完整版容斥原理例题

1、I I Tlj*lOC学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有 20人，报游泳班的有 30人，足球、篮球都报者有 10人，足球、 游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有 12人。请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图要计算阴影部分的面积，我们记AH B为圆A与圆B公共部分的面积，BH C为圆B与圆C公共部分的面积， AH C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：

2、A+B+C-AH B-BH C-AH C+X请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了 3次，最后又加了 1次。解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得x=2。答：三项都报名的有 2人。说明：在“ A+B+C-AH B-BH C-AH C+X式中，A, B, C, AH B, BH C, AH C, x 和总量 这8个数中，只要知道了 7个数，就可通过列方程求出第8个数。例2 从1至1000这1000个自然数中，不能被 3、5、7中任何一个自然数整除的数一 共有多少个？分析：第一步先求出：能被 3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少

3、个？第二 步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被 3整除的自然数 的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数一（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数 +既能被5整除又能被7 整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自 然数整除的数的个数。解答：能被3整除的自然数有多少个？1000- 3=3331有 333 个。能被5整除的自然数有多少个？1000- 5=200有 200 个。能被7整除的自然数有多少个？1000-7=1426有 142 个。既能被3整除又能被5整除

4、的自然数有多少个？1000- 15=6610 有 66 个。既能被3整除又能被1000 - 21=47 13既能被5整除又能被1000 - 35=28 207整除的自然数有多少个? 有4个。7整除的自然数有多少个? 有28个。能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个?1000+( 3X 5X 7) =955 有 9 个。能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：333+200+142( 66+47+28) +9=457 个。所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000 543=457例3 某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没

5、有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。这部分达到优秀的项目、人数如下表：短跑游泳篮球短跑游泳游泳篮球篮球短跑短跑、游 泳、篮球1718156652请问：这个班有多少名学生?分析：本题是较复杂的容斥原理的题目， 可以画一个长方形表示全班学生， 再画三个相 交的圆分别表示短跑、 游泳、篮球得优秀的学生。注意计算短跑人数+游泳人数+篮球人数时, 短跑游泳人数、游泳篮球人数、篮球短跑人数分别被算过两次， 而短跑游泳篮球人数则被计算了 3次。G=短跑游泳篮球三项优秀人数 D= 只有短跑游泳两项优秀人数 E= 只有游泳篮球两项优秀人数 F=只有篮球短跑两项优秀人数=2=短跑、游泳优秀人数=游泳、篮球

6、优秀人数=篮球、短跑优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=6-2=4=6-2=4=5-2=3解答：至少一项优秀人数=短跑人数+游泳人数+篮球人数-(短跑游泳人数+游泳篮球人 数+篮球短跑人数)+短跑游泳篮球人数=17+18+15- ( 6+6+5) +2=35所以 全班人数=至少一 项优秀人数+未得优秀人数=39。说明：本题解中的公式是三个不同集合相互相交而得的问题所用的容斥原理公式，本题如图所示，图中分成8个部分:也可依次计算图中每一小块所代表的集合的人数最后再求和。人=只有短跑一项优秀人数 =短跑优秀人数-(D+G+F =17- (4+2+

7、3) =8有游泳一项优秀人数 =游泳优秀人数-(D+G+E =18- (4+2+4) =8C=H有篮球一项优秀人数=篮球优秀人数-(E+G+F =15- (4+2+3) =6H= 三个项目均未达到优秀人数 =4;所以 A+B+C+D+E+F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39例4 如下图，在长方形 ABCD中, AD=15厘米，AB=8厘米，四边形 OEFG的面积是9平 方厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？分析：注意到三角形 ABD三角形ACD面积的和比所求的阴影部分多算了三角形 AED与 三角形DOG面积的和，而这两个三角形的面积和可由三角形AFD的面积减去四边形 OEFG

8、勺面积得到，这样就可以求出阴影部分的总面积。解答：三角形ABD三角形AFD三角形ACD都可以AD为底，AB为高，故它们的面积 都等于 ACK AB- 2=15X 8-2=60 （平方厘米）。阴影部分面积=（三角形ABD面积+三角形ACD面积）一（三角形AFD面积-四边形DEFG面积） =（60+60） - （60-9 ） =69 （平方厘米）。说明：本题还有其它（例 3的第2中方法）的方法，请你想一想。例5某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科都是优秀成绩的有8人，数学、语文两科成绩都是优秀的有 7人，语文、英语两科成绩都是优秀的有9人，

9、三科都没得优秀成绩的有 3人。请问：这个班最多有多少人？最少有多少人？分析：如下图，数学、语文、英语得优秀成绩的的同学都包含在这个班中，设这个班有 y人，用长方形表示.A、B C分别表示数学、语文、英语得优秀成绩的的人，由已知有AnC=8, An B=7, Bn C=9, An Bn c=x.解答：由容斥原理有Y=A+B+C-An B-An C-Bn C+An Bn c+3即 y=20+20+20-7-8-9+x+3=39+x。以下我们考虑如何求 y的最大值与最小值。由y=39+x可知，当x取最大值时，y也取最大值；当x取最小值时，y也取最小值。因 为x是数学、语文、英语三科都得优秀成绩的人数

10、，所以他们中的人数一定不超过两科得优秀成绩的人数，即 x=7, x=8且x=9，由此我们得到x=7.另一方面数学得优秀成绩的的同学 有可能语文都没得优秀成绩的，也就是说也有这种可能：没有三科都得优秀成绩的的同学， 故 x=0，故 x =0 或 x=7。当x取最大值7时，y有最大值39+ 7=46，当x取最小值0时，y有最小值39 + 0=39。 答：这个班最多有 46人，最少有39人。例6 五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，其中24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组又参加

