chapter3-1 高等工程热力学

1、1/573.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法3.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析3.3 理想流体运动微分方程组理想流体运动微分方程组 3.3.1 连续方程连续方程 3.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 3.3.3 Bernoulli积分及其物理意义积分及其物理意义 3.3.4 Bernoulli方程的应用方程的应用 3.4 流体运动积分方程组流体运动积分方程组 3.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程 3.4.2 Reynolds输运方程输运方程 3.4.3 Euler型积分方程型积分方程2/57 3.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法

2、根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。1 1、LagrangeLagrange方法（方法（拉格朗日方法，拉格朗日方法，质点法）质点法） 在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每

3、个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。律。3/57用如下方程描述质点（用如下方程描述质点（a,b,c）所经历的轨迹：）所经历的轨迹： x=x(a,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)其中，其中，a,b,c 为流体质点的标识符，用于区分和识别各质为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，一般可用质点的初始坐标表示点，一般可用质点的初始坐标表示; t 表示时间。表示时间。 a.b.c.t 称为拉格朗日变数。称为拉格朗日变数。 a.b.c 给定，表示指定质点的轨迹。给定，表示指定质点的轨迹。 t 给定，表示在

4、给定时刻不同质点的空间位置。给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。上式就是质点（上式就是质点（a,b,c）的轨迹参数方程）的轨迹参数方程 cba,ottzyx,3.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法4/57因为质点的坐标位置是时间因为质点的坐标位置是时间 t 的函数，对于给定的流体质点的函数，对于给定的流体质点（a，b，c） ，速度表达式是：，速度表达式是：流体质点的加速度为：流体质点的加速度为：ttcbazwttcbayvttcbaxu),(,),(,),(222222),(,),(,),(ttcbazattcbayattcbaxazyx3.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法

5、拉格朗日方法与欧拉方法这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，求导时要求求导时要求a,b,c固定不变，即求导是针对同一流体质点的。固定不变，即求导是针对同一流体质点的。5/57流体质点的其它物理量也都是流体质点的其它物理量也都是 a,b,c,t 的函数。例如流体质的函数。例如流体质点（点（a,b,c）的温度可表为）的温度可表为T(a,b,c,t)2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法）方法（欧拉方法，空间点法，流场法） 欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不同流体质点通

6、过空间固定点的流动行为，通过记录不同空同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。规律。 在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。 在固定空间点很容易记录流过的不同质点的速度：在固定空间点很容易记录流过的不同质点的速度：3.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法6/57其中，其中，x,y,z 为空间点的坐标。为空间点的坐标。

7、t t 表示时间。表示时间。x.y.z.t 称为欧拉变数，是四个相互独立的变量称为欧拉变数，是四个相互独立的变量。x.y.z 给定，给定，t t 变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。间点的速度。t t 给定，给定， x.y.z 变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。空间点的速度，给定速度场。),( ),(),(tzyxwkwj vi uVtzyxvtzyxu3.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法7/57上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬上

8、式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为欧拉法。欧拉法。 请注意，请注意，x,y,z,t 是四个独立变数。如果不另外赋以意义，是四个独立变数。如果不另外赋以意义，则不能有则不能有 这类的表达式。这类的表达式。 、dtdx22dtxd应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度该空间点的流体微团所具有的速度 。3.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法8/57一个速度场 即使没有解析表达式，但只要有离散的数

9、据点，也可即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分以描绘出流场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分布描绘的一个速度场布描绘的一个速度场: 一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。念之内。 3.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法9/57 如果场只是空间坐标的

10、函数而与时间无关则称为如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定定常场常场，否则为，否则为非定常场非定常场，例如，定常速度场的表达为：，例如，定常速度场的表达为：),(),(),(zyxwwzyxvvzyxuu),() ,(),(tzyxTTtzyxtzyxpp3.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法10/57 欧拉观点下如何表达加速度？我们用如下欧拉观点下如何表达加速度？我们用如下4图来定性描述图来定性描述引起各处速度变化的原因：第引起各处速度变化的原因：第1图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B速速度不变；第度不变；第2图表示图表示A点与点与B点因水位下降引起速度同

11、时减小；点因水位下降引起速度同时减小；第第3图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B点，因管道收缩引起速度增加；点，因管道收缩引起速度增加；第第4图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B点，因水位下降和管道收缩引点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。起速度的变化。 3.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式11/57 水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是化来自于两方面的贡

