生物统计（技术）：二项分布possion分布

1、二项分布二项分布/possion分布分布（一）成败型实验（一）成败型实验（BernoulliBernoulli实验）实验） 在医学卫生领域的许多实验或观察中，人们感兴在医学卫生领域的许多实验或观察中，人们感兴趣的是某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实趣的是某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实验，关心的是白鼠是否死亡；某种新疗法临床实验观验，关心的是白鼠是否死亡；某种新疗法临床实验观察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性等等。将我们关心的事件将我们关心的事件A A出现称为成功，不出现称为失出现称为成功，不出现称为失败，这类试验就称为成

2、败，这类试验就称为成- -败型实验。指定性资料中的二败型实验。指定性资料中的二项分类实验。项分类实验。 二项分布二项分布 一、二项分布的概念与特征一、二项分布的概念与特征 成成- -败型败型（BernoulliBernoulli）实验序列：实验序列：满足以下三个条件的满足以下三个条件的n n次实验构成的序列称为成次实验构成的序列称为成- -败型实败型实验序列。验序列。 1 1）每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一（）每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一（A A或或非非A A）。）。 2) 2) 相同的实验条件下，每次实验中事件相同的实验条件下，每次实验中事件A A的发生具有的发生具有相同的

3、概率相同的概率。（非。（非A A的概率为的概率为1-1-）。）。实际工作中要求实际工作中要求是从大量观察中获得的较稳定的数值。是从大量观察中获得的较稳定的数值。 3) 3) 各次实验独立。各次的实验结果互不影响。各次实验独立。各次的实验结果互不影响。（二）二项分布的概率函数（二）二项分布的概率函数 二项分布是指在只能产生两种可能结果（如二项分布是指在只能产生两种可能结果（如“阳性阳性”或或“阴性阴性”）之一的）之一的n次独立重复实验中，当次独立重复实验中，当每次试验的每次试验的“阳性阳性”概率保持不变时，出现概率保持不变时，出现“阳性阳性”的的次数次数X=0,1,2,X=0,1,2,n,n的一

4、种概率分布。的一种概率分布。 若从阳性率为若从阳性率为的总体中随机抽取大小为的总体中随机抽取大小为n的样本，的样本，则出现则出现“阳性阳性”数为数为X X的概率分布即呈现二项分布，记的概率分布即呈现二项分布，记作作B(X;B(X;n,)或或B(B(n,)。举例举例 设实验白鼠共设实验白鼠共3 3只，要求它们同种属、同只，要求它们同种属、同性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率，性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率，即事件即事件“”为为A A，相应死亡概率，相应死亡概率为为。记事件。记事件“白鼠用药后不死亡白鼠用药后不死亡”为为 ，相，相应不死亡概率为应不死亡概率为1-1-。设实验后。设实验后

5、3 3只白鼠中死亡只白鼠中死亡的白鼠数为的白鼠数为X X，则，则X X的可能取值为的可能取值为0 0，1 1，2 2和和3 3，则死亡鼠数为则死亡鼠数为X X的概率分布即表现为二项的概率分布即表现为二项分分布。布。A独立事件的独立事件的乘法定理乘法定理互不相容事件互不相容事件的加法定理的加法定理 构成成构成成- -败型实验序列的败型实验序列的n次实验中，事件次实验中，事件A A出现出现 的次数的次数X X的概率分布为：的概率分布为： XnXXnCXP1 其中其中X=0X=0，1 1，2 2，n。 n n，是二项分布的两个参数是二项分布的两个参数 。 !xnXnCXn对于任何二项分布，总有对于任

6、何二项分布，总有 10nxXPP40 例：3.1 应用条件：每一种结果在每次试验中都有恒定的概率，试验之间应是独立的。 N=10,x=37)1 (3)(mmmfffffffPnxCxpxnxxn, 2 , 1 , 0,)1 ()( nxnnnxnxxnnnnnnxpnpxppppCCCC0011100)()()()2() 1 ()0()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (nxCxpxnxxn, 2 , 1 , 0,)1 ()( 1)1 (因为： 所以： 1)1 ()(0nxnxp009766. 02)21()21()!110( ! 0!10)0(10100p0097656. 0)2(10)2

