周世勋量子力学习题解答第三章

1、第三章习题解答3.1 维谐振子处在基态中(x) =(1)势能的平均值u动能的平均值t2 2xa2,求:2(3)动量的几率分布函数。菽解:(1) u =1 j 2x221，二 2-：e-2=ctvb 2 h-2-22口 产2 / x edx22ndxex22：2-ax(x) ?2- (x)dx2 ：-x(-22：dx2)e2、,2 瞰xdx(2n 1)一 (1-r2 2、x )e-：2x2dx-：2x2a.dx -二2-：2x edx2;.支/ 2履衣2 2近 2n 2a 4n肇=1方切4_ 1 t 1 t 1 *薄或 t = eu = - % 立通=一244蓬(3) c(p)=/ p(x)5

2、(x)dx1 2 2i1 严 22 胪修=j e 11 je 2 e dj21i ct 00 -(/x rpx1s 二百：产 e dx舞一工区e1(x臣v1 1 - -tp2t2-产 w(x劳=ek be , 工 .直=看(净力=( 鬟蛔动量几率分布函数为21_pl片 叫p) c(p)e段蜩# y1赣3.2.氢jo处在基态中(力了)=-(= 如34p拄lx为dxip、2dx、e吊j0,求:(1)r的平均值;e2.(2)势能一的平均值; r最可几半径;(4)动能的平均值;(5)动量的几率分布函数。解:2r = r- (r,u, ) d .1 二 2 二二嬴 i i lre-2r/a0r2 sin

3、 drdf d :3a。二 3_2r/a。.r a drn _axn!0xe dx 二 a-u =( -r2e3 二 a。4e22e_ 3- a。2二二 1 ejr/ar2sin drdu d :二 2 二二 nr/ai i e 0rsin - drd - d3 a。4e2co0e_2r / a,0 r dr3a。a。(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为(r)dr = (r, - , )2 r2 sin - drd - d = 43 e2比 r2dr00a。4 口/a。2(r) = 3 e ra0d (r)4dr(2- 2 r)re，/a0a。d (r)dr=0, 一 r1 = 0,r1

4、 =0, r2 二 a。=oe时，s(r) =0为几率最小位置d2co(r)dr2d %(r)dr2r =a,4小 8_ f(2raoa0=a0是最可几半径。t?=2?2-2t =2膀二一3a0-22.22二2二二 11 12-0 003a02a022r/a0r )e、21 f 2 f1.= 2 (r )r2 h 汗3 e二 ao_r / a, e，/asin 二(sinr叭 2(e-c/a0)r2 sin i drd)d12 d r2 d (edr drr/a0)r2sin drd【d ：al (422a：a02 /2a0 (2vr0 (2r - )ev a-r/a0dr2a0-22%；(5

5、) c(p) = p(r”(r,u, )d膈 c( p)=(2 二)3/2-r/ ao2_r dr ecos u2 二sind l(2二)3/2二 a-2 - r/a, 3. 0 r e 0itdr e小r cosd (- cos -)（2二一严；元(2二 一)3/2产 2 _r/a0 ,亢4pr cos9r e 0dr 一 e h oo71ipr-e 一那）drn _axn!0xe dx1hr - .，二a3 ip/ 1 i 、2/ 1 i 、2(- .p) ( p) a0a014ipmh）2(a02p22)2(2a0)3/2-ba02p2 +於)24 - 4 a。腿动量几率分布函数,28a

6、3在5腿皿p）=c（p）| 二f2 卉2、4二（ap ）肇#薄3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是螂jer = jeh =0je ：=e mrsin1,-；nm曹 证：电子的电流密度为- i 九.*黄je=-ej =飞气促 nmu5n，mnm*nfm）2着在球极坐标中为i - bsi 1 - bsi, -1 h&l羁 e = e + e 口 , e(dr 嚼日 ursine 濯9衿式中er、ea由为单位矢量je1 - ；1；- =多 j nm(ere . e2 r r .)一中；m(er +1e0；:rr一 . e ：pi-j：nmie-*-2nm；nm，f nm)

