正余弦定理的应用

1、正余弦定理的应用正余弦定理的应用题型一求高度问题例 1 如图所示， A、B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45， BAD 120，又在 B 点测得 ABD 45，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.跟踪训练 1 (1)甲、乙两楼相距 a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是 _(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度 h，在地面上选一基线AB，AB20 m，在A 点处测得 P 点仰角 OAP30，在 B 点处测得 P 点的仰角 OBP 45，又测得 AOB 60，求旗杆的高度h

2、.(结果保留两个有效数字)题型二三角形的面积公式及其应用例 2在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为4a，b，c，B 3，cos A5，b 3.(1)求 sin C 的值；(2)求 ABC 的面积跟踪训练 2 如图所示，已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB2，BC6，CDDA4，求四边形 ABCD 的面积题型三三角形面积的最值问题例 3 已知 ABC 的外接圆半径为 R，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2R(sin2A sin2C)( 2ab) sin B，求 ABC 面积的最大值跟踪训练 3若 ABC 的三边长分别为a，b，c，面积为 S，且 Sc2(a

3、b)2，ab2，求面积S 的最大值题型四三角形中的综合问题例 4在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为 ABC 的面积，满足 S 43 (a2b2c2)(1)求角 C 的大小；(2)求 sin AsinB 的最大值跟踪训练 4 已知 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m(a，b)，n(sin B， sin A)，p(b2，a2)(1)若 m n，求证： ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2， C 3，求 ABC 的面积题型一求高度问题例 1 如图所示， A、B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C

4、的仰角为 45， BAD 120，又在 B 点测得 ABD 45，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.解由于 CD平面ABD ，CAD 45，所以CDAD .因此只需在ABD 中求出 AD 即可，在ABD 中，BDA 180 45 120 15 ，由ABAD，得 ADABsin 45 sin 15 sin 45sin 15 2800 2800( 31)(m) 624即山的高度为 800( 3 1) m.跟踪训练 1 (1)甲、乙两楼相距 a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是 _3a，23答案3 a解析 甲楼的高为 atan

5、60 3a，32 3乙楼的高为3aatan 30 3a 3 a 3 a.(2)如图，地平面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度 h，在地面上选一基线 AB，AB20 m，在 A 点处测得 P 点仰角 OAP30，在 B 点处测得 P 点的仰角 OBP45，又测得 AOB60，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解在 Rt AOP 中，OAP30，OPh.OA OP 1 3h. tan 30 在 Rt BOP 中，OBP45 ，OBOP 1tan 45 h.在AOB 中， AB20，AOB 60 ，由余弦定理得AB2 OA2OB22 OAOBcos60，即 202(14003h)2h22 3h

6、h，解得 h24 32176.4，h13 m.题型二三角形的面积公式及其应用例 2在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为4a，b，c，B 3，cos A5，b 3.(1)求 sin C 的值；(2)求 ABC 的面积解 (1)因为角 A，B，C 为ABC 的内角，且 B423，cos A ，所以 C3A，sin A .355231于是sin C sin3A 2cos A2sin A34 3.10(2)由(1)知 sin A3，34 3，5sin C10又因为 B3，b3，所以在ABC 中，由正弦bsin A6定理得 a sin B 5.于是的面积116 3 absin CABCS2253

7、4 3369 3.1050跟踪训练 2 如图所示，已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB2，BC6，CDDA4，求四边形 ABCD 的面积解连接 BD，则四边形 ABCD 的面积为SS ABD S CDB 112ABADsin A2BCCDsinC. AC180， sin Asin C， S1(ABAD BCCD)sin A 1(24 6224)sin A16sin A.在ABD 中，由余弦定理得BD2AB2AD 22ABADcos A 22 42224cos A2016cos A.在CDB 中，由余弦定理得BD2CB2CD22CBCDcos C5248cos C.2016cos A5

8、248cos C.cos C cos A，64cos A 32，cos A12，又 A(0 ，180 )，A120 ，S16sin 120 8 3.题型三三角形面积的最值问题例 3 已知 ABC 的外接圆半径为 R，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2R(sin2A sin2C)( 2ab) sin B，求 ABC 面积的最大值解 由正弦定理得 a2c2( 2ab)b，即 a2b2c22ab.由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab22ab2ab2 ，C(0，)，C4. 1absin C 1 22S222RsinA 2Rsin B2R2sin Asin B2R2sin A

9、sin(34A) 2R2sin A( 22cos A 22sin A)R2(sin Acos A22 11cos 2A)sin A)R (2sin 2A22 1R2 2 sin(2A4)23 5 A(0，4)2A4( 4，4)sin(2A 4) ( 2，1，S(0， 21R2，2221面积 S 的最大值为R2.2跟踪训练 3若 ABC 的三边长分别为a，b，c，面积为 S，且 Sc2(ab)2，ab2，求面积S 的最大值解 S c2 (ab)2 c2 a2 b2 2ab 2ab(a2b2c2)，由余弦定理得 a2b2c22abcos C，c2(ab)22ab(1 cos C)，即 S2ab(1

10、cosC)，1S2absin C，sin C4(1cos C)又sin2Ccos2C 1，17cos2C32cos C15 0，15 8 解得 cos C17或 cos C1(舍去 )sin C17，1444S absin Ca(2a)(a1)2 .2171717ab2，0a2，当 a1，b1 时， Smax417.题型四三角形中的综合问题例 4在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为 ABC 的面积，满足 S 43 (a2b2c2)(1)求角 C 的大小；(2)求 sin AsinB 的最大值13解(1)由题意可知2absin C4 2abcos C.所以 tan C3，因为 0C，所以 C3.(2)由已知 sin Asin Bsin Asin A3sin Asin23 Asin A312 cos A2sin A3(0A23sin A6 3 )，当 A 3，即ABC 为等边三角形时取等号所以 sin Asin B 的最大值为3.跟踪训练 4已知 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m(a，b)，n(sin B， sin A)，p(b2，a2)(1)若 m n，求证： ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2， C 3，求 ABC 的面积(1)证明mn