11、语文小组相当于三项活动都参加人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10人。请问：参加文艺小组的学生有多少人？分析：这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。因而必须先求出这个三项活动都参加人数。再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。解答：设三项活动都参加人数为 x,根据题意得参加文艺小组的人数为 7x，既参加数学 小组又参加文艺小组的人数为 7x - 3.5=2x，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为 2x。 根据容斥原理可以得到下面等式：24+20+7X- （2x+2x+10） +x=

12、464x=16x=3人所以：7x=21人。所以：参加文艺小组的学生有21人。说明：在很多问题中涉及一个基准量，经过分析找到这个基准量后，问题便可以解决。阅读材料“1名数学家=10个师”的由来第二次世界大战中，美国曾经宣称：一名优秀的数学家的作用超过10个师的兵力。你可知这句话的由来吗？1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限 于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的”潜艇战”搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，按数学角度来看这一问题，它有一定的规律。一定数量的船（

13、如100艘）编队规模越小，编次就越多（如每次20艘，就要有5个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大。比如5位同学放学都回自己家里，老师要找一位同学的话，随便去哪家都行，但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到， 一次找到的可能性只有20%美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过 危险海域，然后各自驶向预定港口。 结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的 25%降低为1%大大减少了损失，保证了物资的及时供应。练习题1 如下图，长方形长为 4厘米，宽为3厘米，请你求出四边形 GHEF勺面积。分析与解答：所求四边形四条边的长都不知道，我们还不会直接求它

14、的面积由于所求四边形面积与 4个三角形面积之和等于长方形面积，我们可以利用容斥原理把不规则图形 HEFG勺面积转化为求规则图形的面积。ShEF=SaBCdS AHE-S EBF-S CFG-S GDH111134 3121 31 212 2 2 2=7 （平方厘米）2.在边长是10厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后，成为一个宽度为1厘米的方框，把5个这样的方框放在桌面上（如下图）。请你算一算：桌面被这些方框所盖住的面 积是多少平方厘米？分析：观察图，可知重叠部分相当于8个边长1厘米的正方形。解答：（102-82）X 5-1 2X 8=172 （平方厘米）3.张宏、王刚、李立三人练习投篮球，

15、一共投了100次，有43次没投进，已知张宏和王刚一共投进了 32次，王刚和李立一共投进了46次，王刚投进了多少次？分析与解答：三人投的总次数减去没投进的次数，就是三人共投进100-43=57次。张宏和王刚、王刚和李立共投进的次数为32+46=78次，这是三人共投进的次数，在加上王刚投进的次数，从中减去共投进的次数，就是王刚投进的次数，列式为78-57=21次，所以王刚投进了 21次。答：王刚投进了 21次。4育新小学举行各年级学生画展，其中有18幅画不是六年级的，20幅画不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，请问：其他年级共展出多少幅画？分析与解答：其中18幅不是六年级的，换句话说，

16、一至五年级共展出18幅，20幅不是五年级的，换句话说，就是一、二、三、四、六年级共展出20幅，从中可以看出一、二、三、四年级总张数的 2倍加上五、六年级张数的和，一共是18+20=38幅，又因为五、六年级共展出22幅画，因此一至四年级张数和的2倍是38-22=16张。从而可以求出一至四年级共展出16-2=8张。答：其它年级共展出 8张。5.在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分。如果沿每条刻度线把木棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段？分析：由于木棍的端点处没有刻度线，所以，这三种刻度线分别有 10-1=9 （条）,12-1=11（条）,15-1=14 （条

17、），不妨设木棍长为60厘米。那么，与三种刻度线相对应的每一份长分 别是：60 - 10=6 （厘米），60- 12=5 （厘米），60- 15=4 （厘米）。根据5和6的最小公倍数 是30,可算出第一、第二种刻度线重复的条数是60- 30-1=1 （条），用同样的方法可以求出：另两种重复的刻度线分别有2条、4条。解答：（9+ 11 + 14-1-2-4 ）+ 1=28 （段）想一想：（1）在计算刻度线条数时为什么都要减去1？（ 2 ）为什么可以设木棍长是 60厘米？ （ 3）最后为什么要用所有刻度线条数加1？6某班45名同学参加了体育测试， 其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百 米、

18、跳远均得优者 7人，跳高、百米均得优者 6人，跳高、跳远均得优者 8人，跳高得优者 22人，全班只有1名同学各项都没达到优，请问：三项都是优的有多少人？解答：设三项都达到优的有 x人，由逐步排除法有：20+18+22-7-8-6+X+ 仁45解得x=57“六一”儿童节，某校有 25个小朋友得奖，学校为他们准备了甲、乙、丙三种奖品让他们自由选择，有14人要甲种奖品，12人要乙种奖品，10人要丙种奖品，其中4人既要 甲种又要乙种，但不要丙种奖品，2人既要甲种又要丙种， 但不要乙种，只有1人三种都要。 每个小朋友至少选择其中的一种，请问：有多少人要乙种和丙种而不要甲种奖品？A B、C表示图中的三分析

19、与解答：根据题意，可以画图表示已知量之间的关系，并用 个未知量。则A+B=10-(2+1)=7B+C=12-(4+1)=7A+B+C=25-14=11&如下图，在桌面上放置两两重叠，边长都相等的三个正方形纸片。已知盖住桌面的总面积是144平方厘米。三张纸片共同重叠部分的面积是42平方厘米，图中阴影面积为 72平方厘米。请问：正方形的边长是多少厘米？解答：三个正方形总面积是： 144+阴影面积X (2-1)+中间重叠面积X (3-1)=144+72 X (2-1)+42 X (3-1)=300(平方厘米)；每一个正方形的面积是： 300- 3=100(平方厘米)；因为 一个正方形面积是 100平方厘米，所以正方形边长是 10厘米。9. 某班四年级时、五年级时