12、献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。流场的非定常性。 用欧拉法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要用欧拉法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要强调两点。第一，强调两点。第一，A（x，y，z）点上）点上 t 瞬时的流体微团的瞬时的流体微团的速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。第二，原速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。第二，原在在 A 点的微团经点的微团经t 后到了后到了 B 点，若点，若 B 点的速度与点的速度与 A点的点的不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化 。 3.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式12/57

13、 3.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 设在设在 t 瞬时，位于瞬时，位于A（x，y，z）点的一个微团具有速）点的一个微团具有速度度u，v，w。经。经t 时间后，该微团移到时间后，该微团移到),(twztvytux令：令：),(tzyxuu 经经t 之后，之后，u 变成变成 u+u:),(tttwztvytuxuuu)(0)(),(tttutwzutvyutuxutzyxu13/57将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，得得zuwyuvxuututu此式右侧第一项是微团在此式右侧第一项是微团在（x，y，z）处其速

14、度随时间的变处其速度随时间的变化率，即化率，即当地加速度当地加速度。后三项是由于微团流向速度不相同。后三项是由于微团流向速度不相同的邻点而出现的速度变化率，即的邻点而出现的速度变化率，即迁移加速度迁移加速度 。 注意上式并非全导数的表达（在注意上式并非全导数的表达（在高数高数中当复合函中当复合函数只是一个自变量数只是一个自变量 t 的函数时才有全导数），因为在欧拉观的函数时才有全导数），因为在欧拉观点下点下 x、y、z 等与时间等与时间 t 无关，不能写出无关，不能写出 dx/dt 的表达。的表达。 3.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式14/57算子：算子：zwyvxut 往往

15、用往往用 这样一个符号来表示。这个导数称为随流这样一个符号来表示。这个导数称为随流体运动的导数，或称体运动的导数，或称随体导数随体导数、实质导数实质导数或或物质导数物质导数。DtD/zuwyuvxuutuDtDu从而上述加速度可以写成：从而上述加速度可以写成： 同理：同理：zvwyvvxvutvDtDvzwwywvxwutwDtDw 3.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式15/57 需要指出，上述加速度仍然是空间坐标和时间坐标四需要指出，上述加速度仍然是空间坐标和时间坐标四个独立变量（个独立变量（x,y,z,t）的函数：）的函数：zwwywvxwutwDtDwtzyxazvwyv

16、vxvutvDtDvtzyxazuwyuvxuutuDtDutzyxazyx),(),(),( 3.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式16/57随体导数随体导数算子：算子：除可作用于速度外，对流场中其它变量也成立。除可作用于速度外，对流场中其它变量也成立。zwyvxutDtDzpwypvxputpDtDp如对于压强如对于压强 p，有，有：虽然，由于在欧拉观点下，虽然，由于在欧拉观点下，x,y,z,t 是四个独立变量，一般不能是四个独立变量，一般不能写出写出 dx/dt 的表达，因此上述表达并非数学上的全导数。但在的表达，因此上述表达并非数学上的全导数。但在物理上上式仍然表示质点压

17、强在运动过程中的时间变化率，物理上上式仍然表示质点压强在运动过程中的时间变化率，只是在场的观点下将这个变化率写为当地变化率和迁移变化只是在场的观点下将这个变化率写为当地变化率和迁移变化率，称为随体导数。率，称为随体导数。 3.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式17/57因此欧拉法与拉格朗日方法表示的加速度实质上是一致的，因此欧拉法与拉格朗日方法表示的加速度实质上是一致的，据此我们也可以利用拉格朗日观点下对流体质点求全导数得据此我们也可以利用拉格朗日观点下对流体质点求全导数得到质点的加速度后，再转化为欧拉法的加速度表达。到质点的加速度后，再转化为欧拉法的加速度表达。例如在拉格朗日观

18、点下沿轨迹线对质点速度求全导数得流体例如在拉格朗日观点下沿轨迹线对质点速度求全导数得流体质点的加速度为：质点的加速度为：tzzutyyutxxutudtdudtxd22 3.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 欧拉法表示的流场速度和加速度实质上显然是指该瞬时欧拉法表示的流场速度和加速度实质上显然是指该瞬时恰好通过该点的流体质点所具有的速度和加速度：恰好通过该点的流体质点所具有的速度和加速度：欧拉拉格朗日欧拉拉格朗日),(,),(22tzyxadtxdtzyxudtdxx18/57代入即得欧拉法下的加速度表达代入即得欧拉法下的加速度表达zuwyuvxuututzyxax),(在不引

