流体力学常用的流动分析方法

1、1、两种方法两种方法：拉格朗日法与欧拉法：拉格朗日法与欧拉法2、欧拉法下、欧拉法下流体质点加速度流体质点加速度3、流线微分方程流线微分方程4、总流总流、流量流量、缓变流缓变流等基本概念等基本概念上次课简要回顾上次课简要回顾zyxuzuyuxddd 缓变流缓变流 (或渐变流或渐变流): 是是流线基本平行流线基本平行的的直线流动。直线流动。 缓变流截面缓变流截面问：问：什么是缓变流？什么是缓变流？? ?（2 2）在）在缓变流有效截面缓变流有效截面上，近似符合上，近似符合静压分布静压分布。1z2z),(11zp),(22zp)(2112zzgpp Cgpzgpz 2211? ? 缓变流有何缓变流有何

2、性质性质？（1 1）缓变流有效截面近似为缓变流有效截面近似为平面平面；指与所有流线处处垂直的截面指与所有流线处处垂直的截面(B)(B)概念选择题概念选择题1 1、流体定常运动时，欧拉法下必有、流体定常运动时，欧拉法下必有 等于零。等于零。 （A A）质点加速度）质点加速度 （B B）局部加速度）局部加速度( (当地加速度）当地加速度） （C C）迁移加速度）迁移加速度 （D D）离心加速度）离心加速度2 2、对于定常流动，在、对于定常流动，在 法中流动参数与时间法中流动参数与时间 变量无关。变量无关。 （A A）欧拉）欧拉 （B B）拉格朗日）拉格朗日 （C C）欧拉和拉格朗日）欧拉和拉格朗日

3、3 3、在定常流动中，欧拉法下的质点加速度、在定常流动中，欧拉法下的质点加速度 。 （A A）一定等于零）一定等于零 （B B）一定不等于零）一定不等于零 （C C）可能等于零也可能不等于零）可能等于零也可能不等于零(A)(A)(C)(C)(B)(B)(C)(C)4 4、在缓变流截面各点上，、在缓变流截面各点上， 等于常数。等于常数。pgpz （A）（B）gugpz22 （C）5 5、已知流体速度场：、已知流体速度场：0),(),( zyxuxguzyfu则该流动为则该流动为 流动。流动。（A A）一维）一维 （B B）二维）二维 （C C）三维）三维本次课主要内容本次课主要内容（1 1）了解

4、）了解流动的分类流动的分类以及以及常用的流动分析方法常用的流动分析方法（2 2）建立）建立连续性方程连续性方程 ( (微分微分形式形式, ,积分积分形式形式) )（3 3）建立理想流体）建立理想流体运动微分方程运动微分方程-欧拉方程欧拉方程（4 4）对理想流体运动微分方程）对理想流体运动微分方程积分积分-伯努利积分伯努利积分流体流动流体流动可压缩可压缩不可压缩不可压缩理想流体理想流体粘性流体粘性流体层流层流湍流湍流定常定常不定常不定常一维一维二维二维三维三维重力流体重力流体非重力流体非重力流体亚声速亚声速超声速超声速分类依据分类依据压缩性压缩性粘性粘性流态流态时间时间空间空间重力重力流速流速跨

5、声速跨声速无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动旋转旋转不可压缩：不可压缩：C 理想流体：理想流体：0 无旋流动：无旋流动：0 定常流动：定常流动：0 t与坐标系维数对应与坐标系维数对应考虑重力对流体作用考虑重力对流体作用按流速是否大于声速按流速是否大于声速根据根据Re 数判断数判断 3-3 3-3 流体流动分类流体流动分类 3-43-4 常用的流动分析方法常用的流动分析方法3.4.1 3.4.1 物理定理物理定理 物理学定律有：物理学定律有：（1 1）质量质量守恒定律守恒定律（2 2）牛顿运动牛顿运动定律定律 （动量动量守恒定律、守恒定律、动量矩动量矩守恒定律）守恒定律）（3 3）能量能量守恒定律

