第一章 气体分子运动论

1、大学物理课程教学要求本学期成绩采取：期末成绩=试卷成绩（占80%）+平日成绩（占20%）。有申请免听的学生，一定要有书面申请，由于平日不能出席，所以没有平日成绩，考试成绩按卷面成绩登录。第一次选修的学生不可以办理免听。学生请假要有学生所在学院副院长级以上领导的批准假条，辅导员的批准不可以 B目目 录录第第1章气体分子运动论章气体分子运动论第第2章热力学章热力学 理想气体处于平衡态下时，各状态参理想气体处于平衡态下时，各状态参量之间的关系。量之间的关系。RTMPV 理想气体是一种理想化的模型，它的理想气体是一种理想化的模型，它的模型有两种。模型有两种。宏观模型宏观模型温度不太低温度不太低压强不太

2、高压强不太高微观模型微观模型分子间的作用力不计分子间的作用力不计分子的体积不计分子的体积不计两种模型是等价的，两种模型是等价的，当气体的压强较低时，当气体的压强较低时，气体较稀薄，分子间的距离较大，则分子气体较稀薄，分子间的距离较大，则分子间的作用力可忽略不计，且分子间的距离间的作用力可忽略不计，且分子间的距离远远大于分子本身的线度，分子的体积也远远大于分子本身的线度，分子的体积也可忽略不计。可忽略不计。 在外界条件一定的情况下，系统内部在外界条件一定的情况下，系统内部各处均匀一致，宏观性质不随时间各处均匀一致，宏观性质不随时间 t 改变。改变。 RTMPV1. .压强压强P 从力学角度描写气

3、体状态的物理从力学角度描写气体状态的物理量。量。单位面积的压力。单位面积的压力。SFP国际单位：国际单位：牛顿牛顿/ /米米2，Nm- -2, , 帕（帕（Pa）1 Pa= =1 Nm- -2, , 常用单位：常用单位：大气压，大气压，atmPa10013.1atm152. .体积体积 V 从几何角度描写气体状态的物理量。从几何角度描写气体状态的物理量。 -气体分子气体分子活动的空间活动的空间体积。体积。 对于对于理想气体理想气体分子大小不计，分子活分子大小不计，分子活动的空间体积就是动的空间体积就是容器的体积容器的体积。国际单位：国际单位：米米3，m3常用单位：常用单位：升，升，ll3310

4、m13. .温度温度T 从热学角度描写气体状态的物理量。从热学角度描写气体状态的物理量。国际单位：国际单位：绝对温标绝对温标 T 开，开，k常用单位：常用单位：摄氏温标摄氏温标 t 度，度，C15.273tT4. .摩尔数摩尔数M气体质量气体质量摩尔质量摩尔质量单位：摩尔，单位：摩尔，mol5. .普适气体恒量普适气体恒量 R1 -1 -kmolJ 31.8R1摩尔气体在标准状态下：摩尔气体在标准状态下：000RTVP000TVPR273104 .2210013.135-R1 -1 -kmolJ 31.8. .理想气体理想气体. .处在平衡态处在平衡态RTMPV理想气体状态方程理想气体状态方程

5、. .理想气体理想气体. .处在平衡态处在平衡态222111TVPTVP气体定律气体定律. .质量不变质量不变. .同种气体同种气体RTMPV 常用形式常用形式系统内有系统内有 N个分子个分子每个分子质量每个分子质量 mNmM mNAmol10023623/.NATNRNPVAnkTP 常用形式常用形式NkTPV VNn ANRk 分子数密度分子数密度 玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数 P-V 图图TVP.TVP.通常还画通常还画 P - T、P - VT - V 、T E 图图PVP V 图上一个图上一个点点代表一个代表一个平衡态平衡态一条一条线线代表一个准代表一个准静态过程静态过程一、研究方法一、

6、研究方法 从微观物质结构和分子运动论出发运从微观物质结构和分子运动论出发运用力学规律和统计平均方法，解释气体的用力学规律和统计平均方法，解释气体的宏观现象和规律，并建立宏观量与微观量宏观现象和规律，并建立宏观量与微观量之间的关系。之间的关系。二、气体分子运动论的基本观点二、气体分子运动论的基本观点1. .气体是由大量分子（或原子）组成。气体是由大量分子（或原子）组成。2. .分子在不停地作无规则的热运动。分子在不停地作无规则的热运动。3. .分子间有相互作用。分子间有相互作用。4. .分子可视为弹性的小球。分子可视为弹性的小球。5.服从牛顿力学服从牛顿力学分子数目太多，无法解这么多的联立方分子

