Akuang组合投资收益与风险模型

1、安徽工程大学 数学建模 课程设计论文题目：组合投资的收益和风险问题姓名：匡泽仁班级：数学112指导老师：周金明成 绩：完成日期： 2013年7月3日摘要本文以历年投资利润率的数学期望作为未来五年的预期投资利润率的度量指标，以 历年风险损失率的数学期望作为未来五年的预期风险损失率的度量指标，建立一定资金 在一段时期的无风险投资获得利润最大单口标线性规划决策模型，和有风险投资获得利 润最大，风险极小化多LI标线性规划决策模型.并给出模型简化方法.最后理论联系实 际，对各工程已经给出的数据，运用mat lab编程，用历年的投资利润率和风险损失率 的平均值来预测未来五年的投资利润率和风险损失率.最后在

2、有借贷、存款的情况下给 出模型.并且通过lingo线性规划，算出了各种情况下的最佳投资方案和获得的最大利 润本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。问题一是一 个典型的线性规划问题，我们首先建立单LI标的优化模型，也即模型1,用Lingo软件 求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为 153254. 4万元。问题二是一个时间序列预测问题。分别在独立投资与考虑工程间的相 互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。两种情况下的预测思路与方 法大致相同。首先根据数据计算出到期利润率，将每一个工程的利润率看成一个时间 序列，对该序列的

3、数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间 序列。再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾, 偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型(简称MA(l)o接着, 用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各工程未来五年的投资利润 率。对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的 投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的 风险损失率。 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其H标仍是第五年末的利润最 大，而且也没有考虑风险问题，只是约束条件改变了。我们建立非线

4、性规划模型，仍用 Lingo解得大利润为620589. 7万元.该模型通过二次移动平均法和建立线性规划模型，预测出了市场到其利润率的变 化趋势，得出了组合投资的风险与收益的优化方案。关键词：投资利润率，风险损失率，本利，线性规划，非线性规划，风险损失率二次平均 移动法重述某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个 投资工程（如股票、债券.房地产.）可供公司作投资选择.其中工程1、工程2每 年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；工程3、工程4每年初投资，要到第二年 末才可回收本利；工程3、工程6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；工程7只 能在第二年年初投资，

5、到第五年末回收本利；工程8只能在第三年年初投资，到第五年 末回收本利.现在需要解决的问题是：1、试根据附表1中表1给出的数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得 利润最大？2、8个工程独立投资的往年数据见附表2实际还会某些出现工程之间相互影响， 同时对工程3和工程4投资的往年数据：同时对工程5和工程6投资的往年数据；同时 对工程5、工程6和工程8投资的往年数据见附表3（注：同时投资工程是指某年年初投 资时同时投资的工程）.试根据往年数据，预测今后五年各工程独立投资及工程之间相 互影响下的投资的到期利润率.风险损失率.3、未来5年的投资计划中，对投资工程1,公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在

6、 工程1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各工 程的投资；工程5的投资额固定，为500万，可重复投资；各投资工程的投资上限见附 表1中表4.在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使 得第五年末所得利润最大？4、如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？5、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司 可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司乂该如何对5年的投资进行决策？2模型假设2.1假设存银行投资为第0种投资，到期利润率为常量內（因银行利息不变），风险损 失率为,其值为0；2.2假设投资不需要交易费

7、，或者交易费很少，远远少与投资额；2.3假设投资各个工程的到期利润率，风险损失率均为数学期望，且在这段时期（5年） 内都不变；2.4假设当用这笔资金投资若干个工程时，总体风险可用各年风险损失总和来衡量；2.5假设题口表3中给出的一些同时投资工程才有互相影响，其他工程则没有相互影响, 且不同时间投资的工程也没有互相影响；2.6工程可以重复投资，且不影响之前的投资；2.7假设银行利息小于其他投资的利润率.3模型符合说明勺：公司第i年初投资工程J的资金，心15J = 18；打：公司第i年末投资工程j的到期本利，f = 1.5J = 1.8；召：公司第j年初所有可投资的资金,Z = 1.6；円：购买j