6、守恒定律 流体力学是物理学的一个分支。物理学的流体力学是物理学的一个分支。物理学的普适定律完全可用于流体力学。普适定律完全可用于流体力学。连续性方程连续性方程3.4.2 3.4.2 流体流动的分析方法流体流动的分析方法1 1、系统、系统方法方法与与控制体控制体方法方法2 2、微分、微分方法方法与与积分积分方法方法 3 3、量纲分析、量纲分析方法方法 第八章讲述第八章讲述结合结合3-53-5 连续性方程连续性方程 按按欧拉欧拉的观点：单位时间内流进控制体的质的观点：单位时间内流进控制体的质量应量应等于等于流出控制体的质量与控制体内流体质量流出控制体的质量与控制体内流体质量变化量的总和。即：变化量

7、的总和。即： 流体运动遵循流体运动遵循质量守恒定律质量守恒定律。 按按拉格朗日拉格朗日的观点：即一个流体系统的流体的观点：即一个流体系统的流体质量在运动过程中始终保持不变；质量在运动过程中始终保持不变； 即：即： m1m2m 21mmm mmm 21或或控制体控制体净流入净流入控制体内的控制体内的流体质量流体质量= =控制体内控制体内流体质量流体质量的的变化量变化量 按按欧拉观点欧拉观点的质量守恒定律导出流体运动的的质量守恒定律导出流体运动的连续性方程连续性方程。3.5.13.5.1 微分形式微分形式的质量守恒的质量守恒-连续性微分连续性微分方程方程 1 1、建立坐标系、建立坐标系 2 2、取

8、控制体、取控制体3 3、将、将质量守恒定律质量守恒定律运用于该控制体运用于该控制体 ),(),(),(tzyxtzyxuzyx 密密度度为为速速度度为为坐坐标标为为o 为中心，边长为为中心，边长为d dx、d dy、d dz的平行六面体的平行六面体o 质量守恒定律：质量守恒定律： 控制体六个面控制体六个面净流入净流入的流体质量的流体质量, ,应该应该o 等于等于控制体内流体质量的控制体内流体质量的变化量变化量。 ? ? ?质量守恒定律：质量守恒定律：分析：分析：控制体控制体x方向方向净流入净流入的流体质量的流体质量o x x方向：方向： 中心点中心点的左右控制面的左右控制面o X X 方向方向

9、: :N N 点点: :坐标坐标速度速度OO点点:M M 点点: :密度密度o xxuuxxd21 xxuuxxd21 xxdxdfxfxxf 泰勒级数：泰勒级数： 222dxdxxut , z , y,xut , z , y,dxxuxxx 22,2dxdxxutzyxutzydxxuxxxM M 点：点：N N 点：点：xxd21 xxd21 xxdxdfxfxxf 泰勒级数：泰勒级数： 22,2dxdxxtzyxtzydxx 22,2dxdxxtzyxtzydxx M M 点：点：N N 点：点： X X 方向方向: :N N 点点: :坐标坐标速度速度OO点点:M M 点点: : zy

10、x,),2(zydxx ),2(zydxx t , z ,y,xux密度密度 t , z , y,x xxuuxxd21 xxuuxxd21 xxd21 xxd21 （1 1）单位时间内）单位时间内净流入净流入 的流体质量的流体质量M点：点： xxuuxxd21 xxd21 N点：点：xxuuxxd21 xxd21 左左控制面流入：控制面流入： zyxxuuxxxxdd)d21)(d21( 右右控制面流出：控制面流出： zyxxuuxxxxdd)d21)(d21( x方向方向净流入：净流入：左左流入流入- -右右流出流出zyxxuxddd)( 同理，同理，y、z 方向方向净流入净流入的的流体质

11、量流体质量：zyxyuyddd)( zyxzuzddd)( 所以，六个面所以，六个面净流入净流入控制体的控制体的流体质量流体质量： zyxzuyuxuzyxddd)()()( (2)(2)单位时间内控制体内单位时间内控制体内流体质量流体质量的的变化量变化量 用用密度密度来表示来表示dtzdydxd)t , z ,y,x(zdydxd)t dt , z ,y,x( t t时刻：时刻： t , z , y,x dxdydzt , z , y,x 时刻：时刻：dtt 密度密度 质量质量 dtt , z , y,x dxdydzdtt , z , y,x 因此，单位时间内流体质量的因此，单位时间内流体