7、数目太多，无法解这么多的联立方程。即使能解也无用，因为碰撞太频繁，程。即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万变，运动情况瞬息万变， 必须用统计的方法必须用统计的方法来研究。来研究。三、统计的规律性三、统计的规律性 对于单个分子的运动是无规则的，遵对于单个分子的运动是无规则的，遵守牛顿定律，但对大量的分子则需用统计守牛顿定律，但对大量的分子则需用统计平均的方法。平均的方法。 对大量无规则的事件，进行统计，满对大量无规则的事件，进行统计，满足一定的规律性，事件的次数越多，规律足一定的规律性，事件的次数越多，规律性也越强，用性也越强，用“概率概率”来表示。来表示。总的事件次数出现某一事件的次

8、数AW定义定义: 某一事件某一事件 A发生的概率发生的概率 WA 统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特点:1. 对大量偶然事件整体所遵守的规律为统对大量偶然事件整体所遵守的规律为统计规律。计规律。2.总是伴随着涨落。总是伴随着涨落。什么叫涨落？什么叫涨落？对统计规律的偏离现象对统计规律的偏离现象涨落有时大涨落有时大 有时小有时小 有时正有时正 有时负有时负一、什么是自由度一、什么是自由度 自由度是描写物体在空间位置所需的自由度是描写物体在空间位置所需的独立坐标数。独立坐标数。 所谓独立坐标数是指描写物体位置所所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的需的最少的坐标数最少的坐标数。 三、分子动能

9、按自由度均分的统计规律三、分子动能按自由度均分的统计规律由温度公式有分子平均平动动能由温度公式有分子平均平动动能221vmk)(21222zyxvvvmkT23222zyxvvvkTvmx23232kTvmx21212222121zyvmvm即在即在 x 方向的自由度上平均分配了方向的自由度上平均分配了 kT / / 2 的能量。的能量。由于分子运动在哪个方向都不占优势，因由于分子运动在哪个方向都不占优势，因此，在此，在 y、z 方向的自由度上也都平均分方向的自由度上也都平均分配配 了了 kT / / 2 的能量。的能量。每个平动自由度上分配了一份每个平动自由度上分配了一份kT/ /2的能量，

10、的能量，kT21kTvmx21212使平动动能与转动动能不断转换，使平动动能与转动动能不断转换，平动动能平动动能转动动能转动动能使平动动能与转动动能达到相同，即每个使平动动能与转动动能达到相同，即每个转动自由度上也平均分配了转动自由度上也平均分配了kT/ /2能量。能量。 由此可知，分子有由此可知，分子有 i 个自由度，其平均动个自由度，其平均动能就有能就有i 份份 kT/2 的能量的能量。分子平均动能分子平均动能kTi2由于分子的激烈碰撞（几亿次由于分子的激烈碰撞（几亿次/ /秒），秒）， 四、气体分子的能量四、气体分子的能量 = =分子平均动能分子平均动能 + +对于理想气体而言，对于理想

11、气体而言，分子间的作用力忽分子间的作用力忽略不计略不计，分子与分子间的势能为，分子与分子间的势能为 0。由于只考虑由于只考虑常温状态常温状态，分子内的原子间，分子内的原子间的距离可认为不变，则分子内原子与原子的距离可认为不变，则分子内原子与原子间的势能也可不计。间的势能也可不计。一个分子的能量为一个分子的能量为kTi2分子与分子间的势能分子与分子间的势能+ +分子中原子与原子间的势能分子中原子与原子间的势能 = =分子平均动能分子平均动能 五、气体的内能五、气体的内能1. .一个分子的能量为一个分子的能量为: :kTi22. . 1 mol气体分子的能量为气体分子的能量为: :kTNi02RT

12、i23. .M 千克气体的能量为：千克气体的能量为：PViRTiME22气体内能气体内能3 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律一、速率分布函数一、速率分布函数设系统总的分子数为设系统总的分子数为Nd-分子速率在分子速率在间隔间隔内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比间隔内的分子数为间隔内的分子数为vdNNNd则则表示表示d-分子速率在分子速率在ddNNf)(单位速率间隔内单位速率间隔内分子速率在分子速率在附近附近的分子数占总分子数的百分比的分子数占总分子数的百分比f (v )叫叫麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数ddNNf)(单位速率间隔内的分子数单位速率间隔内的分子

