2021年《控制工程基础》第四章习题解题过程和参考答案

1、精品word可编辑资料- - - - - - - - - - - - -第 31 页，共 36 页- - - - - - - - - -4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：gs10；当系统作用有以下输入信号时：r t sin t30 ，试s1求系统的稳态输出；解：系统的闭环传递函数为： sc s10g s11rs1gss111这是一个一阶系统；系统增益为：101k，时间常数为：t1111其幅频特性为：ka12t 2其相频特性为：arctant当输入为r t sin t30 ，即信号幅值为：a1 ，信号频率为：1，初始相角为：030 ；代入幅频特性和相频特性，有：a1k10 1110112t

2、 211 112122(1) arctan t1arctan 1115.19所以，系统的稳态输出为：ct a1 asin t30110122sin t24.81 4-2 已知系统的单位阶跃响应为：4tct11.8e9t0.8et0 ；试求系统的幅频特性和相频特性；解：对输出表达式两边拉氏变换：c s11.80.8361ss4s9s s4s9s s1 s1由于 c ssr s ，且有rs491（单位阶跃） ；所以系统的闭环传递函数为：s s1 s1s149可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：t1 ,t11429系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特

3、性之和：a12a a 11112t212t 2221211168112 arctant1arctant2arctan4arctan94-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图；（ 1） g s（ 2） g s（ 3） g s110.01s1s10.1s1000s1ss28s100（ 4） g s500.6 s1s2 4 s1解：手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确；所谓“概略”，即运算与判定奈氏曲线的起点、终点、曲线与坐标轴的交点、相角变化范畴等，这就可以绘制出奈氏曲线的大致外形；对一些不太复杂的系统，已经可以从曲线中读出系统的部分基本性能指标了；除做到上述要求外，如再多取如

4、干点（如6-8 点），并将各点光滑连线；这就肯定程度上补偿了要求a 的精度不足的弱点；但由于要进行函数运算，例如求出实虚频率特性表格，工作量要大些；在此题解答中，作如下处理：小题（ 1）：简洁的一阶惯性系统，教材中已经争论得比较具体了；解题中只是简洁套用；小题（ 2）：示范绘制奈氏图的完整过程；小题（ 3）、小题（ 4）：示范概略绘制奈氏图方法；4-3 （ 1） gs110.01s这是一个一阶惯性（环节）系统，例4-3 中已具体示范过（当t=时），奈氏曲线是一个半圆；而表4-2 给出了任意时间常数 t 下的实虚频率特性数据；可以套用至此题；系统参数： 0 型，一阶，时间常数t0.01起终点奈氏

5、曲线的起点： （ 1,0 ），正实轴奈氏曲线的终点： （ 0,0 ），原点奈氏曲线的相角变化范畴： （ 0, 90），第 iv 象限求频率特性；据式（4-29 ）已知：实频特性：虚频特性：pq112t 2t12t 2可以得出如下实频特性和虚频特性数值：0102550801001252004008001000pq绘图：q=0.501p= 0-0.5= 200= 125= 100= 80= 504-3 （ 2） gs1s10.1s示范绘制奈氏图的完整过程；这是一个由一个积分环节和一个一阶惯性环节组成的二阶系统；系统参数： 1 型系统， n=2, m=0起终点奈氏曲线的起点：查表4-7 ， 1 型系

6、统起点为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表 4-7 知终点为原点，入射角为- 180； 奈氏曲线的相角变化范畴： （ - 90， - 180），第 iii象限求频率特性：g j10.1j j实频特性：10.1 jp10.012 0.1虚频特性：q10.012110.012当0 时，实频曲线有渐近线为；可以得出如下实频特性和虚频特性数值：0125891020pq绘图：q-0.1= 20= 10= 8=0-0.1p= 5-0.2= 0-0.34-3 （ 3） gs1000s1q ss28 s100p 示范概略绘制奈氏图方法；系统参数： 1 型系统， n=3, m=1起终点奈氏曲线的

7、起点：查表4-7 ， 1 型系统起点为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表 4-7知终点为原点，入射角为- 180；奈氏曲线的相角变化范畴： （ - 90， - 180）；绘图：4-3 （ 4） gs500.6 s1s2 4 s1示范概略绘制奈氏图方法；系统参数： 2 型系统， n=3, m=1起终点奈氏曲线的起点：查表4-7 ， 2 型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表 4-7 知终点为原点，入射角为- 180；奈氏曲线的相角变化范畴： （ -18 0， - 180）；由于惯性环节的时间常数大于一阶微分环节的时间常数， 二者相频叠加总是小于零，故图形在

