高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课件4 新人教A版选修1-1

1、第2课时充要条件的应用1【自主预习】【自主预习】1.1.充要条件充要条件(1)(1)定义定义: :若若p pq q且且q qp,p,则记作则记作_,_,此时此时p p是是q q的充分的充分必要条件必要条件, ,简称充要条件简称充要条件. .(2)(2)条件与结论的等价性条件与结论的等价性: :如果如果p p是是q q的充要条件的充要条件, ,那么那么q q也是也是p p的的_._.p pq q充要条件充要条件22.2.互为充要条件互为充要条件如果如果_,_,那么那么p p与与q q互为充要条件互为充要条件. .p pq q3【即时小测】【即时小测】1.1.若若p p是是q q的必要条件的必要条

2、件,s,s是是q q的充分条件的充分条件, ,那么下列推理那么下列推理一定正确的是一定正确的是( () )A.pA.ps B.ss B.sp C.pp C.ps D.ps D.ps s【解析】【解析】选选A.A.因为因为p p是是q q的必要条件的必要条件,s,s是是q q的充分条件的充分条件, ,所以所以q qp,sp,sq,q,所以所以s sp,p,则根据逆否命题的等价性可则根据逆否命题的等价性可知知:p:ps.s.42.“|x|=|y|”2.“|x|=|y|”是是“x=y”x=y”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充

3、要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选B.|x|=|y|B.|x|=|y|x=yx=y或或x=-y,x=yx=-y,x=y|x|=|y|.|x|=|y|.53.3.已知已知sin0,sin0”tan0”是是“为第三象限角为第三象限角”的的( () )A.A.充分但不必要条件充分但不必要条件 B.B.必要但不充分条件必要但不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选C.C.当当sin0sin0,tan0为第三象限角为第三象限角. .64.4.在锐角在锐角ABCABC中中,“A= ”,“A= ”是是“

4、sinA= ”sinA= ”成立的成立的_条件条件. .【解析】【解析】因为因为ABCABC是锐角三角形是锐角三角形, ,所以所以A= A= sinA= .sinA= .答案答案: :充要充要33233275.“log5.“log3 3M logM log3 3N”N”是是“M N”M N”成立的成立的_条件条件. .【解析】【解析】由由loglog3 3MlogMlog3 3N,N,又因为对数函数又因为对数函数y=logy=log3 3x x在定在定义域义域(0,+(0,+) )上单调递增上单调递增, ,所以所以MN;MN;当当MN,MN,由于不知道由于不知道M,NM,N是否为正数是否为正数

5、, ,所以所以loglog3 3M,logM,log3 3N N不一定有意义不一定有意义, ,故不故不能推出能推出loglog3 3MlogMlog3 3N,N,所以所以loglog3 3MlogMlog3 3N N是是M NM N成立的充成立的充分不必要条件分不必要条件. .答案答案: :充分不必要充分不必要8【知识探究】【知识探究】探究点探究点充要条件充要条件1.1.符号符号“”的含义是什么的含义是什么? ?提示提示: :“”表示表示“等价等价”, ,如如“A A与与B B等价等价”指的是指的是“如如果果A,A,那么那么B B”, ,同时有同时有“如果如果B,B,那么那么A A”, ,或者

6、说或者说“从从A A推推出出B B”, ,同时可同时可“从从B B推出推出A A”. .92.p2.p的充要条件是的充要条件是q q与与p p是是q q的充要条件一样吗的充要条件一样吗? ?提示提示: :从充要性来说一样从充要性来说一样, ,但但“p p的充要条件是的充要条件是q q”的充的充分性是分性是q qp,p,而而“p p是是q q的充要条件的充要条件”的充分性是的充分性是p pq.q.10【归纳总结】【归纳总结】1.1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)(1)充分必要条件充分必要条件( (充要条件充要条件),),即即p pq q

7、且且q qp;p;(2)(2)充分不必要条件充分不必要条件, ,即即p pq q且且q p;q p;(3)(3)必要不充分条件必要不充分条件, ,即即p qp q且且q qp;p;(4)(4)既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件, ,即即p qp q且且q p.q p.112.2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若若A AB,B,则则p p是是q q的充分条件的充分条件, ,若若A B,A B,则则p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件若若B BA,A,则则p p是是q q的必要条件的必要条件, ,若若B A,B A,则则p

