2017年有理数培优题有答案

1、 有理数培优题 基础训练题 一、填空： 1、在数轴上表示2的点到原点的距离等于（ ）。 2、若a=a,则a（ ）0. 3、任何有理数的绝对值都是（ ）。 4、如果a+b=0,那么a、b一定是（ ）。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（ ）。 6、已知，则（ ） bb|?a?|a|?3,|b|?2,|a?ba?7、的最小值是（ ）。 3|?|x|x?2|118、在数轴上，点A、B分别表示，则线段AB的中点所表示的数是（ ）。 ，? 422010?ba?2（ 互为相反数，则）。 的绝对值为互为倒数，P39、若?pmn?nm,b,a p|a|b|c|? .的值是（，则0 ）10、

2、若abc abc325311、下列有规律排列的一列数：1、，其中从左到右第100个数是（ ）。 4385二、解答问题： 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z对应的点到-2对应的点的距离是7，求x 、y、 z这三个数两两之积的和。 3、若的值恒为常数，求满足的条件及此时常数的值。 x4?|13x|?2x?|4?5x|?20102010?1a|?|c|a?b|?，试求的值。 为整数，且4、若|c?|b?a|?|a?b|c?ca,b,157911131517 5、计算： 72304256261220、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意6四只，使它

3、们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？ 能力培训题 知识点一：数轴 ab在原点的左方，那么（ ）：已知有理数 在数轴上原点的右方，有理数例1ab?bab?ba?b?0a?b?0 B D CA拓广训练： a?b,b?2a,a?b,b?aba,中，负数的个数有（ 在如图1、为数轴上的两点表示的有理数，）（“祖 a bO 冲之杯”邀请赛试题） A1 B2 C3 D4 2?a?5 a表示在数轴上，并用不等号连接。、把满足 中的整数32、利用数轴能直观地解释相反数； 例2：如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为 。 拓广训练： a的点到原点的距离

4、为3，则 1、在数轴上表示数._3?a?2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题） 3、利用数轴比较有理数的大小； a,b,?a,b0?0,ba0?a?b?”（用“的大小关系是那么有理数，且：例3已知 。 号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练： m?n ?m,?n,m?n,m?n,n?m0n?m?0,?”号连接。 且，比较若 的大小，并用“1、 a5?a与4的大小 比较 例4：已知 拓广训练： a3?a?与3的大小，试讨论1、已知 ababa,b的大小 2、已知两数与大，试判断，如

5、果 比 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 a?b?a?b?b?cca,b,化简结果为（有理数： 在数轴上的位置如图所示，式子） 例5 aO-1bc1b?bcb?cc?332a?b?c DA C B 拓广训练： c?c?1a1bba?c,ab 。 有理数1、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ab Oc1 b?2?a?ba?bba, 。、已知 的四种情况如图所示，则成立的是，在数轴上给出关于2 baabaabb0000 c?1?a?c?a?bcb,a,化简后的结果是（ ）在数轴上的对应的位置如下图：则 3、已知有理数（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题） cO-1ab b?12a?b?11?2

6、a?b?2c1?2c?b A D C B三、培优训练 ?22 02y?1?x?1?y?x ），那以的值是（ 1、已知是有理数，且13133?1或 A或 D B C 22222CBA若，再向右移动5个单位长度到达点2、（07乐山）如图，数轴上一动点2向左移动个单位长度到达点5 CA ） 表示的数为1，则点 点表示的数为（C B A 2 3?732? 0 1 a,b,c,d对应的数分别是整数D、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、3 d?2a?10ABCD ）且，那么数轴的原点应是（ 点DB点 CC点 D BAA点ca?dc,a,b,db? ）那么所对应的点A，B，C，