8、第2 象限；绘图：qp如要详绘，就先求频率特性：500.6 j1500.6 j14 j1120250170 jg j2242j4 j11204 j25014 j116即有实频特性：p1642虚频特性：q1617042制表：012568- -19346 -4414-64-100pq032691466681004-4 试画出以下传递函数的波德图；（ 1） g s h s（ 2） g s h s（ 3） g s h s2ss2 s218s1200110s150（ 4） g s h ss2 s210ss2 ss0.20.1110s1（ 5） g s h s8 s0.1s s2s1s24 s25解：绘制

9、波德图要依据教材p134-135 中的 10 步，既规范也不易出错；4-4 （ 1） gsh s2 s21 8s1（ 1） 开环传递函数已如式 4-41标准化；（ 2） 运算开环增益 k，运算20 lg kdb；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益 k 2,20lg k20lg 26 db0 型系统，低频段斜率为0；（ 3） 求各转折频率，并从小到大按次序标为1 ,2 ,3 ,，同时仍要在转折频率旁注明对应的斜率；110.125 ，惯性环节，斜率-20 ；81 20.5 ，惯性环节，斜率-20 ；2（ 4） 绘制波德图坐标；横坐标从到10 二个十倍频程；见图；（ 5） 绘制低频段幅频渐近线，为

10、水平线；（ 6） 在 10.125 ，斜率变为 -20 ；在20.5 ，斜率变为 -40 ；标注斜率见图；（ 7） 幅频渐近线的修正；在10.125 处修正 -3db ，在0.06, 0.25 处修正 -1db ；在0.5 处修正-3db ，在0.5,1 处修正 -1db ；留意在0.5 处有两个 -1db 修正量，共修正 - db；（ 8） 绘制两个惯性环节的相频曲线；（ 9） 环节相频曲线叠加，形成系统相频曲线；（ 10） 检查幅频渐近线、转折频率、相频起终点的正确性；l db40 db20 db0 db200.5r / s0.111020 db9009018027036020 db/ d

11、ec40 db/ decr / s4-4 （ 2） gsh ss2 s200110s1（ 1） 开环传递函数已如式 4-41标准化；（ 2） 运算开环增益 k，运算20 lg kdb；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益 k 200,20lg k20lg 20046 db2 型系统，低频段斜率为-40 ；（ 3） 求各转折频率：110.1 ，惯性环节，斜率-20 ；10 21 ，惯性环节，斜率 -20 ；（ 4） 以下文字略，见绘图；l db60 db40 db /dec60 db/ dec低频延长线过此点：40db20db0 db0.1110r / s9009018027036080 db/

12、 decr / s4-4 （ 3） gsh ss2 s250s110s1常见问题（ 1） 开环传递函数标准化：g s h ss2 s25020.51s110s1必要的文字与运算部分;（ 2） 运算开环增益 k，运算20 lg kdb；得系统型别，确定低频段斜率；横坐标的选取开环增益 k 50,20lg k20lg5034 db转折频率与斜率不准2 型系统，低频段斜率为-40 ；（ 3） 求各转折频率：110.1 ，惯性环节，斜率-20 ；10确;34db 在何处斜率的标注 ; 21 ，二阶振荡环节，阻尼比0.5 ，斜率 -40 ；（ 4） 其它：二阶振荡环节在转折频率处要按实际阻尼比按图4-1

13、7 修正；见绘图；l db40 db / dec低频延长线过此点：60 db60 db / dec40db20dbr / s0 db0.1110100 db / dec90r / s0901802703604504-4 （ 4） gsh s10 ss2 s0.20.1（ 1） 开环传递函数标准化：20 s1g s h s10s0.20.2s2 s0.1s2 s10.1（ 2） 运算开环增益 k，运算20 lg kdb；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益 k 20,20lg k20lg 2026 db 2 型系统，低频段斜率为-40 ；（ 3） 求各转折频率： 10.1 ，惯性环节，斜率-20