8、工程到期利润率,j = l.8；q厂购买j工程风险损失率,/ = 1.5, j = 1.8 ；丿：）I】程的投资上限，J = 1.8 ：q：第i年向银行贷款数，7 = 1.5;:第i年银行能贷款的最大限额，,=1.54模型准备4. 1模型分析这是一个公司一定资金在一段时期（5年）内对若干个工程投资决策的问题.本模 型要求给该公司设计一种投资方案，确定在这段时期（5年）内各个时间段（一年）在 各个工程上投入的资金，从而使得这段时期末（第3年末）获得预期最高利润，即收回 的本利最多；如果考虑到投资风险，则使预期收益和投资风险达到投资者最满意的程度. 4. 2数据处理4.2.1投资上限从题H中的表1

9、、表4 （见附录1）,我们可以把表中的上限都化成单位为亿元，这 样处理方便后面的计算分别得到（下表1、2）：表1各投资工程的投资上限和到期利润率工程12345678预汁到期利润率P0. 10. 110. 250. 270.450.50.80. 55上限“（亿元）63433243注：到期利润率是指对某工程的一次投资中，到期回收利润与本金的比值.表2各投资工程的投资上限工程12345678上限“（亿元）663.5334334.2.2独立投资的到期利润率1）为了问题简单化，也一定程度上反映出预测效果，可以把历年的到期利润率的 平均值看成未来五年的预测期利润率，那么对题U中的表2中1986年到2005

10、年历年来 的的数据通过matldb算出他们每年各个工程的到期利润率，仍后求他们平均值（如下 表3）：工程12345678预计到期利润率0.15020.14860.35130.26671.31271.07927.60602.6588表32）为了使得预测更加的准确，我们可以对历年的数据描点，通过1到10次多项次 的拟合，仍后对拟合出来的函数，得到历年拟合到期利润，算出真实数据与拟合数据的方差，认为方差最小的函数就是工程到期利润率随时间变化函数，仍后通过他算出未来 五年的到期利润率，最后算出他们平均值，认为这就是预测到期利润率，这些都可以用 mat lab得出（见下表4）：工程12345678预汁到

11、期利润P0.15890.14570.35070.25901.19171.05996.64152.5208表44.2.3独立投资的预计风险损失率因为表中的数据中1、2、3、4工程没有负数，我们认为他们都没有风险或者风 险都很小，可以忽略不计.而5、6、7、8我们可以对出现的负数进行作如同到期利 润率的处理算出他们的预计风险损失率（如下表5、6）：1）通过求出各个年份的风险损失率求得的平均值（即数学期望）：工程5678预计风险损失率g0.86430.83815.77591.3993表52）可以对数据的曲线拟合得到预计风险损失率:工程5678预计风险损失率q0.86230.83715.77541.3

12、343表64.2.4同时投资的到期利润率（同表2处理）1）通过求出各个年份的到期利润率求得的平均值:工程同时投资3. 4同时投资5. 6同时投资5、6、83456568预计到期利润P0.46470.43310.60130.67300.69700.75031.4025表72）可以对数据的曲线拟合得到预讣到期利润:工程同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、83456568预计到期利润P0.46450.43210.60130.67300.69700.75031.4025表84.2.5同时投资的预计风险损失率（方法同表3）1）通过求出各个年份的到期利润率求得的平均值:工程同时投资3、4同时投资5

13、、6同时投资5、6、83456568预计风险损失率g000.86530.84510.87020.85121.4035表92）可以对数据的曲线拟合得到预汁到期利润:工程同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、83456568预计风险损失率q000.86230.84510.88020.75031.4125表105模型的建立与求解5. 1无风险投资在没有风险情况下，给定投资额20亿元、各工程的到期利润率和投资上限（见表1）, 算出第5年末的获得的最大利润，建立模型（I ）为：x门=OJ = 1、3、4、5兀 8 =0=1、2、4、5門x. (1 + Pj), (i = 1、2、3、4、5, j

