多元函数微分法及其应用

1、第八章多元函数微分法及其应用一、基础题1单项选择函数的定义域是（）ABCD解：C因为应满足不等式组由于，所以2填空已知函数，则_解3求下列函数的极限（1）；（2）解（1）（2）4证明下列极限不存在：（1）； （2）证（1）当沿直线趋于时，有，显然它随的值不同而改变，故所给的极限不存在（2） 因为 ，所以所给的极限不存在5证明证 因为 要使 ， 只要，所以，取，就有成立，即6求下列函数的偏导数：（1）；（2）；（3）；（4）解 （1） ， （2） ，（3） ，（4） ，7求下列函数的二阶偏导数：（1）； （2）解 （1） ，（2） ，8设，求解从而9设，求解 因为 ，所以 10求下列函数的全微分

2、：（1）； （2）解 （1）因为 ，所以 （2） 因为 ，所以 11设，讨论在处：（1）的偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？解（1），同理（2）由于，在直线上可见不存在同样不存在因此在点不连续（3）由于令，则因此，在点可微12设，而，求解13求的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）解将中间变量依次编为1,2号，则14设，而为可导函数，证明证15设，其中是可导函数，验证证，故16设是由方程所确定的二元函数，求解方程两边求微分，得从而17设，求解，18设，求解 方法一设，则 ，所以 方法二方程两端分别对求偏导数，得，解得方程两端分别对求偏导数，得，解得方法三方程两端求全微分，得

3、，解得 ，所以 19设，求解设，则于是20设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足证令，则，所以 ，于是 21设，求解 设，则 ，在 的条件下，有 ，22已知，其中是和的函数，求证：证方程两边对求导，得，所以，方程两边对求导，得， 所以从而 故 23求曲线在点处的切线及法平面方程解点对应的参数曲线在该点处的切向量，于是曲线在给定点处的切线方程为法平面方程为 ，即 24求出曲线上的点，使在该的切线平行于平面解因为，设所求点对应的参数为，于是曲线在该点处的切向量可取为已知平面的法向量为，由切线与平面平行，得，即，解得和于是所求点为或25求椭球面上平行于平面的切平面方程解设，则曲面在点处的一个法

4、向量为已知平面的法向量为，由已知平面与所求平面平行，得，即，代入椭球面方程得，解得，则所以切点为，所求切平面方程为，即26求旋转球面上点处的切平面与面的夹角的余弦解设，曲面的法向量为，曲面在点处的法向量为，面的法向量为，记与的夹角为，则所求的余弦值为27求函数在球面上点处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数解设，则，于是球面在处的外法线方向向量可取为，的方向余弦为，又故28问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值解函数在点处沿方向的方向导数最大，而，故方向导数的最大值为29求下列函数的极值：(1)；(2)解(1)解方程组，得驻点又，由判断极值的充分条件知：在点处函数取得极大

5、值(2) 解方程组得驻点又 ，在点处，故不是极值；在点处，故不是极值；在点处，故是函数的极大值；在点处，故不是函数的极值；在点处，故不是函数的极值30求曲线在点处的切线及法平面方程解点对应的参数曲线在该点处的切向量，于是曲线在给定点处的切线方程为法平面方程为，即31求在点处的梯度解因为所以32求函数在抛物线上点处，沿着这抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数解先求切斜率：在两端分别对求导，得于是，切线方向，又，故33试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上截距之和等于证设，则曲面在点处的一个法向量为曲面在处的切平面方程为化为截距式，有所以截距之和为34在平面上求一点，使它到及三直线的距离平

6、方和最小解 设所求的点为，则此点到三直线的距依次为三距离平方和为由求得驻点由于驻点唯一，且根据问题本身，知距离平方和最小值一定存在，故所求点即为35要造一个容积等于定数的无盖长方体水箱，应如何选择水箱的尺寸，方可使它的表面积最小解方法一：设水箱的长、宽、高分别为，则水箱的表面积为约束条件为作拉格朗日函数由，解得是惟一的驻点，由问题本身可知一定有最小值，所以表面积最小的水箱的长和宽都应为，高为方法二：本题也可用无条件极值来做设水箱的长、宽、高分别为，则水箱的表面积为且，则由，解得由于是惟一的驻点，由问题本身可知一定有最小值，所以表面积最小的水箱的长和宽都应为，此时高为36求内接于半径为的球且有最

7、大体积的长方体解设球面方程为，是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点，则此长方体的长、宽、高分别为，体积为令，由，解得，代入得故是惟一驻点，由题意可知满足题意的长方体必有最大体积，所以长方体的长、宽、高都为时体积最大37求函数在点的泰勒公式解，函数为二次多项式，三阶及三阶以上的各偏导数都为零又将以上各项代入泰勒公式，得38求函数在点的阶泰勒公式解，又，将以上各项代入泰勒公式，得其中 39某种合金的含铅量百分比（%）为，其熔解温度为，由实验测得与的数据如下表：(%)36.946.763.777.884.487.5/181197235270283292试用最小二乘法建立与之间的经验公式解设是各个数

8、据的偏差平方和，即，令整理，得计算，得，代入方程组，得解得二、提高题1单项选择：（1）二元函数在点处两个偏导数存在，则在该点（）A连续B不连续C可微D不一定可微（2）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点的坐标是（）ABCD解（1）D由在点处可微、可偏导、连续的关系知可偏导与连续无关，可偏导也不一定可微（2）B设的坐标为，则曲面在该点的法向量为，它与所给平面的法向量平行，即，所以，此时2填空：（1）（2）设，则求（3）设，则在点处的值为_解（1）0（2）因为，令，则即，此时，从而（3）由于混合偏数的连续性，它与求导次序无关为简化计算，先求，3设，而，求，解4设，而，求解5设，求解，6求下列函数的