13、数占总分子数的百分比占总分子数的百分比d)(fNNd间隔内的分子数占间隔内的分子数占总分子数的百分比总分子数的百分比分子速率在分子速率在附近附近d-分子速率在分子速率在1）f (v ) 的意义的意义讨论讨论d)(NfNd间隔内的分子数间隔内的分子数1)(00NvNdNfd归一性质归一性质d-分子速率在分子速率在2）f (v ) 的性质的性质曲线下面积恒为曲线下面积恒为11)(0df几何意义几何意义oNNddNNf)(d-od )(f2.麦氏速率分布函数曲线麦氏速率分布函数曲线 kTmekTmf2223224-)(vfOPvv2vv)(fo二、二、 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 系统：理

14、气系统：理气 平衡态平衡态 1. 麦氏速率分布律麦氏速率分布律最概然速率最概然速率p)(pf最大最大0)(ddf令令RTmkTp22)(vfOPvv2vv)(fop得得1. . vP与温度与温度T的关系的关系mkTvp2pvT 曲线的峰值右移曲线的峰值右移, ,由于曲线下面积由于曲线下面积为为1不变，所以峰不变，所以峰值降低。值降低。12TTov)(vf1pv2pv 2T1Tpvm 曲线的峰值左移曲线的峰值左移, ,由于曲线下面积由于曲线下面积为为1不变，所以峰不变，所以峰值升高。值升高。12mmov)(vf1pv2pv 2m1m2. . vP与分子质量与分子质量m的关系的关系mkTvp2ov

15、)(vf1pv2pv 2T1T)(f o同种分子不同温度同种分子不同温度的速率分布的速率分布ov)(vf1pv2pv 2m1m)(f o12相同温度下不同相同温度下不同种类分子的速率种类分子的速率分布分布三、三、 速率分布函数的应用速率分布函数的应用 平均值计算式为平均值计算式为)()(某区间某区间NNddNNN0N0ddNfN0)(dd0)(f1. 计算全空间计算全空间 速率的算术平均值速率的算术平均值d0)(fd22230224kTmekTm-mkT88RTRT60. 1代入麦氏代入麦氏分布函数分布函数得麦氏分布时得麦氏分布时的平均速率的平均速率2. 方均根速率方均根速率麦氏系统麦氏系统(

16、 (理气理气 平衡态平衡态) )若求整个速率空间的方均根速率若求整个速率空间的方均根速率NNfNN02022)(dd02)(dfRT3RT32022)(df1) 平均值的计算公式平均值的计算公式注意上下区间的一致性注意上下区间的一致性0)(df2121)()(ddNfNf2121)()(ddff讨论讨论通式：0)(dxfx的函数是vx2) ) 三种速率三种速率每个系统均存在每个系统均存在RTRTRTp73.160.141.12理想气体平衡态有麦氏速率分布理想气体平衡态有麦氏速率分布所以所以p23)3) 说出下列各式的物理含义说出下列各式的物理含义 dvvvf01.整个区间内分子的平均速率2.

17、dvvfpv速率在-pv区间内的分子数占总分子数的百分比3. dvvfvv21速率在21vv -区间内的分子数占总分子数的百分比4. dvvNfvv21速率在21vv -区间内的分子数5. dvvvNfvv21速率在21vv -区间内的分子的速率之和6. dvvNfmvvv21221速率在21vv -区间内的分子的平动动能之和7. 2121vvvvdvvfdvvvf 2121vvvvdvvNfdvvvNf速率在21vv -区间内的分子的平均速率 在常温下，空气分子速率在常温下，空气分子速率 400500米米/ /秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的同学立刻就

18、可闻到香水味。但实际需要同学立刻就可闻到香水味。但实际需要 12 分钟才能闻到，这是为什么？分钟才能闻到，这是为什么？ 实际上由于分子实际上由于分子激烈的热运动，不断激烈的热运动，不断地和其它分子碰撞，地和其它分子碰撞，分子不是走直线，而分子不是走直线，而是折线。是折线。 跟踪一个分子，设分子是直径为跟踪一个分子，设分子是直径为d的的弹性小球弹性小球1. .以直代曲，将分子运动的折线用直线来以直代曲，将分子运动的折线用直线来代替。代替。2. .以静代动，认为跟踪的分子运动，其它以静代动，认为跟踪的分子运动，其它的分子静止。的分子静止。4. .作直径为作直径为2d长为长为u的圆柱体（的圆柱体（1