7、D4、数在数轴上的位置如图所示，与的大小关系是（ ADCB0 a?c?b?da?c?b?da?c?b?d DA B不确定的 C a?b?b?c?a?ccb,a,，那么点B，若（5、不相等的有理数 ） B在数轴上对应点分别为A，CA在A、C点右边 B在A、C点左边 C在A、C点之间 D以上均有可能 y?x?1?x?1，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题）6、设 yyx取最小值只一个 A使没有最小值 Bxxyy取最小值 使取最小值 D有无穷多个C有限个（不止一个）使11?和，则线段AB的中点所表示的数是 7、在数轴上，点A，B分别表示。 35 x?a?x?b?a?bx0?b0a?,

8、的取值范围是，则使 8、若成立的。 10095?xx?x的最小值是9 。是有理数，则、 221221 dc,a,b, 、已知为有理数，在数轴上的位置如图所示：10Odbca cb?a?2d?3b?23b?c?4d?6a6,3a?2?6 的值。求且 (1)阅读下面材料：11、（南京市中考题） ABb,a两点中有一点在原点时，B、B，当点A、B在数轴上分别表示实数A两点这间的距离表示为、，AB(A)O b?a?AB?OB?b两点都不在原点时，、B 不妨设点A在原点，如图1；当，AobBOA AB?OB?OA?b?a?b?a?a?b ；都在原点的右边A、B 2如图，点oabBOA? ?a?a?a?b

9、?bAB?OB?OA?b ；都在原点的左边 ，点A、B如图3oab?AOB b?a?OB?a?b?a?bOAAB? 在原点的两边。B4如图，点A、 boa bAB?a? 两点之间的距离综上，数轴上A、B。 （2）回答下列问题：数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴 上表示1和-3的两点之间的距离是 ； AB?2xx 为 ；和AB之间的距离是 ，如果，那么数轴上表示 和-1的两点 x?1?x?2x的取值范围是 取最小值时，相应的； 当代数式 x?1?x?2?x?3?x?1997的最小值。 求聚焦绝对值 一、阅读与思考 绝对值是初中代数中的一个重要概念，

10、引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。 脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。 去绝对值符号法则： ?0a?a? 00a?a? ?0a?a?2、恰当地运用绝对值的几何意义 aa?baab的两点间的距离。、数从数轴上看表示数的点到原点的距离； 表示数3、灵活运用绝对值的基本性质 aa?2 22 0?b?ba?a?a?0ab?a?bb?a?aa

11、 bb b?b?aa 二、知识点反馈 、去绝对值符号法则1a?b?b5,b?3a?a? ?ba? 且已知例1：那么。 拓广训练：?2,3b?2,c?a?1, ?ca?bc?a?b 。，那么且、已知1（北京市“迎春杯”竞赛题） 5,b?a?8 b0a?a?b? 、若，那么2，且的值是（ ） -3或-133或-3 DA3或13 B13或-13 C 2、恰当地运用绝对值的几何意义 1x?x?1? 例2：）的最小值是（ -12 B0 C1 DA 1、分类讨论解法? 2x?x?1?2x?x?1?x?1?11?x? 当时，；? 2x?11?x?1?xx?1?1x?1? 当；时，? 2?2x?1x1x?1?

12、x?x?11x? 时当。1?x?x?1 ，故选A比较可知，。的最小值是2 1xx?1?xx表示数1解法2表示数所对应的点之间的距离；、由绝对值的几何意义知所对应的点与数 1x?x?1?x两点距离和的最小与的最小值是指-1所对应的点之间的距离；所对应的点与数-1点到1 值。如图易知xxx1-1 1?x?x?11?1x? 故选A当。时，的值最小，最小值是2 拓广训练： 2?x?x?3?x?23?xabab? ，求已知的最小值是， 1、的最大值为的值。 三、培优训练 ba, 、如图，有理数1在数轴上的位置如图所示：a-1-2b10 4b?2abaaba?,?abb2,?,?,?, 则在中，负数共有（