7、e，nmn m ) e !- (rsin 1r sin1b7nm中的r和日部分是实数。jeie2r sin)(-imnmt-imfjnm|2)eq)=rsin)可见，j er=je1-0r sin，二 nm荽3.4(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为(si)(cgs)jc由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的ow原子磁矩与角动量之比为mzlze(si)2e e (cgs)2日c袂这个比值称为回转磁比率。解：（1） 一圆周电流的磁矩为dm =ia = je ds a（i为圆周电流，a为圆周所围面积）.22r sin-n m ds -二(rsin )eymbsin 叩

8、n,m|2dseym2 sin 邛 nm|2drdh(ds = rdrd )（2瓶原子的磁矩为is 严 emm = dm =-一 二七金|2r2sin drd日同由vnm|2r2 sin drd ir 2sin /drd dsmjsi用在cgs单位制中 m = e m2%蒙原子磁矩与角动量之比为m z m elz- = l二 一2工(si)mz _ el一 c(cgs) #腿3.5 刚性转子转动惯量为i,它的能量的经典表示式是h求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：（2）箍转子绕一固定轴转动：（3）（4）节转子绕一周定点转动：l22i，l为角动量,蚀解：（1）设该固定轴沿z轴方向

9、，则有l222哈米顿算符 h? = 1 lz ： . d 22i 2i d 2其本征方程为（h与t无关，属定态问题）2 d22i d 2()=e ()d2 ( ) 2ied 2 : 一 2量 令m2 =不一,则d ,：)+m2oy) =0肄取其解为（p）= aei（m可正可负可为零）神由波函数的单值性，应有瞧g+2$ =千片eim峰m =eim祎即ei2中=1螂 m= 0, 1, 2,未勺转子的定态能量为em=m2i（m= 0, 1, 2,）鬟可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为im 二, m = ae英a为归一化常数，由归一化条件d = a2 2 二1 =a =转子的归一化波

10、函数为im !e综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。蒂（2）取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为腿h? = 1- l?2i菜h?与t无关，属定态问题，其本征方程为滕l|?y。中）=ey但严）2i膂（式中丫（日3）设为h?的本征函数，e为其本征值）芳？丫（日卅）=2iey （日，邛）祎令2ie =炉2 ,则有l?y(u, ) =2y(u,)此即为角动量l?2的本征方程，其本征值为 成 l2=九方2 =调+1)*( = 0,1,2，)吊其波函数为球谐函数ym（e/p） = n mp”（cos）eimg莆 转子的定态能量为曲肛1户 箍 e 号=2i成可见，能量是分立的，且是（2口:1）重简并

11、的。螃3.6设t=0时，粒子的状态为,(x) = asin2 kx 2 coskx唐求此时粒子的平均动量和平均动能。肇解: (x) = asin 2 kx +1 coskx = a (1 一cos2kx) +gcoskxa1 - cos2kx coskx 2a 1 / i2kx-i2 kx1 ikx-ikx=11(e-e ) + 2(e +e )2a 2二;i0x 1 i2kx2一 e-2 e1-i2kx-2e1 ikxiikx2e2e_1_2 二瞧可见,动量pn的可能值为02动能pn,的可能值为02 12k222k22k2-22k2-22a2方 对应的几率9n应为（4a216a216a216

12、史）,2芯16(28) a21-16一 a22 二-k ：2二二0162 p = 2 n2pn:匚n2=0 2k2 -22一225k2 28*shangshuyihe*袅3.7 一维运动粒子的状态是i . axe 一，当 x a 0(x)=业0, 当x图0(1)粒子动量的几率分布函数;(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由oo ,21 =(x)| dx =722”axedxa23/2 a 2(x) = 2 3/2xex(x -0)(x) = 0(x 0)c( p)=-12 二ekx (x)dx =(j/2 2 3/2 ； xe dk)x (x)dx e/ ik 二)xdx=(1/2

13、 x1/21(ik)2i pf i )21/2 xj 九书k)x i2 二ik 0动量几率分布函数为8(p)= c(p)23-32p2)22 - 2 22、2( p )(x) p (x)dx - i4 3 xedx(ex)dx-i%zq x(1 一九x)edx-i 九4小(x -，x2 )edx(.12) 4 2如果粒子的状态由波函数芨3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为(x) = ax(a - x)英描写，a为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。辐 解：由波函数中(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本 征函数和本征值为2 . n sin x, a a0

