我们从样本 动身，间估量和置信度找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）；单正态总体的期望和方差的区间估量设 为总体 的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间 ；详细步骤如下：（ i ）挑选样本函数；（ ii ）由置信度 ，查表找分位数；（ iii）导出置信区间 ；已知方差，估量均值（i ）挑选样本函数ii查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估量均值（i ）挑选样本函数ii查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估量（i ）挑选样本函数（ii ）查表