7、1)(21()!110( ! 1!10) 1 (109p0439453. 0)2(45)21()21()!110( ! 2!10)2(1082p1171876. 0)2(1207)21()21()!110( ! 3!10)3(103p1718751. 0)2(176)2(120)2(45)2(102)3()2() 1 ()0()3(1010101010PPPPF抽到3只和3只以下雄性动物的概率：杨辉三角 n 系数 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1543223455)1 ()1 (5)1 (10)1 (10)1 (5)

8、1 (例例4-2 4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60%60%，现以该疗法治疗现以该疗法治疗3 3例，其中例，其中2 2例有效的概率是多大？例有效的概率是多大？ 分析：治疗结果为有效和无效两类，每个患者是否分析：治疗结果为有效和无效两类，每个患者是否有效不受其他病例的影响，有效概率均为有效不受其他病例的影响，有效概率均为0.60.6，符合二，符合二项分布的条件。项分布的条件。 XnXXnCXP1 432. 06 . 016 . 0!23! 2! 31C2P23223223 2 2例有效的概率是例有效的概率是0.4320.432一例以上有效的概

9、率为：一例以上有效的概率为： 936. 0216. 0432. 0288. 06 . 016 . 0!33! 3! 36 . 016 . 0!23! 2! 36 . 0161. 0!13! 1! 3321133323213PPPXP或 936. 0064. 01011PXP n，是二项分布的两个参数，所以二项分布的形状是二项分布的两个参数，所以二项分布的形状取决于取决于n，。可以看出，当。可以看出，当 =0.5时分布对称，近似时分布对称，近似对称分布。当对称分布。当 0.5时，分布呈偏态，特别是时，分布呈偏态，特别是n较小时，较小时， 偏离偏离0.5越远，分布的对称性越差，但只要不接近越远，分

10、布的对称性越差，但只要不接近1和和0时，随着时，随着n 的增大，分布逐渐逼近正态。因此，的增大，分布逐渐逼近正态。因此， 或或1- 不太小，而不太小，而n足够大，我们常用正态近似的原理来足够大，我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。处理二项分布的问题。 对于任何一个二项分布B(X;n,)，如果每次试验出现“阳性”结果的概率均为 ，则在n次独立重复实验中，出现阳性次数X的总体均数为方差为标准差为n12n1n例例 实验白鼠实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的只，白鼠用药后死亡的死亡概率死亡概率=0.6，则，则3只白鼠中死亡鼠数只白鼠中死亡鼠数X的总体均数的总体均数 =30.6=1.8（只）（只）方

11、差为方差为 标准差为标准差为n（只）72. 04 . 06 . 0312n只）(85. 04 . 06 . 031n 如果以率表示，将阳性结果的频率记如果以率表示，将阳性结果的频率记为为 ， 则则P的总体均数的总体均数 总体方差为总体方差为 总体标准差为总体标准差为 式中式中 是频率是频率p的标准误的标准误，反映阳性频率的反映阳性频率的抽样误差的大小。抽样误差的大小。nXp pnp12np1p例例4-4 如果某地钩虫感染率为如果某地钩虫感染率为6.7%,随机观察当地随机观察当地150人人,样本钩虫感染率为样本钩虫感染率为p,求求p的抽样误差的抽样误差 。p02. 0150067. 01067.

12、 0067. 0,150pn （一）一） 概率估计概率估计例例4-5 如果某地钩虫感染率为如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当，随机观察当地地150人，其中有人，其中有10人感染钩虫的概率有多大人感染钩虫的概率有多大? XnXXnCXP1 0055. 013. 0113. 010101501010150CP (二二)单侧累计概率计算单侧累计概率计算 二项分布出现阳性次数二项分布出现阳性次数至少至少为为K次的概率为次的概率为阳性次数阳性次数至多至多为为K次的概率为次的概率为 XnXnkxnkxXnXnXPKXP1! XnXkxkxXnXnXPKXP1!00 例例4-6 如果某地钩虫感染率为如果

13、某地钩虫感染率为13%，随机观察当，随机观察当地地150人，其中人，其中至多至多有有2人感染钩虫的概率有多大人感染钩虫的概率有多大?至少至少有有2人感染钩虫的概率有多大人感染钩虫的概率有多大?至少至少有有20人感染钩虫的人感染钩虫的概率有多大概率有多大?至多有至多有2名感染的概率为名感染的概率为: XnXxxXnXnXPXP1!22020 7148149115001031. 213. 01132. 0!148! 2!15013. 0113. 0!149! 1!15013. 0113. 0!150! 0!150210PPP至少有至少有2名感染的概率为名感染的概率为: 110112102PPXPX

