二次函数知识点总结材料及典型例题

1、实用文案浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念2一般地，如果 y ax bx c（a,b,c是常数，a 0），特别注意 a不为零，那么y叫做x的二次函数。y ax2 bx c（ a, b, c是常数，a 0）叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像K二次函数的图像是一条关于x 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、 二次函数图像的画法五点作图法：（1 ）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴2（2 ）求抛物线y ax bx c与坐标轴的交点：当抛物线与

2、x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例1】、已知函数y=x 2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2 ）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图

3、，说 出x取哪些值时， y=0 :y0标准知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀般两根三顶点(1)一般般式：y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)(2)两根2当抛物线y ax bx c与x轴有交点时，即对应的一元二次方程2ax bx c 0有实根X2存在时，根据二次三项式的分解因式2ax bx c a(x xj(x x2),二次函数 y2ax bx c可转化为两根式y a(x xj(x X2)。如果没有交点，则不能这样表示。a的绝对值越大，抛物线的开口越小。(3)三顶点 顶点式：y a(x h)【例2】、如图，抛物线y ax bx c与x轴的一个交点 A在点(-2

4、 , 0)和(-1 , 0)之间(包括这两点)，顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，则(1 ) abc0(或或=)(2) a的取值范围是【例3】、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0 , 1)的是 ()A. y = ( x - 2)2 + 1B. y = ( x + 2) 2 + 1C. y = ( x - 2)2 - 3D . y = ( x + 2) 2 - 3 k(a,h,k是常数，a 0)当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我 们最好设顶点式，这样最简洁。2【例1】、抛物线y ax bx c与x轴交于A (1, 0), B (3, 0)两点，且过(-1

5、 ,16),求抛物线的解析式。知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x时，y最值2a4ac b24a如果自变量的取值范围是Xi x X2，那么，首先要看b2a是否在自变量取值范围Xi X X2内，若在此范围内,b则当x=亦时，y最值4ac b24a若不在此范围内,XiX X2范围内的增减性，如果在此范2axibxic ；如果在此C.有最小值i,有最大值3D .有最小值- i,无最大值, 2围内，y随x的增大而增大，则当 x X2时，y最大 ax? bx? c,当x Xi时，y最小范围内，y随x的增大而减小，则当xXi时，y最大ax；

6、bXic，当xx?时，y最小ax；bx?c。【例i】、已知二次函数的图像（0 wx3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内下列说法正确的是（）B.有最小值i,有最大值0A.有最小值0,有最大值3【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加i0元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元设每个房间的房价每天增加X元（x为i0的正整数倍）.（i ）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量 x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为

7、w元，求w与X的函数关系式；（3）天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数y ax2 bx c(a,b,c 是常数，a 0)a0图像(1 )抛物线开口向上，并向上无限延伸;(1 )抛物线开口向下，并向下无限延伸;b(2 )对称轴是x= ，2ab(2 )对称轴是x= ,2a顶点坐标是(b2a4ac b24a顶点坐标是(b2a4ac b24a性质b(3 )在对称轴的左侧，即当 xw 时，y随x2aK的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x 2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增;b(4) 抛物线有最低点， 当x= 时，y有最小2ab

8、(3 )在对称轴的左侧，即当 x w 时，y随2ax的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xb时，y随x的增大而减小，简记左增右减；2ab(4 )抛物线有最高点，当 x= 时，y有最2a实用文案/古4ac b2值，y最小值:4a4ac b2大值，y最大值*22、二次函数y ax bx c（a,b,c是常数，a 0）中，a、b、c的含义:a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上a 0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像与x轴有一个交点；当 0时y值随x值增大而减小的是（).A . y = x2B. y =x -13C. y= 4x【例6】、若二次函数y (xm）2 1 .当x wi时，y随x的增

9、大而减小，则 m的取值范围是（A. m =lB. m lC. m l D. m 0）个单位，yax2 bx c m)当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式2 2ax bx c :向左（右）平移 m（ m 0）个单位，y ax bx2y a(x m) b(x m) c)2【例1】将抛物线y x向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是2a y (x 2)2 2B. y x 2 C. y (x 2) D. yax2 bx c 变成 y、 2c 变成 y a(x m)x22【例2】、将抛物线y=x2 2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是【例3】抛物线y x2可以由抛

10、物线y x 2 23平移得到，则下列平移过程正确的是A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位ax2b(xbxm)c mc (或标准【补】抛物线y=2x 2-3x-7在x轴上截得的线段的长度为【公式】抛物线y=ax 2+bx+c在x轴上截得的线段的长度为2知识点六、抛物线 y ax bx c中,a、b、c的作用（2） b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线，故:对称轴为y轴；一 0 （即a、b同号）时，对称轴在 y轴左侧；一 0