14、 ； 20.2 ，一阶微分环节，斜率 +20；（ 4） 其它见绘图；l db40 db / dec低频延长线过此点：60 db60 db / dec40db20dbr / s0 db0.10.211040 db / dec90r / s0901802703604504-4 （ 5） gsh s8 s0.1s s2s1s24 s25（ 1） 开环传递函数标准化：0.03252 g s h ss10.1s s220.5 1s1s220.45s52 （ 2） 运算开环增益 k，运算20 lg kdb；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益 k ,20lg k20lg0.03230 db1 型系统，低频

15、段斜率为-20 ；（ 3） 求各转折频率： 10.1 ，一阶微分环节，斜率 +20； 21 ，二阶振荡环节，阻尼比0.5 ，斜率 -40 ； 35 ，二阶振荡环节，阻尼比0.4 ，斜率 -40 ；（ 4） 其它见绘图；l db20db20 db / dec0 db0.1r / s11020 db40 db / dec40 db低频延长线过此点：59080 db / dec0r / s901802703604504-5 依据以下给定的最小相位系统对数幅频特性曲线图写出相应的传递函数；解： 4-5a（ 1）求结构从图中看出，低频段斜率为0，是 0 型系统，由渐近线的斜率变化：第 1 个转折频率处斜

16、率变化20 db / dec ，是一阶惯性环节；第 2 个转折频率处斜率变化也是20 db / dec ，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为g s（ 2）求参数t1sk1t2 s1从图中看出，低频段与零分贝线水平重合，因此k1对第 1 个一阶惯性环节，转折频率11 ，就：1t111对第 2 个一阶惯性环节，转折频率24 ，就：2t110.25综合得：24g sks10.25s1解： 4-5b（ 1）求结构从图中看出，低频段斜率为20 db / dec ，是 1 型系统，由渐近线的斜率变化：第 1 个转折频率处斜率变化20 db / dec ，是一阶惯性环节；第 2 个转折频率处斜率变化也是2

17、0 db / dec ，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为g sst1sk1t2s1（ 2）求参数从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：0100 ，由于是 1 型系统，由式 4-67k100对第 1 个一阶惯性环节，转折频率10.01 ，就：1t1110010.01对第 2 个一阶惯性环节，转折频率2100 ，就：2t110.01综合得：g s2100st1sk1t2s1s100s10010.01s1解： 4-5c（ 1）求结构从图中看出，低频段斜率为0，是 0 型系统，由渐近线的斜率变化：第 1 个转折频率处斜率变化20 db / dec ，是一阶惯性环节；第 2 个转折频率处斜率变

18、化也是20 db / dec ，也是一阶惯性环节；第 3 个转折频率处斜率变化也是20 db / dec ，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为g st1sk 1t2s1t3s1（ 2）求参数从图中看出，低频段为水平线，幅值为lk48db ；由式 4-64：lkk10 204810 20251对第 1 个一阶惯性环节，转折频率11 ，就：1t111对第 2 个一阶惯性环节，转折频率210 ，就：2t110.1210对第 3 个一阶惯性环节，转折频率3100 ，就：3t110.013100综合得：g s251 s10.1s10.01s1解： 4-5d（ 1）求结构从图中看出，低频段斜率为20 d

19、b / dec ，是 1 型系统，由渐近线的斜率变化：第 1 个转折频率处斜率变化40 db / dec ，是二阶振荡环节；因此传递函数结构为g s2knss22s2nn（ 2）求参数从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：0100 ，由于是 1 型系统，由式 4-67k100对二阶振荡环节，从图中看出，谐振峰值为4.58db，峰值频率r45.3 ；可以由式（ 4-37 ）求出阻尼比：m1r212当 20lg m r4.58 db 时，阻尼比为0.31；（也可简洁地查表4-5 ，得0.3 ）；由式（ 4-36 ）： nr12250.3综合得：2g skn10050.322222ss2n s

20、ns s20.350.3s50.3 4-6 试由下述幅值和相角运算公式确定最小相位系统的开环传递函数；（ 1）90arctan 2arctan 0.5arctan10， a13 ；（ 2）180arctan 5arctanarctan 0.1， a510 ；（ 3）180arctan0.2arctan12arctan213arctan10， a101 ；（ 4）90arctanarctan3arctan 10， a52 ；解：（ 1）90arctan 2arctan 0.5arctan10， a13 ；直接可以得到：g sk s1k 0.5 s1且有幅频特性：st1s1t2s1s2 s110s