14、,enn2 2 22a2(n =1,2, 3,)动量的几率分布函数为(e) |cna n 二cn =(x) (x)dx sinx (x)dx二-0 a先把4( x)归一化，由归一化条件,2a1 = l/ (x) dx = a a2x2 (a 一 x)dx = a2(x2 (a2 一2- 2ax x )dx2 a=a 0(a2234.x - 2ax x )dx55= a2(a 2 a a-) = a2a- 53030n 二 ，、,x x(a - x)dx a2,15a 0xsinxdx - xsinxdx2 15. a2 n 二 a3. n二 a 2n二3xcos x 2sinx x cos x

15、a n 二 a n 二 a n 二 a232a n 二 2a n2-xsinx3 3cosn2 二2an3 二3 aax0.2皿e) = |cn|2401 -(-1)n296066， n 二0,n =1, 3, 5,n =2, 4, 6,e = _ (x)h? (x)dx =a?20 (x)： (x)dxa 30x(x -a) -2 d22 j dx2x(x - a)dx30 2%5a30 2 a3 a3、wli(i)n肃 解：在此能量中，氢原子能量有确定值22(n = 2)(=1)e；e；ss几e2 =1存2 2 =_；tk22 n 8w角动量平方有确定值为薄l2 1(! + 1)吊2 =

16、2 吊2 袂角动量z分量的可能值为冗lz1=0lz2=-充芈其相应的几率分别为蚁其平均值为lz=1。-3 = 一3444蛆3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为r - a;r a蔓求粒子的能级和定态函数。蟆 解：据题意，在ra的区域，u(r)=8,所以粒子不可能运动到这一区域， 即在这区域粒子的波函数片中=0(r *a)蒙由于在r，a的区域内，u(r)=0o只求角动量为零的情况，即1= 0 ,这时在各 个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度 日、无关，是各向同 性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与国邛无关。设为5(r),则粒子的能 量的本征方程为薄一一二二(r2j) =

17、e52n r dr drc 2 pe一腿令 u(r) =re叫 k2 =-,得2d d2u 2 n箍2- + k u = 0dr节其通解为u(r) = acoskr + bsinkr蚀一、a . b 一i 3(r) = coskr +sinkr rr波函数的有限性条件知，w(0)=有限，则前a = 0羁 ,（）= sin kr r蜜由波函数的连续性条件，有量 (a)=0 = bsinka=0 a肄 bh0 ka = m (n=1,2，)enn2 二 22 =2%2祎其中b为归一化，由归一化条件得(r)b . n 二 sin r aa2 21 = m d6 = c d中=0,(r) r sine

18、 dr 螂a_2. 2n 二 ._2=4二 b sin rdr = 2二 ab0 a1 神b =vba夔归一化的波函数n 二 sinr 1 a辑3.11.求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(ax)2 ,sp)2 =?赣 解： p = 0= 2t =5k224： .22 .12 ,a xsin kx - cos kx dx = 0二 a2 2. 212 .ax sin kx -coskx dx =ccc2c2(x) ( p) =(x - x)=(p - p)=：；蔻3.12.粒子处于状态-2(x)=(2二 21/2 ix)exp pox 4 2腿式中巴为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不

19、准关系 (ax)2 (ap)2 =?菜 解：先把5(x)归一化，由归一化条件，得=fa# 帝-j-h 几-2- 2ex22 2 dx =71是归一化的(x) = ex-(x2)2e 22d1、1/22)2 二pi pox -动量平均值为.dp =* ( -i) dx =dx-ij-=ojix)eipoxdx-i-7x2dxpopo二x2dx i 二xedx(x)00(p)2 =?x dx =-7x2dx2二xe-rx2dx（奇被积函数）xe-7x2-=o-7x2dxdxdx =,2_e%ox-改22 i2dpo x - x-edxdx2po22)i2二 p0 xe - dx-二 x e- dx

20、jojo2p02-2)0 (-7h）2二=(二一2p2)蓬#数。(x)2=x2.x2= 122(p) = p_2km 卜 22(2 p0)一2p0，2222(x) ( p)11/10补充2-二一21 .试以基态氢原子为例证明:中方是t城口的本征函数，而是t?+i?的本征函解:,-100t?二l?=t? 10011 3/2l) 2ea。-r / ao1 (a-2s)2 1 r22 es二 2 -.(r2 .)2 1 r2 ;r.r(r2sin1(sinu:二，二 100.r21 , 1 .3/22-中（：产（学常数都。00七00不是向勺本征函数2 1(rer 二 r-r /a012 a)100