14、PXPnx至少有至少有20名感染的概率为名感染的概率为: 4879. 019.310112019020PPPPXPXPXPnx 一、Poisson分布的概念分布的概念 PoissonPoisson分布也是一种离散型分布，用以描述分布也是一种离散型分布，用以描述罕见罕见事件事件发生次数的概率分布。发生次数的概率分布。PoissonPoisson分布也可用于研究分布也可用于研究单位时间内单位时间内( (或单位空间、容积内或单位空间、容积内) )某罕见事件发生次某罕见事件发生次数的分布，如分析在单位面积或容积内细菌数的分布，数的分布，如分析在单位面积或容积内细菌数的分布，在单位空间中某种昆虫或野生动

15、物数的分布，粉尘在在单位空间中某种昆虫或野生动物数的分布，粉尘在观察容积内的分布，放射性物质在单位时间内放射出观察容积内的分布，放射性物质在单位时间内放射出质点数的分布等。质点数的分布等。PoissonPoisson分布一般记作分布一般记作 。 P或或 Poisson分布可以看作是发生的概率分布可以看作是发生的概率 很小，而观很小，而观察例数很大时的二项分布。除要符合二项分布的三个察例数很大时的二项分布。除要符合二项分布的三个基本条件外，基本条件外，Poisson分布还要求分布还要求或或1-接近于接近于0和和1。有些情况有些情况和和n都难以确定，只能以观察单位都难以确定，只能以观察单位(时间、

16、时间、空间、容积、面积空间、容积、面积)内某种稀有事件的发生数内某种稀有事件的发生数X等来表等来表示，如每毫升水中大肠杆菌数，每个观察单位中粉尘示，如每毫升水中大肠杆菌数，每个观察单位中粉尘的记数，单位时间内放射性质点数等，只要细菌、粉的记数，单位时间内放射性质点数等，只要细菌、粉尘、放射性脉冲在观察时间内满足以上条件，就可以尘、放射性脉冲在观察时间内满足以上条件，就可以近似看为近似看为Poisson分布。分布。 Poisson分布作为二项分布的一种极限情况分布作为二项分布的一种极限情况 二、二、PoissonPoisson分布的特征分布的特征1.Poisson1.Poisson分布的概率函数

17、为分布的概率函数为: :式中式中 为为PoissonPoisson分布的总体均数，分布的总体均数，X X为观为观察单位时间内某稀有事件的发生次数；察单位时间内某稀有事件的发生次数；e e为自然为自然对数的底，为常数，约等于对数的底，为常数，约等于2.718282.71828。!)(XeXPXn 如某地如某地2020年间共出生短肢畸形儿年间共出生短肢畸形儿1010名，平均每年名，平均每年0.50.5名。就可用名。就可用 代入代入PoissonPoisson分布的概率函数来估计分布的概率函数来估计该地每年出生此类短肢畸形儿的人数为该地每年出生此类短肢畸形儿的人数为0 0，1 1，2 2的概的概率率

18、P(X)P(X)。!)(XeXPX607. 0! 05 . 0)0(05 . 0eP303. 0! 15 . 0) 1 (15 . 0eP076. 0! 25 . 0)2(25 . 0eP5 . 02.Poisson2.Poisson分布的特性：分布的特性：（1 1）PoissonPoisson分布的的总体分布的的总体均数均数与总体与总体方差方差相等，均相等，均为为 。（2）PoissonPoisson分布的观察结果有分布的观察结果有可加性可加性。即对于服从。即对于服从PoissonPoisson分布的分布的m m个互相独立的随机变量个互相独立的随机变量X X1 1,X,X2 2X XM M，

19、它，它们之和也服从们之和也服从PoissonPoisson分布，其分布，其均数为这均数为这m m个随机变量个随机变量的均数之和。的均数之和。 从总体均数为从总体均数为 的服从的服从PoissonPoisson分布总体中分布总体中随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数为为X X1 1，再独立地从总体均数为，再独立地从总体均数为 的的PoissonPoisson分分布总体中随机抽出另一份样本，其中稀有事件布总体中随机抽出另一份样本，其中稀有事件的发生次数为的发生次数为X X2 2，则他们的合计发生数，则他们的合计发生数T=XT=X1 1+X+X2 2也服从