21、1ak0.252142即110021a42k1100 21a1 5 10160.3所以g s0.25 2160.30.5 s11.251s2 s110s1（ 2）180arctan 5arctanarctan 0.1， a510 ；直接可以得到：g sk s1k 5 s1s2 t s1t s1ss10.1s112且有幅频特性：ak252122即10.01212222ka10.011a525261.2557251所以6265g sk s1575 s1s2t s1t s1ss10.1s112（ 3）180arctan 0 .2arctan12arctan213arctan10， a101 ；直接可

22、以得到：g sk s s2221 sn 222 2 s1n 22s2n11 s1ts1n1比较二阶振荡环节的相频特性式（4-32 ）：22arctann12n由 arctan 12 ，得n11,10.5二阶微分环节的参数求法与上面二阶振荡环节基本相同，差别仅是式（4-32 ）是正值；所以：由 arctan13132 ，得n2,232一阶微分环节：0.2一阶惯性环节： t10所以：g sk 0.2 s13s222s1且有幅频特性：s ss110s1k0.04 21132 2210a106.72 10 4 k21即k16.7210 42 22148810021所以：14880.2 s13s2s1g

23、 ss2 s2s110s1（ 4）90arctanarctan3arctan10， a52 ；直接可以得到：g sk sk s113且有幅频特性：st1s1t2s1ss110s12k1a92110021即ka2110022125262501251312所以：g s119951312s13ss110s14-7 画出以下各给定传递函数的奈氏图；试问这些曲线是否穿越实轴；如穿越，就求与实轴交点的频率及相应的幅值g j ；（ 1） g s11s12 s；（ 2） gss11 s1；2s（ 3） gs1s2 1；（ 4）sgs1s2 10.02s；0.005 s解：4-7 （ 1） g s11s12sq

24、系统参数： 0 型系统， n=2, m=0起终点奈氏曲线的起点： 查表 4-7 ，0 型系统起点为正实轴无穷远处；奈氏曲线的终点： n-m=20，查表 4-7 知终点为原点，入射角为- 180；奈 氏 曲 线 的 相 角 变 化 范 围 ：（ 0 ，- 180）；从相角变化范畴来看，曲线均在正实轴以下，并未发生穿越；求频率特性如下：p 0111223 jg j1j12 j1223 j1223 j1223 j1223 j1223 j122324242j42所以，12292451451451122实频特性：p44521虚频特性：3q42451制表：pq012345681000绘图如上；精品word

25、可编辑资料- - - - - - - - - - - - -4-7 （ 2） g ss11 s12 sq系统参数： 1 型系统， n=3, m=0起终点奈氏曲线的起点：查表4-7 ，1 型系统起点0为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点： n-m=30，查表 4-7 知终点为原点，入射角为 -27 0；奈氏曲线的相角变化范畴：（ -90 ，-27 0）；从相角变化范畴来看，曲线将从第iii象限穿越至第 ii象限，发生一次实轴穿越： 绘图见右；求与实轴的交点： 频率特性：p g jj11j1j 2幅频特性：a112 142相频特性：90arctanarctan 2发生负实轴穿越时，相频为-180 ，即

26、令180 ，可求得穿越时的频率：q 0.707 rad / sec ；此时的幅值：a0.70720.6673p 04-7 （ 3） g s12s 1s第 26 页，共 36 页- - - - - - - - - -精品word可编辑资料- - - - - - - - - - - - -系统参数： 2 型系统， n=3, m=0起终点奈氏曲线的起点：查表4-7 ， 2 型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点： n-m=30，查表 4-7 知终点为原点，入射角为-27 0； 奈氏曲线的相角变化范畴：（ -180 ， -27 0）；从相角变化范畴来看，曲线均在第iii象限，未发生穿越； 绘图见右

27、；第 39 页，共 36 页- - - - - - - - - -4-7 （ 4） g s1s2 10.02 s 0.005sq 系统参数： 2 型系统， n=3, m=1起终点奈氏曲线的起点：查表4-7 ，2 型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点： n-m=20，查表 4-7 知终点为原点，入射角为 -18 0；奈氏曲线的相角变化范畴：（ -180 ，-18 0）；传递函数中，一阶微分环节奉献一个零点，一阶惯性环节奉献一个极点；零极点发生p 0肯定的对消效应， 但并不完全对消； 惯性环节的时间常数比一阶微分环节的时间常数小，即极点位置比零点位置更靠近虚轴，因此将发生更大的作用；也就是说