13、 ）（湖北省荆州市竞赛题） 2个A3个 B1个 C4个 D mm?m ）一定是（是有理数，则2、若 D负数A零 B非负数 C正数 0?x?2?x?2x ，那么）的取值范围是（、如果 32xx?2x?2?2x? D C BAba?b?a?a b,ab）（4、） 可能是负数，是有理数，其中如果那么对于结论（1）一定不是负数；（2， 15届江苏省竞赛题）（第 ）都不正确）（2（）（2）都正确 D11A只有（）正确 B只有（2）正确 C（1 2?1?a?aaa? 5）所得的结果为（、已知 ，则化简a3?22a?31?1 B D CA a?a2?34a?0? ），那么的最大值等于（6、已知 91 B5

14、C8 DAabccab?x?xcb,c,b,a,a ）、已知有（ ，根据的不同取值，都不等于零，且7abccab 8种不同的值 C4种不同的值 DA唯一确定的值 B3种不同的值 ba?a?b? 、满足）8（湖北省黄冈市竞赛题）成立的条件是（ 1?ab?0ab0ab?ab?1 DA C Bxx?5?2x?5x?2? 、若，则代数式。的值为9x2?x?x5 baab?0ab? 。的值等于、若，则 10baab abcabc?0ca,abc?b?c?0a,b,的值。、已知11是非零有理数，且，求 abcabc ?b?c?d?25b?aaa9?b?,c?d?16?d?cd,b,a,c的值。是有理数，1

15、2、已知，求 ，且13、阅读下列材料并解决有关问题： ?0x?x? 00?xx?，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式我们知道?0x?x?x?1?x?2x?1x?2 2,?,1x?21?x?0x01x?2的时，可令与和（称分别为，分别求得x?1x?2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下和3零点值）。在有理数范围内，零点值种情况： ?2x?1x?2?x11?x?;）当 时，原式=（1?3x?2x?1?2?1?x； （2）当时，原式=x?2x?1?x?2?2x?1。 =（3）当时，原式?1?x?2x?1?2?13?x? 综上讨论，原式=?2?1x2x?通过以上阅读，请你

16、解决以下问题： x?2?xx?2x?44 分别求出2 ）化简代数式的零点值；（和）（1x?35?x?2 xx有最大值？有最小值？这个最小值是多少？（214、（1）当）当取何值时，取何值时， x?7?x?8?x?x?4?x?59的最小值。（4）求这个最大值是多少？（3 ）求的最小值。15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何 处选址最好？BCAD 、先阅读下面的材料，然后解答问题：16?1n?nn台机床到供应台机床在工作，我们要设置一个零件供应站

17、P，使这在一条直线上有依次排列的 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：站PDAAAA A）P（12231 乙甲丙乙甲P AA因为甲和乙分之间的任何地方都行P设在和,如图，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显21AA 的距离之和等于的距离到.别到P21A处最合适，因为如果设在中间一台机床)时，不难判断，P如图,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙2AAA处，那么甲D的距离；而如果处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为P到P放在放在别处，例如312AAAP近段距离，这是多出来的，因此到到的距离，可是乙还得走从D和丙分别到P的距离之和仍是321A台之间的任何地方；有台与第3台机床，

18、P应设在第放在2处是最佳选择。不难知道，如果直线上有42 台位置。应设在第台机床，P35n 应设在何处？机床时，P问题（1）：有 617?x?3x2x1x? 2问题（）根据问题（）的结论，求1的最小值。 有理数的运算 一、阅读与思考 在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就符号演算。是通常说的 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要

19、善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。 二、知识点反馈 乘法交换律a?b?b?a?加法交换律a?b?b?a?乘法运算律 1、利用运算律：加法运算律?c?ab?c?b乘法结合律a?bc?ab?c?加法结合律a?ab?c乘法分配律aacb?2322?4?2.75?7? 计算：例1： 533?22?2.75?7?4.6?2.75?3?4.4.6?4?6?5.75?1.15 解：原式= 33 拓广训练：315917192275?3?6?9?0.6?0.0