8、 p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件若若A=B,A=B,则则p,qp,q互为充要条件互为充要条件若若A A B B且且B B A,A,则则p p既不是既不是q q的充分条件的充分条件, ,也不是也不是q q的必要条件的必要条件12其中其中p:A=x|p(x)p:A=x|p(x)成立成立,q:B=x|q(x),q:B=x|q(x)成立成立.特别提醒特别提醒:p:p是是q q的充要条件意味着的充要条件意味着“p p成立则成立则q q成立成立;p;p不不成立则成立则q q不成立不成立”. .13类型一类型一充要条件的判断充要条件的判断【典例】【典例】1.(20151.(2015重庆高考重庆

9、高考)“x1”)“x1”是是“ “ (x+2)(x+2)0”0 x0，yRyR，则，则“xy”xy”是是“x|y|”x|y|”的的( )( )A.A.充要条件充要条件B.B.充分而不必要条件充分而不必要条件C.C.必要而不充分条件必要而不充分条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件15【解题探究】【解题探究】1.1.典例典例1 1中如何求满足中如何求满足 (x+2)0(x+2)1.x+21.2.2.题题2 2中判断的关键是什么？中判断的关键是什么？提示：提示：分分y0y0和和y0y0去绝对值讨论去绝对值讨论. .12log16【解析】【解析】1.1.选选B.B. (x+2)0 (x

10、+2)1x+21x-1,x-1,因此若因此若x1,x1,则则x-1x-1成立成立, ,若若x-1,x-1,则则x1x1不一定成立不一定成立, ,所以是充分不必要条件所以是充分不必要条件. .12log172.2.选选C. C. 当当y0y0时，时，xyxyx|y|x|y|；当；当y0y|y|x|y|xyxy但但xy x|y|.xy x|y|.所以所以“xy”xy”是是“x|y|”x|y|”的必要而不的必要而不充分条件充分条件. .18【方法技巧】【方法技巧】充要条件的常用判断方法充要条件的常用判断方法(1)(1)命题判断法命题判断法: :设设“若若p,p,则则q”q”为原命题为原命题, ,那么

11、那么: :原命题为真原命题为真, ,逆命题为假时逆命题为假时,p,p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件; ;原命题为假原命题为假, ,逆命题为真时逆命题为真时,p,p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件; ;原命题与逆命题都为真时原命题与逆命题都为真时,p,p是是q q的充要条件的充要条件; ;19原命题与逆命题都为假时原命题与逆命题都为假时,p,p是是q q的既不充分也不必要的既不充分也不必要条件条件. .(2)(2)等价转化法等价转化法: :p p是是q q的什么条件等价于的什么条件等价于qq是是pp的什么条件的什么条件. .20【变式训练】【变式训练】1.“a-2”1.“a

12、-2”是是“函数函数f(x)=ax+3f(x)=ax+3在区间在区间-1,2-1,2上存在零上存在零点点”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件21【解析】【解析】选选A.A.若函数若函数f(x)=ax+3f(x)=ax+3在区间在区间-1,2-1,2上存在零上存在零点点, ,则则f(-1)f(2)0,f(-1)f(2)0,得得a3a3或或a- ,a- ,所以所以“a-2”a-2”是是“函数函数f(x)=ax+3f(x)=ax+3在区间在区间-1,2-1,2上存在零

13、点上存在零点”的充分的充分不必要条件不必要条件. .23222.2.已知命题已知命题p:x1p:x1或或y2,y2,命题命题q:x+y3,q:x+y3,则命题则命题p p是是q q的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件23【解析】【解析】选选B.B.命题命题p:x1p:x1或或y2,y2,则则p:x=1p:x=1且且y=2;y=2;命题命题q:x+y3,q:x+y3,则则q:x+y=3,q:x+y=3,易知易知ppq,q,其等价命题为其等价命题为q qp,p,故故p p

