第14章第4节空间曲线的切线与法平面PPT学习教案

1、会计学1第第14章第章第4节空间曲线的切线与法平面节空间曲线的切线与法平面2由于切线是割线的极限位置，在上式中令由于切线是割线的极限位置，在上式中令 取极限，就得到曲线在点取极限，就得到曲线在点 的的切线方程切线方程：000000( )( )( )( )( )( )Xx tYy tZz tx ty tz t 000( ),( ),( ) .x ty tz t 由此可见，曲线在点由此可见，曲线在点 的切线的一组方向数是的切线的一组方向数是0tt0M0M(切向量切向量)第1页/共12页3 曲线在点曲线在点 的法平面就是过的法平面就是过 点且与该点点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的的切线垂直的平

2、面，于是切线的(切向量切向量)方向数就方向数就是法平面的是法平面的(法向量法向量)法方向数，从而过法方向数，从而过 点的法点的法平面方程是平面方程是000000( )()( )()( )() 0 x tX xy tYyz tZ z 0M0M0M第2页/共12页4如果曲线的方程表示如果曲线的方程表示为为( ),( )yy xzz x ,( ),( )xxyy xzz x 可以把它写成如下的以可以把它写成如下的以 为参数的参数方程为参数的参数方程x于是可得曲线在点于是可得曲线在点 的切线方程和法平面方程如下的切线方程和法平面方程如下：0M00000()()1()()XxYy xZz xy xz x

3、 00000()()()()()0Xxy xYyz xZz 第3页/共12页5一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：( , , )0( , , )0F x y zG x y z 设设 ，设上述方程组在点，设上述方程组在点 确定了一对函确定了一对函数数0(,)0( , )MD F GD y z 0M( ),( )yy xzz x 由这两个方程可解出由这两个方程可解出(,)(,)(,)(,),( , )( , )( , )( , )dydzD F GD F GD F GD F GD z xD y zD x yD y zdxdx 这时容易把它化成刚才讨论过的情形：

4、这时容易把它化成刚才讨论过的情形：第4页/共12页6从而可得曲线在点从而可得曲线在点 的切线方程：的切线方程：0M000000(,)(,)(,)( , )( ,)( ,)MMMXxYyZzD F GD F GD F GD y zD z xD x y 和法平面方程和法平面方程000000(,)(,)(,)()()()0( , )( , )( , )MMMD F GD F GD F GXxYyZzD y zD z xD x y 第5页/共12页7解：解：2tt 1 , 2 , 3txytzt 在（在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为）点对应参数为 t = 1 1 , 2 , 3 T 切切线线方方向

5、向数数为为切线方程：切线方程：121123xyz 法平面方程：法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 2 )+3( z - 1 )=0即：即： x + 2 y + 3 z = 8例例1 求曲线求曲线 在点在点 处的切线及法平面方程。处的切线及法平面方程。 23,xt ytzt (1,2,1)第6页/共12页8例例2. 求曲线求曲线 在在 点点 （ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程）处的切线及法平面方程。0, 6222 zyxzyx222600 xyzxyz 方方程程组组 解解：转转化化为为,x方方程程组组两两端端关关于于 求求导导 得得222010dydzxyzdxdxdydzdx

6、dx dyzxdxyzdzxydxyz 12 11, 2,101dydxdzdx ， ，第7页/共12页9 1, 2,1121101XYZ 切切线线方方程程为为 所所以以过过点点的的 1, 2,110100XYZZXZ 所所以以过过点点的的 法法平平面面方方程程 为为即即第8页/共12页10ZYXO0MT例例3 求两柱面求两柱面222222,xyRxzR 的交线在点：的交线在点：,222RRR 处的切线方程。处的切线方程。解解:222222,xyRxzR 中分别对中分别对 求导数，得求导数，得220220dyxydxdzxzdx dyxdxydzxdxz x解方程组得解方程组得第9页/共12页11所以所以切线方程为：切线方程为：222111RRRxyz 即即2( 2)( 2)x Ry Rz R 此直线可看作是此直线可看作是 平面与平面平面与平面 的交线的交线。2x yR y z 从而在点从而在点 有：有：,222RRR 1,1dydzdxdx 第10页/共12页1223,244:,.xt ytztxyz在在曲曲线线求求出出一一点点，使使过过此此点点的的切切线线 平平行行于于平平面面例例 21,2 ,3.Ttt 曲曲线线的的切切向向量量为为 1,2,1 .n 已已 知知 平平 面面