20、8?0.92?2?）、计算（1（2）1 4411441111115?24?950? ：计算：例2 25?11?10?498?5002?50?10?50?50?= 解：原式 2525? 拓广训练：1111?2?3?4?5? 计算：1、 2345? 、裂项相消2a?b111m1111?；（）（12）；（3） ? nn?mn?n?1nn?1nmnabab211? （4）? 2nnn?1?n?2n1n?1?n1111? 例、计算3 1?22?33?42009?2010 1111111?1? 解：原式= 2233420092010?1111111?1? = 2233420092010120091? =

21、20102010拓广训练： 1111? 、计算：1 1?33?55?72007?20093、以符代数 3817713712?17513?8?27?11?：计算：4 例 391727271739?7341243776?16,27?26,11?1017 解：分析： 272717173939121738713734247613?8?517?27?11?16?26?10?2AA =令，则 1727392717392717392A?A?2 原式=拓广训练： 111111111111?1?1? 、计算：1 200523200623200523200623?4、分解相约 2n4n?n?24?2?4?8?1?

22、2? ：计算：例5 n9n?n?32?6?18?1?3?9?22?n?1?2?1?2?4?1?2?4?41?2?2?1?24n? =解：原式=? n?3?9?2?1?3?9?n?13?91?2?191?3?24?2641? = 9?37291? 三、培优训练2009b2007?aab= 是最大的负整数，。是绝对值最小的有理数，则1、 2008 1111?= ；、计算：2（1） 3?55?77?91997?1999 ?1?434?.?0256?8?2?2? = 。）（2 23? 22b99?a1898a?b互为相反数，则= 。 3、若与 1997ab 1131353971? 、计算：4= 。 4

23、66624989898? 234567891022?22?2?2?2?2?22?= 。、计算：5 199797199898,?,?,?、6。 这四个数由小到大的排列顺序是 999819991998 86.0.686?68.6?643.14?31.?628? ）=（ “五羊杯”）计算： 7、A3140 B628 C1000 D1200 1?2?3?4?14?15等于（ ） 8、（ “希望杯”） 30?8?28?2?4?61111? B D CA 24422?2.5?3?56?4 “五羊杯”）计算：=（ ）9、（ 4?1?5?4.2?9?84010205 D B CA 93922320082320

24、082?1?21?2?2?2?2，则的值，可令10、（2009鄂州中考）为了求S2S234200920092320082009?21?22?2?2?112?22?2?仿照以上推理，所以 ，因此2S-S2320095?5?5?1的值是（ ） 计算出2009?1520105?120102009?1?155、B、 C、DA 44 ?a?a?a?aM,aa,a,?a?a?a?，都11、是正果，如数2004220041312200332?a?a?a?aN?a?a?M,N的大小关系是（ ） ，那么200332122004M?NM?NM?N D不确定 A C Bb19992000ba?b,0,a,1a?b,

25、的形式，求、设三个互不相等的有理数，既可表示为的形式，又可表示为12 a 的值（“希望杯”邀请赛试题） 13、计算?000000164.006?5700?0.5.7?000036?00.19?.（2009（1）年第二十届“五羊杯”竞赛题） 2?141?443?3?2?8?6?0.?6?.5?25? （2）（北京市“迎春杯”竞赛题）? 23133?xn,mb,a3，互为相反数， 的绝对值等于14、已知互为负倒数，?2003200132xn?abnm?ab?x1?x?m的值求 1111?0?aba?22? 、已知，求的值15?220061?1bb?22006?abab?a?a? （香港竞赛）16、

26、（2007，无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，n层将图1倒置后与原图1拼成图2以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了的形状，这样我们可以n(n?1)?n2?3?L?1?1中所有圆圈的个数为 算出图2 层第1 第 2层 层第n 图4 图3 图 图2 的方式填上一串连续的正整数）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3如果图1中的圆圈共有12层，（1，L4，2，31， ；，则最底层最左边这个圆圈中的数是 （2）我们自上往下，在每个圆圈中都按L23?21?22，求图4，图4的方式填上一串连续的整数中所有圆圈中各数的绝对值之和 ，【专题精讲】 【例1】计算下列

27、各题 33251233233333)(?4?)?(1)?()(?0.75?0.5?(? 4437254423912137(?0.125)?(?1)?(?8)?(?) 35【例2】1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12?L?2005?2006?2007?2008 计算：1111111111L】3【例?L? 计算：1?33?55?799?101261220309900 反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。 1111111?(?) n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k11111111?(?) 1?n2?