14、是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件. .243.(20163.(2016北京高考北京高考) )设设a, ,b是向量，则是向量，则“| |a|=|=|b|”|”是是“| |a+ +b|=|=|a- -b|”|”的的( )( )A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件25【解题指南】【解题指南】利用向量加法的平行四边形法则，减法利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则解决的三角形法则解决. .【解析】【解析】选选D.D.由由| |a+ +b|=|=|a- -b| |

15、可得可得ab. .所以所以“| |a|=|=| |b|”|”是是“| |a+ +b|=|=|a- -b|”|”的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件. .26类型二类型二充要条件的证明充要条件的证明【典例】【典例】(2016(2016广安高二检测广安高二检测) )求证求证:0a :0a0-ax+1-a0对一切实数对一切实数x x都成立的充要条件都成立的充要条件. .【解题探究】【解题探究】典例中不等式成立的条件怎样求典例中不等式成立的条件怎样求? ?提示提示: :分分a=0,a0a=0,a0两种情况求两种情况求. .4527【解析】【解析】充分性充分性: :当当0a 0a 时时, ,判别

16、式判别式=a=a2 2-4a(1-a)=5a-4a(1-a)=5a2 2-4a=a(5a-4)0,-4a=a(5a-4)0-ax+1-a0对一切实数对一切实数x x都成立都成立. .而当而当a=0a=0时时, ,不等式不等式axax2 2-ax+1-a0-ax+1-a0可变成可变成10.10.显然当显然当a=0a=0时时, ,不等式不等式axax2 2-ax+1-a0-ax+1-a0对一切实数对一切实数x x都成立都成立. .4528必要性必要性: :因为因为axax2 2-ax+1-a0-ax+1-a0对一切实数对一切实数x x都成立都成立, ,所以所以a=0a=0或或 解得解得0a .0a

17、 .故故0a 0a0-ax+1-a0对一切实数对一切实数x x都成立都成立的充要条件的充要条件. .2a0,a4a(1 a) 0,454529【方法技巧】【方法技巧】充要条件的证明策略充要条件的证明策略(1)(1)要证明一个条件要证明一个条件p p是否是是否是q q的充要条件的充要条件, ,需要从充分需要从充分性和必要性两个方向进行性和必要性两个方向进行, ,即证明两个命题即证明两个命题“若若p,p,则则q”q”为真且为真且“若若q,q,则则p”p”为真为真. .(2)(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明, ,证明证明p p与与q q的解集

18、是相同的的解集是相同的, ,证明前必须分清楚充分性和证明前必须分清楚充分性和必要性必要性, ,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. .30【变式训练】【变式训练】已知已知a,ba,b是实数是实数, ,求证求证:a:a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1=1成立的成立的充分条件是充分条件是a a2 2-b-b2 2=1.=1.该条件是否为必要条件该条件是否为必要条件? ?试证明你试证明你的结论的结论. .31【解析】【解析】因为因为a a2 2-b-b2 2=1,=1,所以所以a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=(a=(a2 2-b-b2 2)(a)

19、(a2 2+b+b2 2)-)-2b2b2 2=(a=(a2 2+b+b2 2)-2b)-2b2 2=a=a2 2-b-b2 2=1.=1.即即a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1=1成立的充分条件是成立的充分条件是a a2 2-b-b2 2=1.=1.另一方面另一方面, ,若若a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1,=1,即即a a4 4-(b-(b4 4+2b+2b2 2+1)=0,+1)=0,a a4 4-(b-(b2 2+1)+1)2 2=0,(a=0,(a2 2-b-b2 2-1)(a-1)(a2 2+b+b2 2+1)=0.+1)=0.又又a a2 2+b+b

20、2 2+10,+10,所以所以a a2 2-b-b2 2-1=0,-1=0,即即a a2 2-b-b2 2=1.=1.因此因此a a2 2-b-b2 2=1=1是是a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1=1成立的必要条件成立的必要条件. .32【补偿训练】【补偿训练】(2015(2015西安高二检测西安高二检测) )若若M,A,BM,A,B三点不三点不共线共线, ,且存在实数且存在实数1 1,2 2, ,使使 , ,求求证证:“C:“C为为ABAB的中点的中点”的充要条件是的充要条件是“1 1=2 2= ”.= ”.12MCMAMB 1233【解题指南】【解题指南】证明时首先搞清楚条

