分式复习讲义

1、分式复习讲义、基本概念1. 形如A（A、B是整式，且B中含有字母，BM 0）的式子，叫做 分B式.其中 A叫做分式的分子叫做分式的分母.整式2. 整式和分式统称有理式，即有理式八卡分式二、分式的基本性质1. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分 式的值不变.用式子表示即是：（其中M是不等于零的整式）A A M A A M B B M B B M注意：在分式中，分母的值不能是零。如果分母的值是零，则分 式没有意义。2. 符号规则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。用式子表示即是：-a a ；-a aa-b bb - bb三、运算法

2、则1.乘法法则：a c ac b d bd2.除法法则：a c a dadb d bebc3.加减法则：（1）a ba b(2)a c ad bc ad bcc ccb d bd bdbd4.乘方法则：nnaa /n(n为正整数，b0）b b四、例题选讲例1.下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式?(1)-;X（2） | ；（ 3）诜；（4）字解：属于整式的有:练习1：（2）、（4）;属于分式的有：（1）、（3）.1.下列各式中，13 弓尹，3(a b)，-，3x 22 y 3X242 ；是整式的有是分式的有2.下列各式中，哪些是整式?哪些是分式?2a2b512x2a，F列分式有意义?（2）.

3、2x 3例2.当x取什么值时，（1）；X1分析：要使分式有意义，必须且只须分母不等于零解：（1）分母x1工0,即x工1.所以，当x工1时，分式有意x1 义.（2）分母2x 3工0,即x工-?.所以，当x工-?时，分式222x 3有意义.2 -例3. （1）当x为何值时，分式冷无意义？x x 2（2）当x为何值时，分式 子1的值为零？x 2x 3分析：判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论，？而不是(1)3x 22x 1，(3)讨论化简后的分式；在分式 中，若0，则分式无意义，B若BM0,则分式有意义；的值为零的条件是0BB且BM0,两者缺一不可。2解：(1 )要使分式 邛 无意义，则需Xx2

4、2x 3练习2:1. 若使分式 * 的值为,则x的取值为. 如果分式 山的值为零，那么x=.3x 9 x- 2=0.即：(1)=0x x 22 /所以当2或一1时，分式再-无意义;x x 2要使分式 好的值为零则需1=0, 且 x2+2x3工0,即：(1)工0 解得一1 .所以当一1时，分式X 1例4.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.-6b x2m7m3x.5a3yn6n4y分析：每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，同时 改变两个符号，分式的值不变.解:6b 6b .2m 2m .5a 5a3y 3y7m 7m3x3x6n 6n 4y 4y1 1.a b例5.不

5、改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数a b23都化为整数.解:124a3b（扁?b)126a4b1 1.a b341 17a b2 3例6.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：(1)2 a a2a3 3a 11 x x21 x2 x3(3)1 a3a2 a 1分析：由于要求分式的分子、分母的最高次项的系数是正数，而 对分式本身的符号未做规定，所以根据分式的符号法则， 使分式中分子、分母与分式本身改变两处符号即可。解：（1）原式a2a 2(a2a2) a2a2a33a 1 (a 1) a 1 -22a a 1 a a 1 a a 1说明：1.分子与分母是多项式时

6、，若第一项的符号不能作为分子或分母的符号，应将其中的每一项变号。2. 两个整式相除，所得的分式，其符号法则与有理数除 法的符号法则相类似，也同样遵循“同号得正，异号 得负”的原则。练习3：1 .不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.3a 1(a33a1) a33a12x x 1 2.x x 12 2(2)原式：1 F ： （3）原式x x 1 x x 13(1)弄(2)3a17b2(3)(a b)2m2.不改变分式的值，使分子第一项系数为正， 带“-”号.并且分式本身不(2)x 2y3x y(3)22x y 12xy 16y-8xy2 2x2 y22x2y22 2 2:y12x

7、y 16y例7.约分：(1)8y2 -8xy2 2x(2)(x23x)(x2 3x 2)2(x x2)(xx 6)解：（1）原式2y(x2 6x 8)2y2(4 4x x2)(x 4)(xy(2 x)22)(x 4)(2 x)y(2 x)2x)（2）原式x(x 3)( x 1)(x 2)x(x1)(x3)(x 2)例8.通分1b(1) a212 x xy解：（1）1a2b与ab2的最简公分母为2, 2a b(2)1 b _ b222 abba b1_ab2_ 1_ ab2aa2b的最简公分母为y()()，1 (x y)(x y)(x y)1 (x y) x y (x y)(x y)(3)字2与