21、arut 1000 100可见，中100不是u!勺本征函数而(t? i?)100(1 )3/2( 12 - 2 )e，a0 -e，100a0a0a0r-22日a；100+甲a0r100-2甲a0r 1002 1 12 a0100薄可见，匕00是(t?*i?)的本征函数。噩2.证明：l =、轨 l = 士内的氢原子中的电子，在9 =45口和1350的方向上被发现的几率最大。蒂解：wm(3邛)de =ymfg成：w，m(39) = ym|2荽l = $6 l = 士卉的电子，其 =2, m = 1 y21 (日，d)= -，15 sine cos6 eil 、8b勘“府口中丫2(日,1)= -si

22、nh cos* e袁 w2+(3) = ym =心sin2 日 cos2 日=sin2 21| 8 雪30前当e =45刑135白时15菱 w2a=4-为最大值。即在4 =45口，日135”方向发现电子的几率最大。3皿蔻在其它方向发现电子的几率密度均在 01期w10（a0） = -e，为最大值，所以处于 a0-之间。32 二蒲赚3.试证明：处于1s, 2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a0、4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大（a0为第一玻尔轨道半径）。期证：对1s态，n =1,国=0,“(a：)3/w10”r2r：0(r)c)3w101 ,322 2r/a0=()4(2r r

23、 )ea0a0芍令吗_ = 0=r1 =0,r2 =, 口 = a辑易见，当=口 =0,2 =q时，w10 =0不是最大值。1s态的电子在r = a0处被发现的几率最黄对2p态的电子n=2,圈=1, r21=(2a。)3/23a0er/2a0w21(r) = r2w211.r24a52a0)3匚 3a02人w21汽研令=0:rr1 = 0,24a3 rr / a0r (4 )ea0=门=0, r2 -,门=4a000时，w21 =0为最小值。5r2(12-8r ra0 a02屋沏83 e，。3a。1245 16a2(12-32 16)e-24a0r = 4a0为几率最大位置，即在r = 4a0

24、的球壳内发现球态的电子的几率最大。祎对于 3d态的电子 n = 3, b=2,r32 =()3/2l()2e/3aa08115 aw32g =r2|r32a7 812 156-r/3a0r ew32；r85“ 2r、812 15a7 r3aoe：2w32- 2r16 -f(15r812 15a7:2w32r =9a1812 15a72436a02 81a0 .6(9a0) (152一)ea09a0=r1 =0,2 =,易见，当=ri = 0, r2 =时，w32 = 0为几率最小位置。564r 2r、幺/3彻c 2)ea09a016 a63 e05a3,r = 9a0为几率最大位置，即在r =

25、 9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。成张p.74 21当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为q x 一2蜩4.证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离 分别为a0、4a0、9a0的球壳处的几率最（a0为第一玻尔轨道半径）。2腿 证：is： co(r)10dr= r10 r2dr1 1、3.-2r / ao 2 1艘=()4e r dra。,、，1、3.2 -2r/ao黄8io(r) =(一) 4r eaodco io1 32 2腿- = 4()3 (2r- -r2)edraoaoc, 1、31、 -2r/ao吊=8() (1 r )reaoao薄令 j =

26、 o,则得dr蚁门1=0 门1 = ao二/ 二现1)3 (1-2r)- ：r(1- r)e“r/ao draoaoaa=8(工)3 (1 一史 2j22)er/ao aaa0rn =o为几率最小处国0 m =ao为几率最大处。2p：21(r)dr = rr2dr常令3a2r/a。2e 0 r dr1 、1 21(r) - ()2a0d 21d2%dr2a0,2 21-2 e 3a02_r/a024a；24a5(1则得r22 =4a00 9re 4a0 时,2 103d :32(r)二r321(4 r )ra03_r /a0ea0 a0r22 = 4a02)2_r/a0r e3 =4a0为最大