19、起误会的条件下，也有将随体导数在不引起误会的条件下，也有将随体导数 表为表为 的。的。随体导数与全导数实质上是瞬时统一的，前者采用场的表随体导数与全导数实质上是瞬时统一的，前者采用场的表示方法，后者采用质点运动学的表示方法。示方法，后者采用质点运动学的表示方法。DtDdtd由于拉格朗日法与欧拉法下的速度关系为：由于拉格朗日法与欧拉法下的速度关系为：欧拉欧拉欧拉),(,),(,),(tzyxwdtdztzyxvdtdytzyxudtdx 3.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式19/57根据上述分析可得出以下各图中欧拉法的加速度表达式。根据上述分析可得出以下各图中欧拉法的加速度表达式

20、。20/57 迹线：任何一个流体质点在空间中的运动轨迹。迹线：任何一个流体质点在空间中的运动轨迹。 流线：在给定的瞬时流线：在给定的瞬时t，流场中位于流线上的各流体质点，流场中位于流线上的各流体质点的速度向量均与曲线在相应点的切线重合。的速度向量均与曲线在相应点的切线重合。同一流体质点同一流体质点时间时间 t 固定固定21/57 人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。在某一瞬间看流场的话，从某点出发，顺着这一点的速度在某一瞬间看流场的话，从某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微小的距离到达邻点，再按邻点在同一瞬间的指向画一个微小的距离到达邻

21、点，再按邻点在同一瞬间的速度指向再画一个微小距离，一直画下去便得一条曲线。速度指向再画一个微小距离，一直画下去便得一条曲线。这条某瞬时的空间曲线，其切线都和该点的微团速度指向这条某瞬时的空间曲线，其切线都和该点的微团速度指向相一致。这样的空间曲线称为相一致。这样的空间曲线称为流线流线，这样的线可以画无数，这样的线可以画无数条。条。 3.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量时间时间 t 固定固定22/57 流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线相比，迹线是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线相比

22、，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质：以下性质：（1）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。在）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。在非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。（2）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。23/57（3）在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，流）在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，流线只能是一条光滑的曲线。也就是，在同一时刻，一点处线只能是一条光滑的曲线。也就是，在同一时刻，一点处只

23、能通过一条流线。只能通过一条流线。 （4）在奇点和零速度点例外。）在奇点和零速度点例外。3.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量24/57或流线上的切线方向数与速度方向数对应成比例，表为微或流线上的切线方向数与速度方向数对应成比例，表为微分的关系则有分的关系则有wdzvdyudx此式称为此式称为流线微分方程。流线微分方程。设流线上位移向量：设流线上位移向量：又设速度向量：又设速度向量：kwj vi uVdkdzjdyidxrd0,/或VdrdVdrd流线与速度方向相切即：流线与速度方向相切即：3.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量25/57当给定速度场当给定速

24、度场 u, v, w 时，时，迹线微分方程迹线微分方程可写为：可写为：是自变量其中twdtdzvdtdyudtdx,还可以写为：还可以写为：dtwdzvdyudx这与流线微分方程在形式上相同，但是二者有很大区别。在这与流线微分方程在形式上相同，但是二者有很大区别。在流线微分方程中流线微分方程中 t 是固定不变的参数，积分时是固定不变的参数，积分时 t 当常数看，当常数看，而在迹线微分方程中而在迹线微分方程中 t 是自变量，积分时是自变量，积分时 t 为变量，仅在定为变量，仅在定常流情况下上述二微分方程的积分才相等，此时流线与迹线常流情况下上述二微分方程的积分才相等，此时流线与迹线重合。重合。3

25、.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量26/57例例. 设有一个二维非定常流场其速度分布是设有一个二维非定常流场其速度分布是 ：求求t=0时过（时过（1，1）的流线和迹线。问定常时）的流线和迹线。问定常时 结果如何？结果如何？ 解：解：1. 求流线，由流线方程（其中求流线，由流线方程（其中 t 固定当常数看）固定当常数看） ：积分得任一时刻积分得任一时刻 t 流线族为：流线族为：0,2,12aayvtaxuaydyaxdxt22)1 (cyxt )1(t=0时刻流线族为：时刻流线族为：cxy 3.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量)2(axu 27/57过（过

26、（1，1）流线：）流线：1xy2. 求迹线，由迹线方程（其中求迹线，由迹线方程（其中t为自变量）：为自变量）：aydtdytaxdtdx2,12积分得迹线参数方程：积分得迹线参数方程：ataecytcx2221,)1 (由初始条件定得由初始条件定得c1=c2=1, 故所求的迹线参数方程为：故所求的迹线参数方程为：ataeytx22,)1 (3.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量28/57当流动为定常时当流动为定常时 再求迹线。再求迹线。由迹线方程：由迹线方程：aydtdyaxdtdx2,2积分得：积分得：atatecyecx2221,由初始条件定得由初始条件定得 c1=c2=

