【数学】金陵中学2021届高三数学检测卷教师版2

1、金陵中学2021 届高三数学检测卷（ 23）一、填空题：本大题共14 小题，每道题5 分，共 70 分请把答案填写在答 题卡相应位置上1设集合a x| x 2 或 x 1 ， b x| 1x b 如a b x| 2 x 4 ，就b 的值为答 案 ：942. 已知 i 是虚数单位，就答案： 23 i i开头s13. 设e1， e2 是平面内两个不共线的向量，a xe1 3e2 x r， b 2e1 e2如 ab，就 x 的值为答案： 64. 如一组数据1， 1， a， 3， 2 的平均数是1，就这组数据的方差为 答案： 25. 盒子中有大小相同的3 只白球， 2 只黑球如从中随机地摸出两只球，就

2、两只球颜色相同的概率是2答案： 56. 如图是一个算法流程图，其输出的n 的值是答案：n0nn 1s20y输出 n终止s s 3nn57. 设函数fx是奇函数，当x0 时， fx axa 0， a 1如flog 14 3，就实数a 的值2为 答案：38. 如图，正方形oabc 的边长为1，点d 在oa 的延长线上，且od 2，点p为 bcd 内含边界 的动点，如存在， r，使得 ，就 op oc od的最大值为3答案： 2解析：如图建系，就 0，1， od 2， 0，设px， y， x， yocopx 2， 1 x， y 0， 1 2，0 2， ，y ， 2x y设 z111 2x y，就y

3、2x z， z 是直线y 2x z 在 y 轴上的截距，由图形可以看出，当该直线经过点b1， 1时，它在y 轴的截距 z33最大，最大为2，的最大值是 22y29在平面直角坐标系xoy 中，如倾斜角为的直线 l 的斜率等于双曲线x 3 1 的离心率，就 sin6 2的值为答案：45解析：双曲线离心率为2， tan 2， sin6 2 sin22tan 41 tan2 510. 如图，在棱长为2 的正四周体pabc 中， m，n 分别为 pa，bc 的中点， 点 d 是线段 pn 上的一点，且 pd 2dn ，就四周体 pmbd 的体积为 答案：29解析：正四周体pabc 的体积 v2vpmbd

4、 9 12622，三棱锥 pmbd33 331的体积为正四周体体积的，6330 311. 设函数fx axsinx2a 0，如在区间值为答案：， 2 上， f x的最大值为2，就实数a 的取3解析： f x3 sinx a xcosx，03当 a0 时， f x 0， x， 2 ， fx在 0， 2 上单调递减，最大值f0 0 合题意， a0，此时f x 0， x， 2 033 3，不适2a22故 fx在， 2 上单调递增，最大值f 2 2 ，解得a 3，适合题意，故a 312. 在 abc 中， bc3ac ，tana 3tanb，就 tanbc 答案： 2 32解析：过点c 作cd ab

5、于 d ，设ad x， bd 3x，不妨设bc 3， ac 1，就 1 x2 3 3x2，得 x1 ， b ， c 262取得最小值时，13. 已知正项等比数列 an 的前 n 项和为 sn如 s9 s3 2s6，就 s6 1s9 的s3值为7答案：33解析：设公比为qq 0，就s31 q3 q6 s3 2s31 q3，得q3 1舍或2 s61 3s3 1 23，当且仅当s3 1时取等号，此时s9 s31 q3 q6 7s3s33314. 已知函数fx xln x， gx x2 a 12x 2a，如不等式fx g x的解集中恰有两个整数，就实数a 的取值范畴是答案：ln2 104ln2 162

6、，3二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 本小题满分14 分已知向量a 2sin ， 1， b 1， sin 4(1) 如角 的终边过点 3 ，4 ，求 ab 的值；(2) 如 ab，求锐角4 的大小解析： 1 由题意 sin3cos2 分 ，55 ab2sin sin 4 2sin sincos cos4442423232 5 52 52 2 6 分42 a b，2sin sin 4 1，即 2sin sincoscossin4 1， sin2 sincos 1，10 分就sincos 1 sin2 cos2，对锐

7、角有cos0， tan 1，锐角 414 分16. 本小题满分14 分如图，在四棱锥pabcd 中，已知底面abcd 是平行四边形，bcd 135，侧面 pab底面 abcd， bap 90， abacpa 2， e， f 分别为 bc， ad 的中点，点 m 在线段 pd 上(1) 求证： ef 平面pac；(2) 如 m 为侧棱 pd 的中点，求证：me 平面pab 证明： 1 在平行四边形abcd 中， ab ac， bcd 135， abc acb 45，ab ac1 分由 e， f 分别为 bc， ad 的中点，得efab ， ef ac2 分侧面pab底面abcd ，且 bap 9

8、0，侧面pab底面abcd ab，pa底面 abcd 4 分又 ef. 底面 abcd， pa ef6 分又 paaca，pa. 平面 pac， ac. 平面 pac， ef平面 pac8 分2 m 为 pd 的中点， f 为 ad 的中点， mf pa，又 mf .平面 pab，pa. 平面 pab， mf平面pab10 分同理，得ef平面 pab又 mf ef f， mf . 平面mef ， ef. 平面mef ，平面 mef 平面 pab12 分又 me . 平面 mef ， me 平面 pab14 分17. 本小题满分14 分x2y2椭圆 c： a2 b2 1a b 0， a， b 是