27、几率位置。r = 0为几率最小位置。2rdr 98415a：98415a76 3a0 r e2r(5 一2r3a5)r e-3a031= 0,同理可知31 = 0为几率最小处。32 =9a0为几率最大处。5.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：1( x) = 22 xe 2 *i(x) = i i(x)2 32x2x - x )e22一 x )xex2322：2-2x2x2e- xdx2d2 1口=0,得dx=_ 1. = _匚0-=xi =0dx2xi=0为几率最小处。d2 idx2x1 030,x2x -4-x2t20为几率最大处。6.设氢原子处在（r3,）二 a3r ao的态

28、（a。为第一玻尔轨道半径），求2 lu12 lu2r的平均值;势能e_的平均值。解:二 a。1-3 3 2 1 (3ao3 2a03a。一2 dr sin d d00a0|m4 二 re2ra0dr2 es3a。a。7.粒子在势能为u1,当唱0u2,当x 士a节的场中运动。证明对于能量e同5同u2的状态，其能量由下式决定:神ka = n,-sin（其中k =2 le21t)证：方程2 d2 i2 1 dx2ui i = e1- ii(x 0)筮令支蚂则得d2,- 2ii0 ii2 i dx2-2 d2- m2 dx2 u2-iiid2 idx2dj- k2 ii =0 dx，。dx蔗其通解为二

29、xx=cie dieii=asin(kx 二 )一川_ c xx二 c?ed 2ee- ii= e- iii2e一2(ui-e)2, k(0x a)(x -0)2 l(u2 -e)-2,腿利用标准条件，由有限性知s s量 x s, w 0,d1 =0裂 x = +g,中川=0,c2 =0用；k =cie” v ii = asin(kx + 6)*“川=d 2e 先由连续性知腿 匕(0) =wi(0)= c1 = asin$羁匕(0)=;(0)= ac1 =kacos6肇 “ ii (a)=中 iii (a)= asin(kx + 8) = d2e平蛔 中 ii (a) = iii (a) =

30、kacos(kx * 5) =pd2e平蒙由、，得蜜 tg& =a膈由、，得肆 tg(ka + $)= /羁而 tg(ka+$)= tgka史1 - tgka tg$覆把、代入，得tgka g 一, 1 - tgka tg5 日*一芈整理，得 -tgka =k 工1 - p-tg5藏k丁磔童tg（周一 ka）=d k- 1 - 3tg戴令k tg =k x -lg6芨tg（卓一 ka） =k= tg（1 + ）1 一百tg&妨nm ka =丘 + b黄ka = nsf-bs 一 d人 hzftgx/ 日衿田sinx = 1,行#+tg2x#肆第三章力学量的算符表示暮莆3.设波函数中(x)=si

31、nx,求(_d_)x绅x_d = ?dxdx瞭 解：原式=()x(3)x卅x9x_dw dx dxdx dx童=()xsin x + xcosxk -x axcosxdxdx薄=(sin x + xx) + x(cosx + cosx - x) - x(x - x)盾=sinx + 2xcosx黄 4.说明：如果算符 国和8都是厄米的，那么英(a + e?)也是厄米的节证： 卜 1*( + e?/ 2dw =卜；加 2dt +卜；g 2dt=卜2(61)*+拓曲1)* db=卜 21(犬 + 卅 i * db辐 a + e?也是厄米的。蚀赣5.问下列算符是否是厄米算符： 1 莅 ？?x一(？?

32、x * ?x ?)2蒂 解：卜；(艰卢2d卜卜；？(？出2冲4科 1)* ?xkd1=(?xi)d辑 因为 ？x ? h /?x莱x?x不是厄米算符。-* 11*1*蜩?，（福+ ?x?）卅2d万事i（?x严2d万i（px?以dt1-1_*神=2|（?x?g1）”+（弧5 1）5 2dw1 _ _ *一一蝇=n-（?x + ?x?）m1i jdt.21 一 一 一 *二肌不（？x? + x?x）v 1 v 2d| 2瞧： x?x + ?x?）是厄米算符。#2藏6 （略）#7.如果算符度伊满足关系式？枷=1 ,求证蛔m2 仪2改=2区节第3_?3=3学聿 证： ?2 _?2滔=（1，?2闻？2岛黄=酢+?一叫？嵋=?2 + ?（1+炳?2w蚂=2 ?腿造3 _ ?3（? = （2 r，r2%一仗3必放e2?2 +?造-？3阖袅=2（?2 +（?2（1 + 均一肾由肃=3区2腿