12、质量的变化量变化量表示为表示为: :zyxtddd （3 3）建立连续性微分方程）建立连续性微分方程 净流入净流入控制体内的控制体内的流体质量流体质量= =控制体内控制体内流体质量流体质量的的变化量变化量zyxtzyxzuyuxuzyxdddddd)()()( 0)()()( zuyuxutzyx 连续性（微分）方程连续性（微分）方程适用条件适用条件：理想或粘性流体、可压或不可压流体、：理想或粘性流体、可压或不可压流体、 定常或非定常运动均可适用。定常或非定常运动均可适用。( (同种流体同种流体) ) 其它形式其它形式： (1)(1)矢量形式矢量形式 0)( ut (2)(2)定常流动定常流动

13、 0)( u 0)()()( zuyuxutzyx (3)(3)不可压流动不可压流动( (与是否定常无关与是否定常无关) ) 0 u0 zuyuxuzyx不可压流动不可压流动 连续性方程连续性方程 注注: : 连续性方程代表了流体运动的连续性方程代表了流体运动的质量守恒质量守恒, ,因此不可压因此不可压 流体流体必须必须满足上述方程。满足上述方程。kjizyx 002 yx例题例题 判别下述不可压流体的流动是否存在？判别下述不可压流体的流动是否存在？xuzuyuzyx ,)1(0,)2(2222 zyxuyxuyxyxu 解解 （1 1）因为因为0 zuyuxuzyx所以流动存在。所以流动存在

14、。（2 2）因为）因为022 yyxzuyuxuzyx所以流动不存在。所以流动不存在。0 zuyuxuzyx0 zuyuxuzyx? ? ?例题例题 已知不可压缩平面流动，已知不可压缩平面流动，xyyuy 2xu0 x0 xu当当 时时, , 。求。求解解0 yuxuyx012 yxux)()12()(d)12(yfxyyfxyux 0)(,0,0 yfuxx时时xyux)12( 0 zuyuxuzyx 取取定常总流定常总流为控制体，其由三个面组成为控制体，其由三个面组成: （流进面流进面1-1 、流出面、流出面2-2 、侧表面、侧表面）3.5.23.5.2 积分形式的质量守恒积分形式的质量守

15、恒定常定常总流总流连续性方程连续性方程如图：如图：三个面净流入的流体质量三个面净流入的流体质量= =控制体内流体质量变化量控制体内流体质量变化量流进流体质量流进流体质量 = = 流出流体质量流出流体质量则单位时间内：则单位时间内：质量守恒质量守恒:定常总流定常总流时：时：mmm 21=0 在总流上取在总流上取微流管微流管： 流进流体质量流进流体质量 = = 流出流体质量流出流体质量流量流量:单位时间内通过某一特定空间曲面的流体量。单位时间内通过某一特定空间曲面的流体量。指与所有流线处处垂直的截面指与所有流线处处垂直的截面体积流量体积流量:/s)(m3质量流量质量流量:)kg/s(AuQAd A

16、umAd AQv 平均流速平均流速是指体积流量除以是指体积流量除以有效截面有效截面面积。面积。例题例题uA适用条件适用条件: : 理想理想( (或粘性流体或粘性流体) )的的定常不可压定常不可压总流流动。总流流动。 1v2v设：设： 和和 分别为分别为A1、A2上的上的平均速度平均速度。QAvAv 2211则：则：定常不可压流体连续性方程定常不可压流体连续性方程问：问：流速与流道面积关系如何？流速与流道面积关系如何？流道面积流道面积小小，则流速，则流速大大； 流道面积流道面积大大，则流速，则流速小小。答：答：QAvAv 22113.6.1 3.6.1 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程

17、tuzpftuypftuxpfzzyyxxdd1dd1dd1 理想流体动力学理想流体动力学 010101zpfypfxpfzyx 流体静力学流体静力学 理想流体运动微分方程：根据理想流体运动微分方程：根据牛顿第二定律牛顿第二定律得到。得到。类比类比 xa3.6 3.6 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分 矢量形式矢量形式： tupfdd1 理想流体运理想流体运 动微分方程动微分方程 注意注意：（1 1）欧拉）欧拉17551755年导出，故又称年导出，故又称Euler运动运动微分方程；微分方程；（2 2）适用于）适用于可压可压或或不可压缩不可压缩流体；流体；（3 3）如流体