27、1,故所求为：故所求为：atateyex22,消去消去 t 得：得：1xy可见定常时迹线与流线重合。可见定常时迹线与流线重合。3.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量ayvaxu2,229/57 与流线密切相关的，还有与流线密切相关的，还有流管流管和和流流面面这样两个概念。这样两个概念。 流管是由一系列相邻的流线围成的。流管是由一系列相邻的流线围成的。经过一条有经过一条有流量流量穿过的封闭围线的所有穿过的封闭围线的所有流线，如图，经过围线流线，如图，经过围线 ABCDA（非流（非流线）的各条流线便围成一条流管。线）的各条流线便围成一条流管。 图3-6 流管（a）流线组成流管侧壁

28、； （b）没有流量由流管侧壁流出 由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。也不会越过管壁流进去。 3.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量30/57 流面流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面不管合拢不合拢，流面

29、也是流动不会穿越的一个面 。,)(SdSnVm,)(SdSnVQSdSnVgG)( 流量流量是单位时间内穿过指定截面的流体量，例如穿过上是单位时间内穿过指定截面的流体量，例如穿过上述流管中任意截面述流管中任意截面S的体积流量的体积流量 、质量流量、质量流量 和重量流和重量流量量 可分别表为可分别表为:Qm G其中，其中， 是速度向量，是速度向量， 是密度，是密度， 是微面积法线向量是微面积法线向量Vn3.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量31/57 3.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形在理论力学中，研究对象是质点

30、和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为：体），它们的基本运动形式可表示为： 质点（无体积大小的空间点）质点（无体积大小的空间点）: 只有平移运动只有平移运动 （平（平动）；动）； 刚体（具有一定体积大小，但无变形）刚体（具有一定体积大小，但无变形）:除平移运动外，除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动）；还有整体的旋转运动（转动）；32/57 在流体力学中，研究对象是流体质点和不断变化形状与在流体力学中，研究对象是流体质点和不断变化形状与大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动。运动形式外，还有变形

31、运动。 变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括：此可得变形体的基本运动形式包括：（1）平动；（）平动；（2）转动）转动；（3）线变形运动；（）线变形运动；（4）角变形运）角变形运动动33/57平动平动转动（角平分线转动）转动（角平分线转动）线变形运动线变形运动角变形运动（角平分线不动）角变形运动（角平分线不动）34/57 为便于分析，在流场中任取一平面微团为便于分析，在流场中任取一平面微团ABCD分析。分

32、析。根据泰勒级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。根据泰勒级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。ADCB35/57（1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度（）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度（u,v,w）。）。（2）线变形速率）线变形速率 线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动。运动。线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量。如。如对于对于AB边长，在微分时段内边长的增加量为：边长，在微分时段内边长的增加量为：txxutuxxuuAB)(由此得到由此得到 x 方向的线变形速率为：方向的线变形速率

33、为：xuxtABtx)(lim036/57同理，在同理，在y方向的线变形速率为：方向的线变形速率为：平面微团的面积变化率为：平面微团的面积变化率为：yvytACty)(lim0tyxyxtyyvytxxuxtyxACABVdivtlimlim0t0)(yxyvxutyxtyxyvxutyxyvxu20tlim 37/57（3）角变形速率与旋转角速度）角变形速率与旋转角速度在微分时段内，在微分时段内，AB与与AC两正交边夹角的变化与微分平面的两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，角变形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为（边的偏转角度为（逆时针为正）：逆时针为正）

34、：txvxtvxxvvxBB1tyuytuyyuuyCC2AC边的偏转角度为（顺时针为负）：边的偏转角度为（顺时针为负）：38/57解出可得：解出可得：21 2 22121平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分。如图所示：角变形部分。如图所示：设在微分时段内，平面微团设在微分时段内，平面微团角角平分线转动角度为平分线转动角度为，边线的边线的纯角变形量为纯角变形量为，则由几何关，则由几何关系可得：系可得：39/57yuxvtt

35、z21lim0yuxvttz21lim0定义平面微团的定义平面微团的旋转角速度旋转角速度（单位时间的旋转角度）为：（单位时间的旋转角度）为：定义平面微团的定义平面微团的角变形速率角变形速率（单位时间单边角变形量）为：（单位时间单边角变形量）为：上述定义实质是平面微团上两相互垂直线旋转角速度的平上述定义实质是平面微团上两相互垂直线旋转角速度的平均值，即角平分线的旋转角速度。均值，即角平分线的旋转角速度。上述定义实质是平面微团上两相互垂直线相对于角平分线上述定义实质是平面微团上两相互垂直线相对于角平分线的转角速度。的转角速度。40/57 对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：对于三维六面体