9、，（具有二阶连续偏导数）（1）；（2）。解（1）令，并将依次编号为1,2，则，（2）（2）令，并将依次编号为1,2,3，则，；7设求解设，则，于是8设函数，其中可微，且连续，求解 两边同时对中的求导，有，所以 同样可求得 故 9设，其中都具有一阶连续偏导数，求 解 记分别为编号1，2, 3，并对方程两边对求导，有，而，所以 ，故 10设，其中具有一阶连续偏导数，求解此方程组可以确定两二元隐函数：，分别在方程两端对求偏导数，得 ，移项整理得 在 的条件下，解方程组得；11求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数解先求切线斜率：方程两边对求导，得 ，即或 ，法线斜率为，故内法线向量为，又，故

10、12求曲线：在点处的切线和法平面方程解当时，故切线方程为法平面方程为，即13求曲面平行于平面的切平面方程解设的切平面平行于已知平面，处的法向量为，故由，得于是，所求平面方程为，即14设直线：在平面上，而平面与曲面相切于，求解先求平面的方程：设，则，在点处曲面的法向量为，切平面即平面的方程为即再将化为参数方程：为求直线上一点，在解方程组中，取，方程组变形为因此直线的对称式方程为 ，从而直线的参数方程为 代入平面方程，得即所以15设，而，验证证16设，而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数试证明证分别对与两端求全微分，得由，有由，有，即由，有即从而17求函数在由直线轴轴所围成的闭区域上的

11、极值，最大值，最小值解令，解之，在内有又，在处，故在处取得极大值又，当时，对求导并令导数为0，有，相应地，而，故在上的最大值为，最小值为18在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小求这切平面的切点，并求此最小体积解设椭球面上一点，令则椭球面在点的法向量为过的切平面方程为：即该切平面在轴上的截距分别为，切平面与三坐标轴所四面体的体积为现求在条件下的最小值令解方程组，得即当切点坐标为时，切平面与三坐标轴所围的四面体的体积最小，最小体积为19在平面与三坐标轴所围成的四面体内作一个以该平面为顶面，在坐标面上的投影为长方形的六面体中体积体积最大者解 六面体的体积为令解之

12、得驻点因为又所以在处取得极大值，即最大值最大值为三、考研题1（97,3分）二元函数在点（）A连续，偏导数存在B连续，偏导数不存在C不连续，偏导数存在D不连续，偏导数不存在解：因为 即偏导数存在，但故选C （由该极限式子可知在处没有极限）2（06,4分）设与均为可微函数，且已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）A 若，则 B 若，则C 若，则 D 若，则解：由于，由解得,代入，成为由复合函数求导数、隐函数微分法以及极值必要条件，有其中若，得，未必，也推不出若，则，因此必有故选D3（05,4分）设函数 ，其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（ ）A B C D 解： ，由此看

13、到故选B4（05,4分设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程（ ） A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数，B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和，C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和，D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和解：令 ,，由隐函数存在条件，不能保证A正确，也不能保证B、C正确，而可以保证D正确故选D5（05,4分）设函数，单位向量，则解 ，而由方向导数的计算公式得 6（99,5分） 设是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求解 上述每个方程对求导，得方程组项这是以为未知数的二元一次方程组，解得7（97,7分）设函数具有

14、二阶连续导数，而满足方程，求解设，利用复合函数求导法，有，代入并整理，有这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为，特征根为因此，其中为任意常数8（96,5分）用变换可把方程化简为，求常数，其中有二阶连续的偏导数解 由复合函数求导法，得再用复合函数求导法 代入并整理：于是，令，得或当时，故舍去当时，因此仅当时化简为9（91,5分）设是曲面在点处的指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数解 曲面上点的法向量为，在点指向外侧，取正号，并单位化得而所以 由方向导数计算公式，有 10（04,12分）设是由确定的函数，求的极值点和极值 解 由 ，有 (1) (2)为求驻点，令，得 再与原方程联立解得

15、,为求判别量，再将（1）分别对求偏导数，将（2）分别对求偏导数,得，将点代入，并注意到，于是，所以 是 的极小值点，极小值为 将点 代入，并注意到，于是，所以 是 的极大值点，极大值为 11（02,7分）设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占区域为，小山的高度函数为（1）设为区域上的一个点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界曲线上找出使（1）中的达到最大值的点试确攀登起点的位置解（1）由梯度向量的重要性质，函数在点处沿该点的梯度方向

16、为方向导数取最大值即的模，所以（2）按题意，即求在条件下的最大值点也就是在条件下的最大值点令，则有解此方程组：将式与式相加得，即或若，则由式得，即若，由或均得，代入式得，即于是得可能的极值点为现比较在这些点的函数值：因实际问题存在最大值，而最大值又只可能在中取到因此，在取到在的边界上的最大值，即可作为攀登的起点四测试题1单项选择题（1）已知为某函数的全微分，则为（）A1B0C1D2（2）已知函数在点的某邻域内连续，且，则（）A点不是的极值点C点是的极大值点C点是的极小值点D根据所给条件无法判断点是否为的极值点（3）函数在点处存在，则在该点（）A连续B不连续C可微D不一定可微（4）函数在驻点处取得极大值设，则有（）ABCD2填空题（1）函数当时的全微分_（2）设函数，且，则为_（3）函数在点处沿点指向点方向的方向导数为_（4）由曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面在点处的指向外侧的单位法向量为_3设，具有二阶连续导数，求4设函数在点处可微，且，求5求过直线：且与曲面相切的平面方程6抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离测试题解答