14、= 1、2、7、8) yij = 6) 20,/= 1乙J = 2、3、4、5u-1通过lingo编程（程序见附表4）,获得第五年末的最大利润17.414亿元. 各工程每年的投资额（只的行表示年份，列表示工程，没有列出来的都为0）：x( 1,1)5.154545X(2)3.000000X(3)3.845455X(4)3.000000X(5)3.000000X(1,6)2.000000：(2,5)3.000000X(2.6)2.000000X(2.7)4.000000X(3,4)06168182X(3,5)3.000000X(3,6)2.000000X(3,8)3.000000X(4,2)035

15、00000X(4,3)4.000000X(4,4)3.000000X(5,1)5521859X(5,2)3.000000问题简化：山于每个工程的到期利润率，平均到每年的利润率不同，山高到低为工 程7、8、6、5、4、3、2、1.根据投资常识，我们尽量多的把资金投资到利润率较高的 一匸程上才能获得更多的利润山此我们会先使利润率高的工程达到上限，从而获得利润 最高.这使问题简化.我们按照每年一步一步的计算，也可以得到粗略的算出最高利润 17.413亿元，偏差不大.5.2无风险有捐赠的投资在没有风险情况下，给定投资额20亿元、各工程的到期利润率（表3）和投资上限 （见表2）,投资工程b公司管理层争取

16、到一笔资金捐赠，若在工程1中投资超过20000 万，则同时可获得该笔投资金额的理的捐赠，用于当年对各工程的投资；工程5的投资 额固定，为500万，可重复投资算出第5年末的获得的最大利润，建立模型（II）为：8xn = Oj = 1、3、4、5 = OJ = 1、2、4、5xi5 = 0.05/r e ZXijQ + Pj）g2,; = 1x.（l + p：）J = 1、2、3、4、5, j = 2、7、8（II ）Gj（1 + M = 2、3、4、5J = 3、4Xj2j（l + P/），i = 3、4、5, j = 5、620=1X X-i J，i= 2、3、4、58Zfh工列J-l山于此模

17、型求解比较困难，我们可以确定工程5的投资额兀5,通过对，取不同的值 去估算最优解山于工程5投资有上限，则八也就只有7个值（包括0）.通过lingo编 程，得到第五年末最大利润率，其值为：64. 86812亿元.各工程每年的投资额（兀的行表示年份，列表示工程，没有列出来的都为0）：X( 1, 1)6.000000X(2)3.000000X(3)4.000000X(1,4)2.000000X(lz5)3.000000X(6)2.000000X(2,1)1.347000X(2,5)3.000000X(2,6)2.000000X(2,7)4.000000X(3,3)1.487919X(3,5)3.00

18、0000X(3,6)2.000000X(3,8)3.000000X(4,1)4096500X(4,3)4.000000X(4,4)3.000000X(5,1)6.000000X(5,2)3.0000005.3有风险，有捐赠的投资如果考虑投资风险，重新决策问题三的投资，建立模型（III）: 8尸185min $ =工。网J=1 i=lxn = 0J = 1、3、4、5兀 8 = 0, j = 1、2、4、5 xi5 = 0.05r9 r e zXijfx”(l + Pj)“ 2J = 1(HI)yf. = xit (1 + 匕)=1、2、3、4、5,丿 = 2、7、8+ Pj)，i = 2、3、

19、4、5, j = 3、4兀-2j(l +匕)J = 3、4、5, j = 5、620J = l8Zf n Dij模型简化：可以把风险损失总额s与到期利润总额“加权的得到他们二者的关系:这样就可以把有风险投资获得利润最大，风险极小化多LI标线性规划决策模型转换 成有风险投资获得利润与风险两者都满意的单U标线性规划决策模型（IV ）：max * s + “ * (1 一 a)xn =0, j = 1、3、4、5 兀 8 = 0,i = 1、2、4、5幻=o,j = l. 4兀 5 = 0.05r,r e ZXijZj(1 + 匕)吗2J = (IV)S(l + J,j = l、2、3、4、5, j

