[企业管理]第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶2008

1、第六章* 单纯形法的灵敏度分析与对偶v单纯形表的灵敏度分析v线性规划的对偶问题v对偶单纯形法第六章* 单纯形法的灵敏度分析与对偶v如何利用最优单纯形表进行灵敏度分析。单纯形表-求解结果：迭代次数基变量cbx1x2s1s2s3b比值501000000 x1501010-150s2000-21150 x210001001250zj5010050050z=2750000-500-502iiabjjjzc 第1节 单纯形表的灵敏度分析一. 目标函数中变量系数 ck灵敏度分析现要利用单纯形表法来进行ck 的灵敏度分析。由于目标函数变量分为基与非基变量，故讨论时,分两类来讨论。1.在最终的单纯形表里, x

2、k 非非基变量.2.在最终的单纯形表里, xk 基变量基变量.第1节 单纯形表的灵敏度分析1.在最终的单纯形表里, xk 非基变量。 由于约束条件（方程）系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与ck 没有任何关系，所以当ck 变为ck +ck 时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为xk 是非基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即cb 不变，可知zk 也不变，只是ck 变为ck +ck 。这时k= ck zk 变成了ck +ck zk= k+ ck .要使得原来的最优解仍为最优解，只要k+ ck 0 即可，也就是 ck k 即可。kkc第1节 单纯形表的灵敏度分析.在最终的单

3、纯形表里, xk 为基变量。 由于约束条件（方程）系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与ck 没有任何关系，所以当ck 变为ck +ck 时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，但基变量在目标函数的系数cb变了，则zj 也变了， 相应地，也变了。变化规律为：0min0maxkjkjjkkjkjjaacaa一、线性规划问题解的基本概念基及基本解:表解形式的单纯形法v例子:03, 2, 1,250400230000010050max213222112132121sssxxsxsxxsxxsssxxz初始单纯形表迭代次数基变量cbx1x2s1s2s3b比值501000002x1501010

4、-150s2000-21150 x210001001250zj5010050050z=2750000-500-50ijiabjjjzc （）先分析非基变量s1: c3 3 由于是非基变量，故套用公式（1） kkc当c3 -3, 时最优解不变;已知3=-50,c3 （50）=50；c=c+c0, 不会破坏最优解。 （b）aij0，要使原线性规划最优解不变条件：必须保证该非基变量的检验数仍小于0，即cj-zj0第2节 线性规划的对偶问题某工厂在计划安排i,ii两种产品,iii资源限制设备a11300台时设备b21400设备c01250生产i可获得50元,ii可获得100元,如何安排生产,获得max

5、?模型v目标:max z=50 x1+100 x2vs.t. x1+x2=300v 2x1+x2=400v x2=0假设现在有一个公司要租用工厂设备，那么工厂获取利润有两种方法，一是自己生产，二是出租设备资源。自己生产已有模型。那么，如果出租，那么如何构建模型？设备价格为ay1,by2,cy3;则目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t. y1+2y2=50 y1+y2+y3100 y1,y2,y3 =0目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t. y1+2y2=50 y1+y2+y3100 y1,y2,y3 =0v目标:max z=50 x1+100 x

6、2vs.t.v x1+x2=300v 2x1+x2=400v x2=0原问题对偶问题1.求目标函数最大问题中有n个变量,m个约束条件,它的约束条件都是小于等于不等式;其对偶则是m个变量,n个约束条件,并且是大于等于不等式;2.原问题的目标函数系数c是对偶问题中的约束条件b ci=bi3.原问题右边系数b成为对偶问题的目标系数c,bi=ci4. 对偶问题的约束条件系数矩阵a是原问题的atmnmnmmnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcz221122222121112121112211.max0,3,2, 1.min221122222112112211112211