8、J的最简公分母为x y x xyx()()，即 x321=1 x2 2x y x(x y)(x y)x32x xy1_=1 (x y)x2 xy x(x y)(x y)x y32x xy练习4:1.化简下列分式:2(1) mm 1xy ；2 ； x(3)X2 2x 11x2约分：(1)12a2b3c3b 2c2(2)2a-2 a12a 1练习3.通分：(1)例9 .计算:2 172，23a 6ab(2)2x33 2x2x 54x292 ,2ab.-3aba2 2ab b2a2 ab1b2 b a4解：原式亍原式(aa3b)5(-b3)b)(a2 2 (a b)(a ab b )-a2 2aba

9、2 ab(a b)2b21(a_ 1 b) (a b)2b25: 1.计算下列各题:(2)2a xy.2 2b z2a yz ；b x(3)2x y2x8xy引5x2.计算下列各题:d)x2 X2 X(2)6yy 2(3 y)(4)2aa2 2a 1a21a2 4a 45x x2 x2165x 4x例10.计算：(1)区山xyy)2xy24x216242 2解：(1)原式(x y) (X y) (x y X y)(x y X y) 2x?2y xyxyxy原式二宀24_3( x 4)(x 4)(x4) (x 4)( x 4)24(x 4)(x 4)3x 1224(x 4)(x 4)3x 12_

10、3(x 4)(x 4)(x4) (x 4)( x 4)说明：第(2)题中两个加项的分母不同，要先通分，化为 同分母分式。为此，先找出它们的最简公分母。注意到x2 16 = (x 4)(x 4),所以最简公分母是(x 4)(x 4)。练习6:计算下列各题:(1)x242x 1x24 x 2x(x 2)(x 2) x(x 2)(x 2) x(x 2)(x 2)例11.计算下列各题:(1)a2 a 6a 3(a29)a2 6a 92a a242x22x x2分析：(1)题只含分式的乘除运算，应先把除法化为乘法，再约 分；(2)题只含分式的加减运算，应先通分.当分式的分 子、分母是多项式时，必须先将多

11、项式分解因式.注意到 x2 2x x(x 2) , 2x x2 x(x 2),所以最简公分母是 x(x 2)(x2)2解：(1)原式=(a 3)(a习？1?上可一a 3 (a 3)(a 3) a(a 2)= 1a(2)原式 & 4)(x 2) x(x 2)2(x 2)x2 2x 8 (x22x) 2x 4x(x 2)(x2)2x 4x(x 2)(x 2)2(x 2) x(x 2)(x2)2x例12.计算：（1）4x y4y2x-22x y(2)(12a22a26a 5a 12a解：（1）原式=2 2 2(x y )(x y12 2x y2x2xy(x y)(x y)2x y2 xxy(y x)

12、y)(x y)(xxyx y(2)原式=空1 a(1 a)21 a2a(11a)2aa2126a 5a 12a2(112a) a2aa2(2aa21 1)1)(3a练习7:计算下列各题:(1)(二3a 11)a21(a24x(1(2a 1)(3a 1)12a 112a(2)x2 2xx2 11）(x4xy )x y例13.解答下列各题：（1）先化简，再求值：（丄-X 2）,其中J（3 2 ；x 2 x 2（2）若 2 1=3,求 * 丄 1 x y） 4 的值.x yx x y xx分析：（1）题求值应先分别把条件及所求代数式化简，？再将化简后的条件代入化简后的式子中求值.（2）题运用分配规律

13、及整体代入的思想可使运算简便.2解: (1)原式(x 3)(丄)(x 3) (X 9)x 2 x 21 x 2 x 2(x 3) x 21_x 2 (x 3)( x 3) x 33 V 2 3- -(3 2 - 3)2 3 2 3 2 3 -3二当.（3 2:3）2 时，原式111 ? . 32、.3-3 3 22*3? *3(2花=32y 3.练习8:1.先化简，2.先化简，3.先化简，原式（yx再求值:再求值:再求值:4.先化简，再求值:y)? x3x2 xxyxyxxy2y x 2y 2y x 3xy2)?-4其中1x(七x 23 x (xx 2a 1a 1竺，其中2010x 22 )其

14、中 x = 2，.2x 221,其中a 1 .2a 2a 1 a5. 先化简，再求值：丄J，其中x、3 1x 1 X2 1 x2 2x 16. 先化简，再求值：(丄丄)于 2其中X .3 , y 2y x x 2xy y探究实践【问题1】西瓜以千克计价，购买西瓜时，？希望可食用的部分占整个西瓜的比例越大越好.如果一批西瓜的皮厚都是d试问买大西瓜合算还是买小西瓜合算？( ？把西瓜都看作球形，并设西瓜瓤内物质的密度分布是均匀的，3)解：设西瓜的半径为 R,贝何以食用部分的半径为，可以食用部分与整个西瓜的体积的比为：43-(R d)3333 ) (Rd) Rdd、3忌R3厂(1孑-3因为d为常数，可

