全等三角形中的截长补短学生版

1、第九讲9 / 8全等三角形中的截长补短一中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角 形的性质 及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和 性质，会用全等三角形的性质和 判定解决简单问题会运用全等三角形 的性质和判定解决 有关问题知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3) 有公共边的，公共边常是对应边.(4) 有公共角的，

2、公共角常是对应角.(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直

3、角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】（06年北京中考题）已知 ABC中，A 60o, BD、CE分别平分 ABC和.ACB ,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例2】 如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N , DM

4、与MN有怎样的 数量关系？【例3】 如图2-9所示.已知正方形 ABCD 中, M为CD的中点，E为MC上一点，且/ BAE=2 / DAM .求证：AE=BC+CE .【例4】（“希望杯”竞赛试题 ）如图，AD丄AB, CB丄AB, DM=CM=a , AD=h , CB= k , / AMD =75 / BMC =45 贝U AB 的长为（）A.aB. kc. - h D. h2【例5】 已知：如图， ABCD是正方形，/ FAD= / FAE.求证：BE+DF=AE.【例6】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、 ACE，连结 CD、BE 相交于点0 .求证：OA平分 DO

5、E .E【例7】（北京市数学竞赛试题， 天津市数学竞赛试题）如图所示，ABC是边长为1的正三角形， BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的 MDN，点 M、N分别在AB、AC上，求 AMN的周长.D【例8】 如图所示， ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120。的等腰三角形，以D为顶点作一个 60。的 MDN，点M、N分别在 AB、AC上，求 AMN的周长.【巩固】（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在 ABC中，AB AC，D是底边BC上的一点，E是线段 AD上的一点，且 BED 2 CED BAC，求证 BD 2CD .【例 9】 五边形 ABCDE 中，AB=A

6、E, BC+DE=CD，/ ABC+ / AED=180 求证：AD 平分 / CDE【巩固】（2009浙江湖州）若P为 ABC所在平面上一点，且APB BPC CPA 120 ,则点P叫做 ABC的费马点.若点P为锐角 ABC的费马点，且ABC 60 , PA 3, PC 4，则PB的值如图，在锐角ABC外侧作等边 ACB,连结BB.板块、全等与角度【例10】如图，在 ABC中， BAC 60, AD是 BAC的平分线，且 AC AB BD，求ABC的度数【例11】在等腰 ABC中，AB AC，顶角A 20，在边AB上取点D，使AD BC ,求 BDC 【例12】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）

7、如图所示,在ABC中，ACBC ,在AC上，N在BC上，且满足ABCC 20,又 MBAN 50, ABM 60，求 NMB 【例13】在四边形ABCD中，已知 AB AC , ABD 60 , 求 DBC的度数.CABADB 76 , BDC 28 ,【例14】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD中， DAC 12 ,CAB 36， ABD 48， DBC 24，求 ACD 的度数.n【例15】（河南省数学竞赛试题）在正 ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使 DBE DBC，且 BE BA，求 BED.【例16】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在 ABC中，BAC BCA44，M 为 ABC内一点，使得 MCA 30，MAC 16，求 BMC的度数.【巩固】如图所示，在ABC中，已知 BAC 80 , ABCDAB 10 , DBA 20，求 ACD 的度数.B60 , D为三角形内一点，且【习题1】点M ,N在等边三角形 ABC的AB边上运动，BD=DC ,