9、椭圆与x 轴的两个交点，m 为椭圆 c 的上顶点，2设直线ma 的斜率为是k1，直线mb 的斜率为k2， k1k2 3(1) 求椭圆c 的离心率；(2) 已知直线l 经过椭圆的左焦点f3 0p q，交椭圆于、 两点，且满意fp 3qf 求直线l 的方程解： 1 m 0， 6， a a，0， ba， 0，bbb bb22c21就k1 a，k2 a，就k1k2 aa a2 3， a2 3， c3 e a 3 ；4 分x2y22 c3， a2 3c2 9，b2 2c2 6，就椭圆c 的方程为 9 6 1，6 分方法一 设直线l 的方程为： x my 3， px1， y1， qx2 ， y2， 2x2

10、 3y2 18，x3就 my得2m23 y24 3my 12 0，直线l 与椭圆c 相交， 48m2 482m2 3 0，43m12由韦达定理：y1 y2 2m23， y1y2 2m2 3，10 分2又 fp 3qf， y1 3y2，代入上述两式得m 3， m313 分直线 l 的方程为x3y3，即 x3y3 014 分方法二 设px1， y1， q x2 ，y2 ， fp 3qf ， x1 3x2 4， y1 3y2又点 p、q 在椭圆上，2x12 3y12 18， 2x2 23y2 218，10 分由四个式子联立解得x1 353， y1 32，或52x1 3 3， y1 313 分x 23

11、， y2 2x23， y 2 2直线 l 的方程为x3y3，即 x3y3 014 分18. 本小题满分 14 分如图 1，在路边安装路灯，路宽为 od ，灯柱 ob 长为 h 米，灯杆 ab 长为 1 米，且灯杆与灯柱成 120角，路灯采纳圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为 2 ，灯罩轴线 ac 与灯杆 ab 垂直(1) 设灯罩轴线与路面的交点为 c，如 oc 5 3，求灯柱 ob 的长；(2) 设 h 10，如灯罩轴截面的两条母线所在直线一条恰好经过点o，另一条与地面的交点为e如图 2，求 cos 的值；求该路灯照在路面上的宽度 oe 的长aab 120 2b120 2ocdoced图 1图 2解

12、： 1 过点a 作 od 的垂线，垂足为h，过点b 作 ah 的垂线，垂足为f ab 1， oba 120， abac， abf 120 90 30， aco60，abf af absin30 1， bf abcos30 322 ，3又oc 5 3，oh bf 2 ，9 3 hc oc oh 2 ohcdahhc tan acohc tan60 3hc1h393，22解得 h 134分2在 abo 中，由余弦定理得oa2 ab2 ob2 2ab obcos120 111， oa 111在三角形abo 中，由正弦定理得booa，即10 111，sin baosinabosinbaosin120

13、解得 sin bao 5， cos sinbao 5 8分3737 sin 1 cos223sin2 2sincos203，3737 ， sinaeosin aco cae sin60 32 512333 2在 aoe 中，由正弦定理得oe oa，3737237sin2sin aeo oeoasin2111 20340 3 13分sinaeo332 37373答： 略14分19. 本小题满分16 分已知函数f x aexln x(1) 求 a，b 的值；2 求证： fx 1.bex 1x，曲线y fx 在点 1， f1 处的切线方程为y ex 1 2.1bex1 x 1x解： 1 fx aex

14、 lnxx2x0 ，直线y ex 1 2 的斜率为e，且图象过点1， 2，f1 2，f1 e，即 b 2，ae e，2ex 1a 1，解得6 分b 2.xe2(2) 由1 知fx exlnxx 0，从而 fx 1 等价于 xlnx x e.8 分x令gx xlnx，就gx 1ln x011e当 x，时， gx 0；当 x11， 时， gx 0， e0故gx在，e 上单调递减，在， 上单调递增，e从而 gx 在0， 上的最小值为g1112 分e e.令 hx xe x2hx ex 1 x ，就e当x 0,1时， hx 0， hx单调递增；当x 1， 时， hx0， hx单调递减，从而 hx 在0

15、， 上的最大值为h1 1 gx1 e e. hx，且等号不能同时取到，当 x 0 时， g xh x，即 fx116 分20. 本小题满分16 分pan n1， n为奇数已知数列 an 满意 a1 2，前 n 项和为 sn， an 1 an 2n， n为偶数(1) 如数列 bn 满意bn a2 n a2n1 n 1，试求数列 bn 前n 项和tn；(2) 如数列 cn 满意cn a2n，试判定 cn 是否为等比数列，并说明理由；(3) 当 p1 时，问是否存在2nn*，使得 s2n 110 c2n 1，如存在，求出全部的n 的值；如不存在，请说明理由解： 1 据题意得bn a2n a2n 1 4n， bn 成等差数列，故tn 2n2 2n4 分2 当 p1 时，数列 cn 成等比数列；当p1 22时，数列 cn 不为等比数列理由如下：cn1 a2n 2 pa2 n 1 2n p a2n 4n2n pcn 4pn 2n， cn12n1 2p11 cn pcn，故当 p 2时，数列 cn 是首项为1，公比为 2等比数列