18、静止，则上式蜕化为）如流体静止，则上式蜕化为Euler平衡平衡微分方程。微分方程。 至此，得到了描述流体运动的至此，得到了描述流体运动的连续性方程连续性方程和和运动微分方程运动微分方程. 即：即：0 zuyuxuzyx连续性方程连续性方程 zuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 111 欧拉运动欧拉运动 微分方程微分方程 重力场中：重力场中：质量力已知质量力已知; 不可压流体：不可压流体：密度已知密度已知.四个方程、四个未知量四个方程、四个未知量 ,方程封闭可解方程封闭可解. 实际上，非线性方程，求解

19、困难实际上，非线性方程，求解困难.),(zyxuuupdtduaxx zuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 111 欧拉运动欧拉运动 微分方程微分方程但在但在特殊的条件特殊的条件下下,可对可对欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程积分出来积分出来.dtduaxx ? ?问：问：是否能得出一个积分形式？是否能得出一个积分形式？? ? ?(1)(1)质量力仅为质量力仅为重力重力, ,即即gfffzyx , 0, 0(3)(3)流体流体不可压不可压, ,即即常常数数 (2)(2)流体流体定常定常运动运动, ,即

20、即0 t(4)(4)流体流体沿流线沿流线运动运动, ,即即zyxuzuyuxddd zuxuyuzuxuyuxzzyyxdd,dd,dd 3.6.2 3.6.2 伯努利积分伯努利积分 特殊条件特殊条件如下：如下： zuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 111 欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程利用利用重力重力和和定常定常条件条件, ,对欧拉方程进行简化对欧拉方程进行简化: :gfffzyx , 0, 00 t zuuyuuxuuzpgzuuyuuxuuypzuuyuuxuuxpzzzyzxyzyyyx

21、xzxyxx01010010 zgpdd1 zuuyuuxuuzpgzuuyuuxuuypzuuyuuxuuxpzzzyzxyzyyyxxzxyxx11010三式相加三式相加,左端左端=zgzzpyypxxpdd1d1d1 三式相加三式相加,右端右端=zzuuyuuxuuyzuuyuuxuuxzuuyuuxuuzzzyzxyzyyyxxzxyxxd)(d)(d)( )2(d2u 两端乘两端乘dx 两端乘两端乘dy 两端乘两端乘dz 不可压条件不可压条件 )d(gzp 所以所以: :)d(gzp )2(d2u 0)2d(2 ugzp沿流线沿流线积分得积分得: :lCugzp 22( (流线常数流

22、线常数) )lCgugpz 22 -伯努利积分伯努利积分( (方程方程) ) 适用条件适用条件: :理想、不可压、重流体、沿流线、定常运动。理想、不可压、重流体、沿流线、定常运动。积分条件积分条件:(1)重力重力 (2)不可压不可压(3)定常流动定常流动理想流体理想流体欧拉运动欧拉运动微分方程微分方程(4)沿流线积分沿流线积分伯努利积分伯努利积分 回顾积分过程回顾积分过程lCgugpz 22 -伯努利积分伯努利积分( (方程方程) )对对流线上流线上的任意两点的任意两点, ,有：有：gugpzgugpzC22)(24442111 gugpzgugpzB22)(24442333 gugpzgug

23、pzD22)(23332222 1423gugpzgugpzA22)(22222111 2-12 2-12 如图所示为一贮水设备，已知如图所示为一贮水设备，已知h h=1.5m=1.5m，R R=1.5m=1.5m，金属表压强读数金属表压强读数为为98.1 98.1 ，试求作用在半球面，试求作用在半球面ABAB上的上的总压力。总压力。kPaRhAB水解解：将金属表压强读数：将金属表压强读数折合为折合为水柱高度水柱高度：)m(1081. 9100098100 gpH H水水aP1PVzP压力体体积压力体体积= =圆柱体体积半圆球体积圆柱体体积半圆球体积 )N(519930 pzgVP 本次课小结本次课小结 1 不可压流动连续性方程（不可压流动连续性方程（微分微分和和积分积分形式）形式） 2 欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程tupfdd1 0 zuyuxuzyxQAvAv 22113 伯努利积分及其成立条件伯努利积分及其成立条件（理想、不可压、重流