36、微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。式。此处不再推导，以下直接给出。zwyvxuzyx , ,),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxu微团平动速度：微团平动速度：微团线变形速率：微团线变形速率：41/57yuxvxwzuzvywzyx21,21,21yuxvxwzuzvywzyx21,21,21微团角变形速率（剪切变形速率）：微团角变形速率（剪切变形速率）：流体微团旋转角速度：流体微团旋转角速度：42/57在在 点处，速度为点处，速度为 ： 德国物理学家德国物

37、理学家 HelmholtzHelmholtz（1821-18941821-1894）18581858年提出年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，考虑相距微量的任意两点。设在流场中，考虑相距微量的任意两点 M0 和和 M1，在，在 速度为速度为 ：),(1tzzyyxxM),(),(),(tzzyyxxwtzzyyxxvtzzyyxxu),(0tzyxM),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxu43/57 zzuyyuxxutzyxutzzyyxxu),(),(右侧可按变形率及角速度的形式改写为：右侧可按变形

38、率及角速度的形式改写为：yxvyuxxuuuMM2101zxwzuzxwzu2121yyuxv21将相邻点速度分量按泰勒展开：将相邻点速度分量按泰勒展开：44/57同理：同理：zxzxyvvxzxzyMM01xyxyzwwyxyxzMM01 yzyzxuuzyzyxMM01各式第一项和各式第一项和M0点速度相同是微团的点速度相同是微团的整体移动速度整体移动速度。第二。第二项是项是线变形率线变形率，第三、四项是，第三、四项是角变角变形率；第五、六项是形率；第五、六项是角角速度速度。说明，微团运动包含移动，转动和变形。说明，微团运动包含移动，转动和变形 。45/57 应该指出，实际流体微团的运动可

39、以是一种或几种运动的应该指出，实际流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如：组合。如：（1）对于均速直线运动，流体微团只有平动，无转动和变形运）对于均速直线运动，流体微团只有平动，无转动和变形运动。动。（2）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。（3）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平动和转动，但无）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平动和转动，但无变形运动。变形运动。微团运动平动线变形（拉伸）角变形角速度（转动）46/57 还应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速还应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除

40、了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整个刚体都成立，因此它是度分解定理是对整个刚体都成立，因此它是整体性定理整体性定理；而；而流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是局部性定理局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在

41、不同点处微团的旋转角速度不同。的旋转角速度不同。47/57 3.2.3 散度及其意义散度及其意义 三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向量量 的散度，符号为的散度，符号为 ，即，即 zwyvxuVdiv散度在流动问题中的意义是微团的散度在流动问题中的意义是微团的相对体积膨胀率相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）。（单位体积在单位时间内的增长量）。为说明此点可取一简单的矩形微元六为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边原长分别面体来看，设六面体的三边原长分别是是x, y, z，原来体积是原来体积是（xyz），经过），经过

42、t 时间后三个边时间后三个边长分别变为：长分别变为：VVdiv48/57xtxux1ytyvy1ztzwz1zwyvxu略高次项后dxdydzztzwytyvxtxudxdydzdt1111则相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）为：则相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）为： 3.2.3 散度及其意义散度及其意义49/57可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。 流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在它的质量总是不变的。

43、而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：如果是密度有变化的流动，那么散度一般都不等于零。如果是密度有变化的流动，那么散度一般都不等于零。0zwyvxuVdiv 3.2.3 散度及其意义散度及其意义50/57 3.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 微团的瞬时角速度微团的瞬时角速度 是上述三个方向角速度分量之是上述三个方向角速度分量之和，和，这个值在向量分析里记为这个值在向量分析里记为 ，或，或 ，称，称为为 的旋度：的旋度：Vrot21V一个流场，如果各处的一个流场，如果各处的 基本上不等于零，这种流场基本上不等于零，这种流场称为有旋流场，其流动称为有旋流。一个流场，如果各称为有旋流场，其流动称为有旋流。一个流场，如果各处的处的 都等于零，这种流场称为无旋流场，其流动都等于零，这种流场称为无旋流场，其流动称无旋流。称无旋流。kjiVVrotzyx2121V21kzjyixxyzxyz51/57;xvyu;ywzvzuxw在数学分析里，上式是在数学分析里，上式是式式成为全微分的必要和充分条件成为全微分的必要和充分条件 wdzvdyu