19、秒钟分子秒钟分子运动的距离），圆柱体内的气体分子数密运动的距离），圆柱体内的气体分子数密度为度为n。3. .以相对速率以相对速率u与其它分子发生弹性碰撞。与其它分子发生弹性碰撞。nud2d质心位于圆柱质心位于圆柱体内的分子数，体内的分子数，都能和跟踪的都能和跟踪的分子发生碰撞。分子发生碰撞。圆柱体内的分圆柱体内的分子数，子数，即为分即为分子子1秒钟的碰撞秒钟的碰撞次数次数-平均平均碰撞频率。碰撞频率。udnnVZ2体系有如下与的 关 u v更详细的理论指出：更详细的理论指出：vu2代入平均碰撞频率代入平均碰撞频率udnZ2vdnZ22 分子相邻两次碰撞之间的平均距离。分子相邻两次碰撞之间的平均

20、距离。平均自由程平均自由程= =分子在分子在1秒内平均路程秒内平均路程1秒内平均碰撞次数秒内平均碰撞次数Zvvdnv22221dn221dn平均自由程平均自由程由由kTPnPdkT22平均自由程平均自由程说明当温度一定时，平均自由程和压强成反比；当压强一定时，平均自由程和温度成正比。问题：问题：一定质量的气体，保持体积不变，当温一定质量的气体，保持体积不变，当温度增加时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率度增加时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率增加了，平均自由程如何变化？增加了，平均自由程如何变化？解答：解答：根据公式根据公式221dn质量一定，体积保持不变，则气体的分子数密质量一定，体积保持不变

21、，则气体的分子数密度度 n 也不变，也不变，221dn平均自由程也不变。平均自由程也不变。说明：质量一定，体积保持不变时，平均自质量一定，体积保持不变时，平均自由程与体积和压强无关由程与体积和压强无关kTPVNnANmnmRTPVMPVikTiNRTiME222vdnZ22kTk2322313231vnvnmPt221dnPdkT22NkTRTMPVnkTP 222/3224)(vekTmNdvdNvfkTmv-RTRTmkTvp41.1221. .最概然速率最概然速率RTRTmkTv73.13323. .方均根速率方均根速率RTRTmkTv60. 1882. .平均速率平均速率例：例：容器内

22、盛有氮气，压强为容器内盛有氮气，压强为10atm、温、温度为度为27C，氮分子的摩尔质量为，氮分子的摩尔质量为 28 g/mol,. .分子数密度；分子数密度；. .质量密度；质量密度；. .分子质量；分子质量；. .平均平动动能；平均平动动能；. .三种速率；三种速率；. .平均碰撞频率；平均碰撞频率；. .平均自由程。平均自由程。空气分子直径为空气分子直径为310- -10m 。求：求：. .分子数密度；分子数密度；kTPn3001038.110013.110235-n 质量密度质量密度RTP30031.810013.110102853-. .分子质量分子质量23310022. 61028

23、-ANm326m1045.2-3kg/m4 .11kg1065.426-. .平均平动动能平均平动动能kTk233001038.12323-k. .三种速率三种速率3102830031.8-RTRTvp41.1RTv59.1J1021.621-298m/s7 .417m/s47629859.129841.1RTv73.12. .平均碰撞频率平均碰撞频率vdnZ22476)103(1045.2221026-Z秒次/106 .410. .平均自由程平均自由程PdkT2252102310013.110)103(23001038.1-29873.1m/s515m100 .18-6. (本题3分)505

24、1麦克斯韦速率分布曲线如图所示,图中A,B两部分面积相等,则该图表示:(A) V0为最可几速率.(B) V0为平均速率 V0为方均根速率 ; 速率大于和小于V0的分子数各占一半f(v)VAB0V曲线下的面积表示的是速率在某个区间内的分子数占总分子数的百分比。10。（本题3分）4038温度为T时，方均根速率的 速率区间内，氢，氮两种气体分子数占总分子数的百分率相比较：则有（附：麦克斯韦速率分布定律：smv/50212（A）（B）（C）（D）温度较低时 温度较高时vvkmvkmNN-.2exp)2(4222322)/(/NHNNNN）（22)/(/NHNNNN）（22)/(/NHNNNN）（22)

25、/(/NHNNNN）（22)/(/NHNNNN）（4038答案及提示 (C) 提示：将e指数中的换成这样就有22mvkT2323mNN11。（本题3分）5332 若f (v)为气体分子速率分布函数，N为分子总数，m为分子质量，则 的物理意义是：（A）速率为V2的各分子的总平动动能与速率为V1的各分子的总平动动能动能之差。（B）速率为V2的各分子的总平动动能与速率为V1的各分子的总平动动能动能之和。（C）速率处在速率间隔V1 V2之内的分子的平均平动动能。（D）速率处在速率间隔V1 V2之内的分子平动动能之和。dvvNfmvVV)(212215332答案及提示 (D) 根据速率分布函数可得则 NdvdNvf dNdvvNfdNmvdvvNfmvVVV