20、 = 2、7、8 + Pj)，i = 2、3、4、5, j = 3、4 齐-2 j(1 + Pj)，i = 3、4、5, j = 5、620,/= 1X-ijJ = 2、3、4、5lAi乙XijJ-l通过代入不同的3值就可以得到最佳的投资方案，山于人往往偏重于利润，对风险 在意的较少，所以d值小于0.5,我们不妨取0.25来运算，通过1込旳编程（程序见附 表5）,得到加的最值58. 67829亿元.各工程每年的投资额（x的行表示年份，列表示工程，没有列出来的都为0）：X(1)6.000000X(2)3.000000X(3)4.000000X(4)2.000000X(lz5)3.000000X(

21、1,6)2.000000X(2,1)1.347000X(2,5)3.000000X(2,6)2.000000X(2,7)4.000000X(3,3)1.487919X(3,5)3.000000X(3,6)2.000000X(3,8)3.000000X(4,1)4096500X(4,3)4.000000X(4,4)3.000000X(5,1)6.000000X(5,2)3.0000006模型的推广6. 1借贷，有风险投资为降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行；为了获得更高的收益，公司可在银 行贷款进行投资，这我们可以在此模型的基础上，作一些更改，如投资总额就没有限制， 也不存在闲钱放在口袋不用

22、，但如果贷款的，就要考虑贷款所要支付的借贷利息/ （五 年内不变）和最多每年能贷款叫.可以建立模型（V）：max= *5 + z6 *(1-a)工qxti-ixn = OJ = 1、3、4、5= 0,i = 1、2、4、5q t =0J = 0、l、2、3、4xi5 = 0.05r,r e Z州(1 + 匕)，心 2,j = l(V)y.=州(1 += 1、2、3、4、5, j = 0、2、7、8召-i /1 + Pj)J = 2、3、4、5 J = 3、4 xj(l + /J)J = 3、4、5,丿=5、62O + cpz = lr8OS+H、3、4、5U-i c1 j j 0, j八，八0

23、, 0, o z=, 0, 0, 0, 0, 0, o,0, 0, 0, 0,八，0, 0,八，0, 0,八,八,ozx=20,，enddatamax=sum(x8(i) ：z(5v i)+h(5)*20o!第匚年的总投资2X(i)ofor(x5(i):zx(i) =sum(xS(j) :x(i, j)。!第匚年的本利总额m(i)。for (x5(i) i HGTtt I:m(i)-Ssum(x8(j) :z(il, j) o!投资余额。for(x5(i) |i 3GT5 1 :h(i)=h(i-l)+m(i)-zx(i)ofor(x5(i) |i SGTS l:zx(i)=m(i)h(i-l

24、)o0for(x8(j)：p(j)=l+r(j)o!利率计算。for(x5(i) :z(i, l)=p(l)*x(i, 1) ofor (x5(i) :z (i, 2)=p(2)*x(i, 2) ofor(x5(i) i i 耳GTH l:z(i, 3)=p(3)*x(i-l, 3) oz(l, 3)=0o z(l,4)=0ofor(x5(i) ! i ttGTff l：z(i, 4)=p(4)*x(i-l, 4) for(x5(i) |i SGT# 2:z (i, 5)=p(5)*x(i2, 5)ofor(x5(i) |i uGTit 2:z (i, 6)=p(6)*x(i-2, 6)oz(

25、l, 5)=0o z(2, 5)=0。z(2, 6)=0az (5, 7) =p (7)*x(2, 7)o z(5, 8) =p (8) *x(3,8)。for(x5(i) :for(x8(j) :x(i, j) , 0,o, o,0。z=, 0, 0, 0, 0, 0, 0,，0, 0, 0, 0,八，八0, 0,八，八0, 0,zx=20,，enddatamax=0. 75*(sum(x8(j) :z(5, j)+h(5)20)+0. 25*(sum(x5(i) : s(i)!第匚年的总投资2X(i).for (x5(i) :zx(i)=suin(x8(j) ：x(i, j)。!第匚年的木