7、mmmnmnnmmmmmmyyyycyayayacyayayacyayayatsybybybg0maxxbaxcxz0minycyaybg原问题（max,)对偶问题(min,)技术系数矩阵a技术系数矩阵at价值系数c右端项b右端项b价值系数c第i行约束条件为型对偶变量yi 0第i行约束条件为型对偶变量yi 0第i行约束条件为=型对偶变量yi正负不限决策量xj 0第j行约束条件为 型决策量xj 0第j行约束条件为型决策量xj正负不限第j行约束条件为=型转化例子：max f=3x1+4x2+6x3+4x4 x1+4x2+2x3-3x435 3x1+x2+5x3+6x445 x1,x2,x3,x40

8、 min g(y)= 35y1+45y2y1+3y2 34y1+y2 42y1+5y2 6-3y1+6y2 4y1,y2 0目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t. y1+2y250 y1+y2+y3100 y1,y2,y3 0v目标:vmax z=50 x1+100 x2vs.t.v x1+x2300v 2x1+x2400v x2250v v x1,x20原问题对偶问题vmax -f=-300y1-400y2-250y3-ma1v y1+2y2-s1+a1=50v y1+y2+y3-s2=100v y1,y2,y3,s1,s2,a10 对偶单纯形法求解：初始单纯形表迭代

9、次数基变量cby1y2y3s1s2a1b比值-300-400-25000-m0a1-m120-10150y3-2501110-10100zj-m-250-2m-250-250m250-m-50m-2500cj-zjm-502m-1500-m-25001100250初始单纯形表迭代次数基变量cby1y2y3s1s2a1b比值-300-400-25000-m0y2-4001/210-1/201/225y3-2501/2011/2-1-1/275zj-325-400-25075250-75-28750cj-zj2500-75-250-m+752/1752/125(1/2)初始单纯形表迭代次数基变量c

10、by1y2y3s1s2a1b比值-300-400-25000-m0y1-300120-10150y3-2500-111-1-150zj-300-350-25050250-50-27500cj-zj0-500-50-250-m+502/1752/125(1/2)最优解:y1=50,y2=0,y3=50,s1=0,s2=0,a1=0,-f的最大值为-27500,即目标f的最小值为:27500a设备租金为50元,b设备租金为0元,c设备租金为50元;v二.任意形式的对偶问题 max z=3x1+4x2+6x3 s.t. 2x1+3x2+6x3440 6x1-4x2-x3 100 5x1-3x2+x3

11、 = 200 x1,x2,x3 0v二.任意形式的对偶问题 max z=3x1+4x2+6x3 s.t. 2x1+3x2+6x3440 -6x1+4x2+x3 -100 5x1-3x2+x3 200 5x1-3x2+x3 200 x1,x2,x3 0 5x1-3x2+x3 = 200max z=3x1+4x2+6x3 s.t. 2x1+3x2+6x3440 -6x1+4x2+x3 -100 5x1-3x2+x3 200 -5x1+3x2-x3 -200 x1,x2,x3 0s.t. 2y1-6y2 +5y3-5y4 3 3y1+4y2 +3y3-3y4 4 6y1+y2+y3-y4 6 y1,

12、y2,y3,y4 0min f=440y1-100y2+200y3-200y4v二.任意形式的对偶问题v对偶问题v原问题的对偶问题为 min f=440y1-100y2+200y3-200y4 s.t. 2y1-6y2 +5y3-5y4 3 3y1+4y2 +3y3-3y4 4 6y1+y2+y3-y4 6 y1,y2,y3,y4 0v原问题的对偶问题为 min f=440y1-100y2+200(y3-y4) s.t. 2y1-6y2 +5(y3-y4) 3 3y1+4y2 +3(y3-y4) 4 6y1+y2 + (y3-y4) 6 y1,y2,y3,y4 0v原问题的对偶问题为 min

13、f=440y1-100y2+200s3 s.t. 2y1-6y2 +5s3 3 3y1+4y2 +3s3 4 6y1+y2 + s3 6 y1,y2 0,s3无非负限制v练习：vmax f(x)=4x1+5x2vs.t. 3x1+2x220 4x1-3x2 10 x1+x2 = 5 x20, x1正负不限v练习转换：vmax f(x)=4x11-4x12+5x2vs.t. 3x11-3x12+2x220 4x11-4x12-3x2 10 x11-x12+x2 = 5 x11,x12,x20v练习转换：vmax f(x)=4x11-4x12+5x2vs.t. 3x11-3x12+2x220 4x