28、1nn(1)(1)?(n?n?2)n?1)(?1)nn2)n?(nn1)(?2( 1111?L?】4【例 18届迎春杯）计算：（第2481024 11212312341235859【例5】?(?)?(?)?(?)?L?(?L?) 计算： 23344455556060606060【例6】（第8届“希望杯”）计算： 11111111111111 )L?)(?(1?L?(1?L?)(?L?) 23200923420102320092010232009 3333333333】7【例50L42?33?4?L?n11?2?的值。请你从下表归纳出的公式并计算出： 12345 104628 126315912

29、482016 510152025 【实战演练】?998998999?998?999999998999 用简便方法计算：1、 11111 102、（第届“希望杯”训练题） ?1)?1)?(?1)(?L?(?1)(?1)?( 20042003100210011000 1999?1999?19992000?2000?20002001?2001?2001,b?,c?a?abc 3、已知则 1998?1998?19981999?1999?19992000?2000?2000 111L? 计算：4、 11?13?1513?15?1729?31?33 L?n?2n?48?4n1?2?4?2?2)?( （5、

30、“聪明杯”试题） L?n?3n18?9n1?3?9?2?6? 11111L(1?(1?)(1?)(1?)(1的值得整数部分为（ ） 、6 1?32?43?51998?20001999?2001A1 B2 C3 D4 22(n?1)?n?2n?1 提示：48121640L? 、7 1?33?55?77?919?21 2010322?L?2221S? 、8计算：111?1?的值9.计算 、 100?3?2?13?2?12?1 1111 2010324L? 的值。10、计算： 111111111L(1?)(1)?)(1?)(1?1(1?)(1?)(1?)(1 223234232010 参考答案 基础

31、训练题 一、填空。 20毫米； 5、 4 2、； 3、非负数；、互为相反数；1、2；2?0.11101。 1，； 11、； 9、8； 10、3 76、5或1；、5； 88 200 二、解答题。 ；1、25或87141 ； 5、 4、当3时，常数值为7；、2?x? 953个，无论如何翻转，杯口朝上的个数、不可能，因为每次翻转其中任意46 都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。 能力培训题 知识点一：数轴 1、D 例 ； 1拓广训练：、B2?a?5,2?a?553?5?4?3?4? 、因为，所以3 8或2例2、 、12 2601拓广训练：、或；ba?b?a 、3例 拓广训练

32、：1、题目有误。 例4、解：当时，；当时，；当时，. 4?a?4aa?4 44?a?a?4a?4?5拓广训练：略。 例5、C 拓广训练：1、2； 2、 3、D 三、培优训练 1、C 2、D 3、B 4、A 5、C 6、D 1195； 8、；7、 9、 ab?x? 1522110、5； 11、3，3，4；，1或3；997002 1x?21?x? 聚焦绝对值 例1、2或8. 拓广训练：1、4或0； 2、A 例2、A 拓广训练：1、通过零点值讨论得a=5,b=5;所以a+b=10. 三、培优训练 1、A; 2、B； 3、D; 4、A; 5、A; 6、B； 7、B； 8、C 9、1； 10、1或3； 11、0； 12、7； 13、零点值分别为2，4. 略。(分三种情况讨论) 14、3； 、-2； 、1； 、2 15、加油站应建在D,C两汽站之间(包括D,C两汽车站) 16、95172 有理数的运算 162 ； 例1、拓广训练：1.2 11 34例2、拓广训练：1004、拓广训练：例3 20091 、拓广训练：例4 200