28、，零极点的相频特性合成后，仍为负值；综合两个微分环节后，相频特性 -18 0，曲线均在第 iii象限，未发生穿越；绘图见右；4-8 试用奈氏稳固判据判别图示开环奈氏曲线对应系统的稳固性；(a) 奈氏曲线包围了-1,j0 点，所以(b) 添加帮助线后可以看出，奈氏曲线未包围 -1,(c) 添加帮助线后可 以看出，奈氏曲线包围了-1, j0点，所以闭(d) 添加帮助线后可以看出， 奈氏曲线未包围 -1, j0点，d添加帮助线后可以看出， 奈氏曲线未包围 -1, j0点，4-9 已知系统的开环传递函数为g sssk 10.1s，试分别绘出当开环放大倍数k 5和k 20时的波德图，1并判定系统的稳固性

29、，量取相位裕量和幅值裕量，并用运算公式验证；解：先按开环增益k 5 绘图,20lg514 db1 型系统，低频段斜率为-20 ；求各转折频率： 11 ，惯性环节，斜率-20 ； 210 ，惯性环节，斜率 -20 ；绘图如下：l 40db20 db/ deck=2020db40 db/ dec0 db0.1k=5c41k g10c2100r / s9009018027060 dbg3/ decr / s（ 1）当 k 5 时，从图中量取各指标（见粉红色）：得：c2,g3 ， c180, 故系统稳固；且有稳固裕量：20 , k g8 db ；（ 2）当 k 20 时， 20lg 2026 db ；

30、相比于 k 5 时，幅频曲线提升 12db ，而相频曲线保持不变；从图中量取各指标（见蓝色）：得：c4 ， g3 保持不变；c180, 故系统不稳固；且有稳固裕量：10 , kg4 db ；因此，提高开环增益将有损于稳固性；运算验证：幅频特性运算公式：l20lg k20lg20lg1220lg10.012相频特性运算公式：90arctanarctan 0.11 当k 15 时,c12.1rad/ s,113.60 ，g13.16 rad/ s, k g16.8 db0 ；闭环系统稳固；2 当 k 220 时，c24.2 rad/ s,29.40 ， g 23.16 rad/ s,k g 25.

31、2 db0 ；闭环系统不稳固；4 10 已知系统的开环传递函数为gs80 ss2 s220，试绘制系统的开环波德图，并判定系统的稳固性；从波德图中量取c ,g , k g 各指标，并用运算公式验证；解：开环传递函数为：gs80s8 s122s2 s20s2 s120开环增益 k 8,20lg k20lg818 db，是 2 型系统，低频段斜率为 -40 ；求各转折频率：12 ，一阶微分环节，斜率+20；220 ，惯性环节，斜率-20 ； 绘图如下：l 40 db20 db40 db/ dec20 db/ decr / s0db0.112c102010040 db / dec90090180r

32、/ s系统分析：从图中量取各指标，得：c4.5 ，且相频曲线总在-180 之上，所以g；闭环系统无条件稳固；量取稳固裕量：50 , k g；运算验证：幅频特性运算公式：l20lg k20lg220lg0.25 2120lg0.0025 21相频特性运算公式：180arctan 0.5arctan 0.05运算验证：当 lc 0 时，求得c4.31 rad/ s ， c 127，故53 ；任何均无法使180 ，故g, k g；4 11 某单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段直线如题4 11图所示，如要求系统具有30的相位稳固裕量， 试运算开环增益可增大的倍数；题 4 11 图解：可从图中求得闭环传递函数为 s1s1 s1s11.255由开环传递函数与闭环传递函数的关系求开环传递函数：g ss s6.250.51s1 sss2.825s4.425ss1s1相频特性：2.8254.42590arctan 2.825arctan4.425如要求系统30，相当于要求c 150；求得：当 c2.016 时， c 150幅频特性：a22.8250.51214.825当c2.016 时， ac 0.1837为使ck2.016 成为穿越频率，要求15.44 倍0.1837ac 1 ，因此系统开环增益应增大：4 12 某最小相位系统的开环对数幅频特性如题4