26、利总额m(i)。for(x5(i) 1 HGTJ? I：m(i)=sum(x8(j) ：z(i-l, j)。!第匚年的风险损失总额。for (x5(i) ：s(i)=sum(x8(j) ：x(i, j)*q(j)。!投资余额。for(x5(i) |i 3GT# 1 :h(i)=h(i-l)+m(i)-zx(i).for(x5(i) |i SGT# l:zx(i)=m(i)*h(i-l)ofor(x8(j)：p(j)=l+r(j).!利率计算。for(x5(i) :z(i, l)=p(l)*x(i, 1)。for (x5(i) :z(i, 2) =p (2)*x(i, 2) ofor(x5(i)

27、 | i SGT# l：z(i, 3)=p(3)*x(i-l, 3)z(l, 3)=0o z(l, 4)=0ofor(x5(i) ! i SGTS 1: z (i, 4) =p (4) *x (il, 4) for(x5(i) |i #GT# 2:z (i, 5)=p(5)*x(i-2, 5)ofor(x5(i) |i 3GT# 2:z(i, 6)=p(6)*x(i-2, 6)oz(l, 5)=0 z(2, 5)=0。z (2, 6)=0。z(5, 7) =p(7)*x (2, 7)o z(5, 8) =p (8)*x (3,8)。for(x5(i) :for(x8(j) :x(i, j)=s

28、x(j)oend附表6：clearclc%工程1subplot (2, 4, 1)Al二3003, 7232, 3345, 5308, 4597,4378, 64S6, 6974, 4116, 7403,4237, 3051, 7574, 3510, 6879, 3511, 3660, 4486, 7280, 3 082。Bl二479, 1211, 507, 787, 711, 756,846,1489, 353,1117, 571, 449, 1396, 364, 994, 638, 538, 466,1389, 403 for i=l:20endtlosl=0。for i=l:20sl=s

29、l+tl(i)oendE(l)=sl/20%工程2subplot (2,4, 2)A2=5741, 6886, 5659, 6272, 5291, 5095, 7821, 3393, 4618, 5033, 4996, 5707, 5052, 5870, 7396, 4780, 7711, 4756, 7312, 5 083。B2=126, 164, 629, 602, 365, 621, 935, 593, 749, 911, 964, 868, 958, 1089, 1558, 1175,1527, 862, 1319, 787 for i=l:20t2(i)=B2(i)/A2(i)oen

30、dt2os2=0。for i=l:20s2=s2+t2(i)oendE(2)=s2/20%工程3subplot (2, 4, 3)A3=4307, 5070, 6665, 6333, 514S, 5973, 4449, 4268, 5174, 6859, 5603, 4877, 5160, 5697, 5516, 6255, 1315, 3871, 6471 o B3=1338, 2210, 2540, 836, 2765, 2549, 1078, 1955, 2041, 1392, 3077, 113& 1372, 1456, 2861, 3230. 1155, 1022, 2060。 fo

31、r i=l:19t3(i)=B3(i)/A3(i)oendt3os3=0。for i=l:19s3=s3+t3(i)oendE(3) =s3/19%匸程4subplot (2, 4, 4)A4=5755, 7929, 7513, 6749, 5384, 7291, 5586, 5414, 6473, 6707, 5597, 3844, 3681, 5701, 5623, 6925, 1379, 5529, 7760。 B4=910. 1539, 1233, 1616, 1099, 1559, 1006, 1710, 1548, 1168, 1881, 1131, 1221, 1757, 1461, 2223, 1191, 2046, 3227 for i=l:19t4(i)=B4(i)/A4(i)o endt4oS*l=Oafor i=l:19s4=