15、见R越大，d越小，1 -越大，从而可以食用RR部分占整个西瓜的比越大，所以说购买大西瓜更合算.【问题2】阅读并计算下列各式：1 1 1 1 1 1 111112 ； +=( ) ( ) 1 1 21221 22 31223331 1 1+ + =1 22 3 3 4猜想：111 山 1n( n 1)12n (2 n 2)；评析：把一分式“分解”为两个分式的代数和的形式能使得运算简捷，？体现了式的恒等变换的重要功能.五.分式方程及其解法1 .分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫分式方程2. 分式方程的解法(1)去分母法的步骤：去分母法：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；解

16、这个整式方程；把整式方程的根代入最简公分母中检验，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根， 使最简公分母为零的根是增根， 必 须舍去.在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母进行运算.(2) 换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数， 求出新的未知数后再求出原来的未知数.例1:解方程：乙丄=-2x 33 x解：去分母，方程两边同乘以 x-3,得：2- 1-2 (x-3)解这个方程，得3.检验：把3代入公分母(x-3)中，公分母x-3的值为零，即3时，方程中的分式无意义，因此 3不是原方程的根二原方程无解.例2:解方程：(1)丄二纟;(2)2.x 1 x2

17、x 1 1 2x解：(1)去分母，方程两边同乘以 X(X- 1 ),得：34 (x-1)解这个方程，得4检验：把4代入x (X- 1) =4X 3=12工0,二原方程的根为4.(2)去分母，方程两边同乘以(2x- 1),得10-5=2 (2x- 1)解这个方程，得74检验：把7代入原方程分母2x 仁2X 7 仁？工0.442二原方程的根为-.42例3：若关于x的方程 口 = 壬 有增根，求m的值.x 3 3x 9分析：首先增根是分式方程转化为整式方程时所得到的整式方程的根，其次增根又是使最简公分母为零的数。关于x2的方程 乞=有增根，则此增根必使 3x-9=0,即x 3 3x 9必有3 (x-

18、3) =0,所以增根必定为3.解：去分母，方程两边同乘以 3 (x 3),得：23 (x- 1).根据题意，3是上面整式方程的根，23 (3- 1),二 62例4:解方程2(x1)x 1 x 12解：设；则孚 丄.于是原方程变形为：2y - 7x 1x 1 yy方程两边都乘以y，约去分母整理得：2y2-76=0解这个方程得：y1=2； y2=-22当y1=2时，-_ =2，去分母并整理得：x2-2仁0x 1解得：x 122当y2=i时，H=i，去分母并整理得：x2-31=0解得：x3174检验：把x 12，x宁分别代入原方程的分母中，因为各个分母都不等于零，所以它们都是原方程的根原方程的根是：

19、X1 1 2 ； x2 1 .2 ；3 17h ； x43、174例5：解方程(=)(=) 6 0解：设亠；则原方程变形为：y2 5y 6 0x 1解这个方程得：解这个方程得：yi2 ； y23当yi2时，丄2,去分母并整理得：32 解方程得：x -x 13当 沖 时，3，去分母并整理得：43 解方程得：x -x 14检验：把x ?； x 9分别代入原方程的分母中，因为各个分34母都不等于零，所以它们都是原方程的根 原方程的根是：2 3X1- ； X2.3 4基础练习1 .用换兀法解分式方程严X 1 3时，设严y，原方程变形为x 13xx 1( )(A) y2- 3y + 1 = 0 ( B)

20、 y2 + 3y + 1 = 0 (C) y2+ 3y - 1 = 0 (D)2y y + 3= 02. 用换元法解方程 x2 + 8x + . x2 8x 11 = 23,若设 y= . x2 8x 11，则 原方程可化为()2 2 2 2(A) y + y + 12= 0 ( B) y + y 23= 0 (C) y + y 12= 0 ( D) y + y 34=03. 若解分式方程 呼=产生增根，则m的值是()x x(A) 1 或2(B) 1 或 2(C) 1 或 2( D) 1 或24. 解方程=1时，需将方程两边都乘以同一个整式约去分母，所乘的这个整式为()(A) x 1(B) x (x 1)(C) x(D) x + 15. 先阅读下面解方程x+ = 2的过程，然后填空解：（第一步）将方程整理为 x 2 + = 0;（第二步）设y =，原方程可化为y2 + y= 0;（第二步）解这个方程的 y 1= 0, y2= 1（第四步）当y = 0时，=0;解得x = 2,当y = 1时,=1,方程无解；（第五步）所以x = 2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是 ，第四步中，