椭圆环刚体转动惯量求解的再研究

1、DOC格式论文，方便您的复制修改删减椭圆环刚体转动惯量求解的再研究（作者：单位：邮编：）【摘要】 运用转动惯量定义式直接计算出椭圆环刚体绕垂 直与环平面且通过中心轴的转动惯量。【关键词】椭圆环；转动惯量；椭圆积分文献1对椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴旋转的转动 惯量进行了求解，是利用正交（垂直）轴定理来进行，其实是间接求解， 本研究给出直接用转动惯量定义式求解，进一步研究此问题。1椭圆环绕中心轴的转动惯量质量为m均匀分布的椭圆环刚体如图1,线质量密度为入，现建 立直角坐标系Oxyz,Oz轴垂直于椭圆环面指向外，由文献2知，其椭 圆参数方程为：x=acos 0y=bsin 0令0 = n

2、/2- ，代入上式有x=asin 0y=bcos 0 （1）a为长半轴,b为短半轴,那么dx=acos d dy=-bsin d r2=OP2=a2si n2 +b2+cos2图1由于对称性，椭圆周长为：L二轆 dL二輒(dx)2+(dy)2=4/n /20a2cos2 +b2sin2 d =4a/n /201-k2sin2 d =4aE(k)式中k=a2-b2/ a 为椭圆偏心率，E(k)= /n /201-k2sin2 d (2)为第二类全椭圆积分，则椭圆环质量线密度入=dm/dL=m/L=m/4aE(k)(3)由转动惯量定义式3和如图1中P处质量元知，椭圆环刚体绕垂 直与环平面且通过中心

3、轴即 Oz轴的转动惯量lz二腕 r2dm二咂(a2sin2 +b2cos2徴)入 dL=4 入 a腕(a2sin2 +b2cos2殲)1-k2sin2 d =4 入 a / n /20a2(1-cos2 )1-k2sin2 d +/n /20 b2cos2 1-k2sin2 d =4 入 aa2 /n /201-k2sin2 d - /n /20cos2 1-k2sin2 d +b2 /n /20 cos2 1-k2sin2 d =4 入 aa2E(k)- /n /20 1-sin2 1-k2sin2 d(sin )+b2/n /20 1-sin2 1-k2sin2 d(sin )=4 入 a

4、a2E(k)- j 101-u2 1-k2u2du+b2 j 101-u2 1-k2u2du(4)式(4)中令sin =u代入积分项，该项写为j 101-u2 1-k2u2du= j 10(1-u2)1-k2u2 1-u2du=j 101-k2u2 1-u2du- j 10u21-k2u2 1-u2du=jn /201-k2sin2 d + j 10 u1-k2u2d( 1-u2)=E(K)+u1-k2u2 1-u210- j 101-u2(1-k2u2-k2u21-k2u2)du(5)式(5)中第一项积分式为第二类全椭圆积分，整理中用了分部积分法,则上式可写为j 101-u21-k2u2du

5、=E(k)- j 101-u21-k2 u2du- j101-u21-k2u2-11-k2u2du=E(k)-2 j 101-u21-k2u2du+ j 101-u2 1-k2u2du=E(k)-2 j 101-u21-k2u2du+ j 10(1+u2)1-u21-k2u2du=E(k)-2 j 101-u2 1-k2u2du+ j 1011-u2 1-k2u2du+ j 101-k2u-1 k21-u21-k2u2du=E(K)-2 j 101-u21-k2u2du+F(k)+1k2 j 101-k2u2 1-u2du- j 1011-u21-k2u2du=E(k)-2 j 101-u21

6、-k2u2du+F(k)+1k2E(k)-1k2F(k) (6)式(6)中F(k)= j 1011-u21-k2u2du= jn /20d 1-k2s in2 为第一类全椭圆积分，式(6)整理可写为：j 101-u21-k2u2du=13k2(k2+1)E(k)+(k2-1)F(k) (7)把式(7)代入式(4)积分项中,得出椭圆环绕中心轴的转动惯量为lz=4入aa2E(k)-13k2(k2+1)E(k)-(k2-1)F(k)+b23K2 (k2+1)E(k)+(k2-1)F(k)=ma23k2(2k2-1)-(k2-1)F(k)E(k)+mb23k2(k2+1)+(k2-1)F(k)E(k)(8)2结论椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴的转动惯量为式 (8)。 由平行轴定理可计算出椭圆环刚体绕与 Oz轴平行且距离为d处的轴 转动惯量来3。【参考文献】1郑民伟.椭圆环刚体转动惯量的求解.数理医药学杂 志,2