函数、极限和连续

1、第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), xd定义域: d(f), 值域: z(f).2.分段函数: 3.隐函数: f(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), d(f)=x, z(f)=y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f-1(x), d(f-1)=y, z(f-1)=x且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xd,x1、x2d 当x1x2时,若f(x1)f(x2),则称f(x)在d内单调增加

2、( )；若f(x1)f(x2),则称f(x)在d内单调减少( )； 若f(x1)f(x2),则称f(x)在d内严格单调增加( )；若f(x1)f(x2),则称f(x)在d内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：d(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+t)=f(x), x(-，+) 周期：t最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|m , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c为常数)2.幂函数： y=xn , (n为实数)3.指数函数： y=ax , (a0、a1)4.对数函数： y=lo

3、ga x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xx2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。二、 例题分析例1. 求下列函数的定义域： 解:对于有: 0 解得: 1 对于有: 0 2 的定义域: 解: 由得： ，解得: 由 得： 0

4、， 2 的定义域: 例2.设f(x)的定义域为（-1，1）则f(x+1) 的定义域为 a.(-2,0), b.(-1,1), c.(0,2), d.0,2 解：-1x+11 -2x0即f(x+1) 的定义域为: x(-2,0)应选a.例3.下列f(x)与g(x)是相同函数的为a. , b. ， c. ，d. ， 解：a. ，b. ， 应选bc. ，d. ，例4.求，的反函数及其定义域。解：，在(-3,+)内，函数是严格单调的反函数： 例5.设则其反函数 。解： 在内是严格单调增加的 又 取 即： （应填）例6.设函数和是定义在同一区间上的两个偶函数，则为 函数。解：设 = 是偶函数 （应填“偶

5、”）例7. 判断的奇偶性。解: 为奇函数 例8.设 ，则的周期为 。解法一: 设的周期为t, = 而 ， 解法二： (应填)例9. 指出函数那是由些简 单函数复合而成的？解：令 ， 则 ， 则 ， 则 是由：，复合而成的。例10. 已知,则等于 a. , b. , c. , d. 解: 或 （应选a）例11. 已知求的表达式。解:解得 1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限: 称数列以常数a为极限;或称数列收敛于a.定理: 若的极限存在必定有界.2.函数的极限： 当时，的极限： 当时，的极限： 左极限： 右极限：函数极限存的充要条件：定理：无穷大量和无穷小量1 无穷大量： 称在

6、该变化过程中为无穷大量。 x再某个变化过程是指： 2 无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。3 无穷大量与无穷小量的关系： 定理：4 无穷小量的比较： 若,则称是比较高阶的无穷小量； 若 （c为常数），则称与同阶的无穷小量； 若，则称与是等价的无穷小量，记作：； 若,则称是比较低阶的无穷小量。定理：若： 则：两面夹定理1 数列极限存在的判定准则： 设： （n=1、2、3） 且： 则： 2 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则：极限的运算规则 若： 则： 推论： 两个重要极限 1 或 2 二、 例题分析例1 求数列的极限。解： 例2计算 解

7、： 误解：=0例3 下列极限存在的是 a. b. c. d. 解：a. b. 不存在c. 应选cd. 不存在例4.当时，与是等价无穷小量， 则 。解： (应填2)例5.计算 (n=1,2,3,)解: (n=2,3,) 又: 由两面夹定理可得: 例6.计算下列极限 解: 解: 解法一: 共轭法 解法二： 变量替换法 设： 当时， 解法一：共轭法 解法二：变量替换法 设： 当时， 解法一： 解法二： 解：设： 当时， 结论： 解法一： 又 解法二：解法三：应用罗必塔法则 解法一： 解法二： 设当时，解法三： 例7.当时，若与为等价无穷小量，则必有 。解： （应填）结论：例8.若，则 。解： （应填

8、）例9.已知，求的值。解： 由 当时，原式成立。例10.证明：当时，与是等价无穷小量。证：只要证明 成立，即可。 设： 当时，结论：1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在处连续：在的邻域内有定义， 1o 2o 左连续： 右连续：2. 函数在处连续的必要条件： 定理：在处连续在处极限存在 3. 函数在处连续的充要条件： 定理：4. 函数在上连续： 在上每一点都连续。 在端点和连续是指： 左端点右连续； 右端点左连续。 a+ 0 b- x5. 函数的间断点：若在处不连续，则为的间断点。间断点有三种情况： 1o在处无定义； 2o不存在； 3o在处有定义，且存在， 但。 两类间断点的判断

9、： 1o第一类间断点：特点：和都存在。可去间断点：存在，但，或在处无定义。 2o第二类间断点：特点：和至少有一个为， 或振荡不存在。无穷间断点：和至少有一个为函数在处连续的性质1. 连续函数的四则运算： 设， 1o 2o 3o 2. 复合函数的连续性： 则：3. 反函数的连续性： 函数在上连续的性质 1.最大值与最小值定理：在上连续在上一定存在最大值与最小值。 y y +m m f(x) f(x) 0 a b x m -m 0 a b x2. 有界定理： 在上连续在上一定有界。 3.介值定理： 在上连续在内至少存在一点 ，使得：， 其中： y y m f(x) c f(x) 0 a b x m

10、 0 a 1 2 b x 推论： 在上连续，且与异号 在内至少存在一点，使得：。 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。三、 例题分析例1. 分段函数，在处是否连续？解： 由函数连续的充要条件定理可知:在 处连续。例2设函数，试确定常数k的值，使在定义域内连续。解：的定义域为： 当时， 是初等函数，在有定义不论k为何值，在内都是连续的。 当时， 是初等函数，在有定义不论k为何值， 在内都是连续的。 当时， （无穷小量乘以有界函数还等于无穷小量）只有当时，在处连续，只有当时，在定义域内连续。例3证明方程至少有一个根在1与2之间。证：设， 在 上连续 满足介值定理推论的条件。由定理可得：在内