20、也服从PoissonPoisson分布，总体均数为分布，总体均数为 。1221 Poisson Poisson分布的这些性质还可以推广到多个分布的这些性质还可以推广到多个PoissonPoisson分布的情形。例如，从同一水源独立地取分布的情形。例如，从同一水源独立地取水样水样5 5次，进行细菌培养，每次水样中的菌落数分次，进行细菌培养，每次水样中的菌落数分别为别为 ，均服从，均服从PoissonPoisson分布，分别记分布，分别记 为为 ，把，把5 5份水样混合，其合计菌落份水样混合，其合计菌落数数 也服从也服从PoissonPoisson分布，记为分布，记为 ，其均数为其均数为 。 医学

21、研究中常利用医学研究中常利用PoissonPoisson分布的可加性，将分布的可加性，将小的观察单位合并以增大发生次数小的观察单位合并以增大发生次数X X，以便用正态，以便用正态近似法进行统计推断。近似法进行统计推断。5,.2 , 1, iXi 5,.,2 , 1i ,i iX 521. 521. 二、二、 PoissonPoisson分布分布的应用的应用（一）（一） 概率估计概率估计例例4-7 如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为为80/00，那么该地，那么该地120名新生儿中有名新生儿中有4人患先天性心人患先天性心脏病的概率有多大脏病的概率有多大?96

22、. 0008. 0120n!)(XeXPX014. 0! 496. 0)4(496. 0eP (二二)单侧累计概率计算单侧累计概率计算 PoissonPoisson分布出现阳性次数分布出现阳性次数至多至多为为K次的概率为次的概率为阳性次数阳性次数至少至少为为K次的概率为次的概率为 !00XeXPKXPXkxkx11kXPKXP 例例4-8 如果某地新生儿先天性心脏病的发病概如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为率为80/00，那么该地，那么该地120名新生儿中名新生儿中至多至多有有4人患先人患先天性心脏病的概率有多大天性心脏病的概率有多大?至少至少有有5人患先天性心脏人患先天性心脏病的概率有多

23、大病的概率有多大? 977. 043210!96. 044096. 040PPPPPXeXPXPXxx003. 0997. 01415XPXP至多有至多有4人患先天性心脏病的概率：人患先天性心脏病的概率：至少有至少有5人患先天性心脏病的概率人患先天性心脏病的概率 例例4-9 实验显示某实验显示某100cm2培养皿平均菌落数为培养皿平均菌落数为6个，个，试估计该培养皿菌落数小于试估计该培养皿菌落数小于3个的概率，大于个的概率，大于1个的个的概率。概率。该培养皿菌落数小于该培养皿菌落数小于3个的概率个的概率 062. 0210!6320620PPPXeXPXPXxx该培养皿菌落数大于该培养皿菌落数

24、大于1个的概率个的概率 983. 01011PPXP三、二项分布、三、二项分布、PoissonPoisson分布的的正态近似分布的的正态近似1.1.二项分布的正态近似二项分布的正态近似 二项分布的形状取决于二项分布的形状取决于n,n,，当，当=0.5=0.5时分布对时分布对称，当称，当0.50.5时，分布呈偏态，特别是时，分布呈偏态，特别是n n较小时，较小时， 偏离偏离0.50.5越远，分布的对称性越差，随着越远，分布的对称性越差，随着n n的增大，的增大，分布逐渐趋向于对称。理论上可以证明，不管分布逐渐趋向于对称。理论上可以证明，不管如如何，当何，当n n相当大时，只要相当大时，只要不接近不接近1 1和和0 0时，时，特别是特别是当当n n或或n n（1- 1- ）都大于）都大于5 5时时，二项分布，二项分布B(X;n,)B(X;n,)近似正态分布近似正态分布N(nN(n,n,n(1-(1-)。二项分布累积概率的正态近似公式为：二项分布累积概率的正态近似公式为：15 . 00nnkqpCKXPxnkxxXn15 . 01nnkqpCKXPxnnkxxXn15 . 015 . 01221nnknnkKXkP为标准正态分布的分布函数