11、（即a、aab异号）时，对称轴在0时,y轴右侧.口诀-左同，右异 （a、b同号，对称轴在y轴左侧）2（3） c的大小决定抛物线 y ax bx c与y轴交点的位置o当x 0时，y c，二抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点（0, c）:c 0 ,抛物线经过原点； c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.K以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 一 0.a【例1】、如图为抛物线y ax2 bx c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）【例2】、已知抛物线y= ax2 + bx + c（a丸）在平面

12、直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A. a0 B. b v 0 C. cv 0 D . a+ b + c0【例3】、如图所示的二次函数 y ax2 bx c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1） b2 4ac 0 ； （2）c1 ； （3） 2a b0 ； （4） a+b+c 2a :ax2 +bx+c=0 的两根分别为-3和1；a-2b+c 0.其中正确的命题是 .（只要求填写正确命题的序号）【例6】、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的”对称轴，则下列关系正确的是（）知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性

13、地记忆）i、两点间距离公式：如图：点A坐标为（Xi, yi），点B坐标为（X2, y2）,则AB间的距离，即线段AB的长度为:Xi2X2yi2y2来的）2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中,（这实际上是根据B两点的坐标分别为yiX2B（X2, y2），AB中点P的坐标为（Xp, yp） 由xpXiX2Xp，得 X PXi2同理yp匕上，所以AB的中点坐标为（亠2 2X2yi3、两平行直线的解析式分别为:y=k iX+b i, y=k 2X+b 2，那么 ki=k 2,也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。4、两垂直直线的解析式分别为:y=k iX+b

14、i, y=k 2x+b 2，那么ki xk2=-i，也就是说当我们知道一条直线的 k值，就定能知道与它垂直的另一条直线的k值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解）以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚【例i】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= - x2+2x+3与X轴交于A . B两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.（1）求直线AC的解析式及B. D两点的坐标；（2） 点P是X轴上一个动点，过 P作直线I /AC交抛物线于点 Q，试探究：随着 P点的运动，在抛物线上是否存在 点Q，使以点A . P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐

15、标；若不存在, 请说明理由.（3）请在直线 AC上找一点M，使ABDM的周长最小，求出 M点的坐标.实用文案【例2】、如图，已知抛物线 y - x2+bx+c与一直线相交于 A (- 1, 0), C (2, 3)两点，与y轴交于点N .其顶点 为D . (1 )求抛物线及直线 AC的函数关系式；(2) 设点M (3 , m )，求使MN+MD 的值最小时 m的值;(3) 若抛物线的对称轴与直线 AC相交于点B, E为直线AC上的任意一点，过点E作EF/BD交抛物线于点F,以B,E的坐标；若不能，请说明理由;D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点(4) 若P是抛物线上位于直线

16、 AC上方的一个动点，求 APC的面积的最大值.【例3】、如图，抛物线y -x243-x 4与x轴交于A, B两点(点B在点A的右边)，与y轴交于C,连接BC,2以BC为一边，点0为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m , 0)，过P作x轴的垂线I交抛物线于点Q。(1) 求点A、B、C的坐标；(2) 当点P在线段0B上运动时，直线I分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时，四边形 CQMD是平行四 边形，此时，请判断四边形 CQBM的形状，并说明理由。(3) 当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q,使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，

17、请说明理由。实用文案【练习】1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2. 5m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是1 5 m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示）（）A 1 5 mB 1 625 mC. 1 66 mD 1 67 m2 -x 11 x33. 二 次 函 数2y ax bx c的图象如图所示，则反比例函数ay 与一次函数xy bx c在同一坐标系中的大致图象是（）4.如图，已知二次函数y x2 bx c的图象经过点

18、（一1 , 0 ）, （1 , - 2），当y随x的增大而增大时,x的取值范围是5.在平面直角坐标系中，将抛物线2A y （x 1）2y轴的交点旋转 1802C y (x 1)2，所得抛物线的解析式是（d y （x)1)2426.已知二次函数y ax2bx c的图像如图，其对称轴1，给出下列结果 b2 4acabc 02a b 0则正确的结论是（）x-2-1012y04664C D27 抛物线 y ax bx c上部分点的横坐标x，纵坐标 y的对应值如上表：从上表可知，下列说法中正确的是（填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0）；函数y ax2 bx c的最大值为6；抛物线的对称轴是 x

19、1；2在对称轴左侧，y随x增大而增大.标准OAB8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点 A的坐标是（一2 , 4 ）,过点A作AB丄y轴，垂足为B,连结OA （1）求OAB的面积；（2）若抛物线y x2 2x c经过点A 求c的值；将抛物线向下平移 m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括厶OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）1 2 9、“已知函数y X bx c的图象经过点 A (c，- 2),，这个二次函数图象的对称轴是x=3。”2 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1) 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。10