14、11-4x12-3x2 10 x11-x12+x2 5 x11-x12+x2 5 x11,x12,x20v练习转换：vmax f(x)=4x11-4x12+5x2vs.t. 3x11-3x12+2x220 -(4x11-4x12-3x2) -10 -(x11-x12+x2) -5 x11-x12+x2 5 x11,x12,x20v练习转换：vmax f(x)=4x11-4x12+5x2vs.t. 3x11-3x12+2x2 20 -4x11+4x12+3x2 -10 -x11+x12-x2 -5 x11-x12+x2 5 x11,x12,x20练习转换：min f(y)=20y1-10y2-5

15、y3+5y4s.t. 3y1-4y2-y3+y4 =4 -3y1+4y2+y3-y4 =-4 2y1+3y2-y3+y4 =5 y1,y2,y3,y4=0练习转换：min f(y)=20y1-10y2-5(y3-y4)s.t. 3y1-4y2 - (y3-y4) = 4 -3y1+4y2+(y3-y4) =-4 2y1+3y2- (y3-y4) =5 y1,y2,y3,y4=0练习转换：min f(y)=20y1-10y2-5y3s.t. 3y1-4y2 - y3 = 4 -3y1+4y2+y3 =-4 2y1+3y2- y3 =5 y1,y2 =0，y3无限制练习转换：min f(y)=20

16、y1-10y2-5y3s.t. 3y1-4y2 - y3 = 4 2y1+3y2- y3 =5 y1,y2 =0，y3无限制练习转换：min f(y)=20y1-10y2-5y3+5y4s.t. 3y1-4y2-y3+y4 =4 -3y1+4y2+y3-y4 =-4 2y1+3y2-y3+y4 =5 y1,y2,y3,y4=0v练习答案：vmin h(y)=20y1+10y2+5y3vs.t. 3y1+4y2+y3 =4 2y1-3y2+y3 5 y10, y20, y3不限原问题（max,)对偶问题(min,)技术系数矩阵a技术系数矩阵at价值系数c右端项b右端项b价值系数c第i行约束条件为

17、型对偶变量yi 0第i行约束条件为型对偶变量yi 0第i行约束条件为=型对偶变量yi正负不限决策量xj 0第j行约束条件为 型决策量xj 0第j行约束条件为型决策量xj正负不限第j行约束条件为=型第3节 对偶单纯形法v对偶单纯法和单纯形法一样都是求解原线性规划问题的一种方法.v单纯形法是在保持原问题的所有约束条件的bj都大于0的情况下,通过迭代,使得所有检验数都小于等于0,最后求得最优解;v而对偶单纯形法则是在保持原问题的所有检验数都小于等于0的情况下,通过迭代,使得所有约束条件的常数都大于等于0,最后求得最优解。第3节 对偶单纯形法v例，用对偶单纯形法求解如下线性规划问题：vmin f=x1

18、+5x2+3x4vs.t. v x1+2x2-x3+x46v -2x1-x2+4x3+x44v x1,x2,x3,x4 =0第3节 对偶单纯形法v例，用对偶单纯形法求解如下线性规划问题：v将上述线性规划问题变换为如下适合对偶单纯形法的形式：v max z=-f=-x1-5x2-3x4v s.t. v -x1-2x2+x3-x4+x5= -6v 2x1+x2-4x3-x4+x6= -4v x1,x2,x3,x4,x5,x6 =0v x5,x6为剩余变量初始单纯形表迭代次数基变量cbx1x2x3x4x5x6b比值-1-50-3000 x50-1-21-110-6x6021-4-101-4zj0000000cj-zj-1-50-3001100250x=(0,0,0,0,-6,-4)是基本解，但不是基本可行解，不可行。（1）确定出基变量：minbi|bi0=min-6,-4=-6=b1,所以第l=1行为主行，x5出基变量。（2）入基变量:111111113,25,11min0minazcaazcjjjjk所以第k=1列为主列，第1列的变量x1为入基变量。迭代