21、件证明时首先搞清楚条件p p和结论和结论q q分别指分别指什么什么, ,然后证明然后证明p pq(q(充分性充分性) )和和q qp(p(必要性必要性) )成立成立. .34【证明】【证明】充分性充分性: :因为因为1 1=2 2= ,= ,所以所以即即即即 = =0, ,所以所以C C为为ABAB的中点的中点. .1211MCMAMB,22 11(MA MC)(MB MC),22 0CA CB 35必要性必要性: :因为因为C C为为ABAB的中点的中点, ,所以所以所以所以所以所以 . .又因为又因为M,A,BM,A,B三点不共线三点不共线, ,所以所以 是平面向量的一组基底是平面向量的一

22、组基底, ,所以所以1 1=2 2= .= .所以所以“C C为为ABAB的中点的中点”的充要条件是的充要条件是“1 1=2 2= ”.= ”.CA CB ，011(MA MC)(MB MC),22 011MCMAMB22 1212MA,MB 36类型三类型三求充要条件求充要条件【典例】【典例】1.1.直线直线x+y+m=0 x+y+m=0与圆与圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2相切的相切的充要条件是充要条件是_._.2.(20162.(2016运城高二检测运城高二检测) )求关于求关于x x的一元二次不等式的一元二次不等式axax2 2+1ax+1ax对于一切

23、实数对于一切实数x x都成立的充要条件都成立的充要条件. .37【解题探究】【解题探究】1.1.直线与圆相切的充要条件是什么直线与圆相切的充要条件是什么? ?提示提示: :圆心到直线的距离等于半径圆心到直线的距离等于半径. .2.2.求一个问题的充要条件的关键是什么求一个问题的充要条件的关键是什么? ?提示提示: :关键是把这个问题进行等价转化关键是把这个问题进行等价转化. .38【规范解答】【规范解答】1.1.直线直线x+y+m=0 x+y+m=0与圆与圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2相相切切圆心圆心(1,1)(1,1)到直线到直线x+y+m=0 x+y+m

24、=0的距离等于的距离等于 |m+2|=2|m+2|=2m=-4m=-4或或0.0.答案答案: :m=-4m=-4或或0 02.2.由题可知等价于由题可知等价于 0a4.0a4.2|1 1 m|22 a0039【延伸探究】【延伸探究】1.1.典例典例2 2中不等式改为中不等式改为axax2 2-1ax,-1ax,求其对于一切实数求其对于一切实数x x都都成立的充要条件成立的充要条件. .【解析】【解析】不等式恒成立等价于不等式恒成立等价于解得解得-4a0.-4a0.2a 0,a4a 0,402.2.典例典例2 2中的不等式改为方程中的不等式改为方程, ,求方程有两个正根的充求方程有两个正根的充要

25、条件要条件. .【解析】【解析】一元二次方程为一元二次方程为axax2 2-ax+1=0,-ax+1=0,设方程的两根为设方程的两根为x x1 1,x,x2 2, ,则方程有两个正根的充要条件是则方程有两个正根的充要条件是解得解得a4.a4.21212a0a4a 01x x0axx1 0 ，41【方法技巧】【方法技巧】求充要条件的方法求充要条件的方法求一个问题的充要条件求一个问题的充要条件, ,就是利用等价转化的思想就是利用等价转化的思想, ,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合集合. .这就要求我们转化的时候思维要缜密这就要求我们转

26、化的时候思维要缜密. .42【补偿训练】【补偿训练】求一元二次方程求一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一正根和有一正根和一负根的充要条件一负根的充要条件. .【解析】【解析】方法一方法一: :设方程两根为设方程两根为x x1 1,x,x2 2, ,则方程有一正根则方程有一正根和一负根的充要条件是和一负根的充要条件是x x1 1x x2 2= 0,= 0,即即ac0.ac0.ca43方法二方法二:(1):(1)先求必要条件先求必要条件: :因为方程因为方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一正根和一负根有一正根和一负根, ,设为设为x x1 1,x,x2 2, ,则