生物医学信号处理：第三章 矩形（三维）光波导

1、第三章第三章 矩形（三维）光波导矩形（三维）光波导2矩形光波导的概念矩形光波导的概念平板光波导中，光沿平板光波导中，光沿z方向传播，波导对光在方向传播，波导对光在x方向进方向进行限制，但是在行限制，但是在y方向没有限制，通常也称为二维光方向没有限制，通常也称为二维光波导。波导。许多应用中，为了避免光在许多应用中，为了避免光在y方向的发散，要求光沿方向的发散，要求光沿z方向传播，波导在方向传播，波导在x、y两个方向对光进行限制，这样两个方向对光进行限制，这样的光波导称为的光波导称为条状波导条状波导，由于这类波导中的光场能量，由于这类波导中的光场能量基本上集中于矩形横截面内，故常统称为基本上集中于

2、矩形横截面内，故常统称为矩形波导矩形波导。常见的几种矩形波导横截面结构如下图所示常见的几种矩形波导横截面结构如下图所示凸条型凸条型掩埋型掩埋型脊型脊型载条型载条型3矩形光波导的概念矩形光波导的概念矩形波导的结构多种多样，矩形波导的结构多种多样，限制媒质限制媒质的折射率不必在的折射率不必在所有区域中都一样，折射率小于波导区折射率的许多所有区域中都一样，折射率小于波导区折射率的许多材料都可以同时用来作为限制媒质包围波导，因此波材料都可以同时用来作为限制媒质包围波导，因此波导中的模式通常不是严格对称的；导中的模式通常不是严格对称的；对于这种一般情形，波动方程的严格解析解是极其复对于这种一般情形，波动

3、方程的严格解析解是极其复杂的，至今尚未得出；杂的，至今尚未得出；目前，除了数值计算方法以外，最常用的两种分析矩目前，除了数值计算方法以外，最常用的两种分析矩形光波导的方法是：形光波导的方法是： 马卡梯里（马卡梯里（Marcatili）近似解法；）近似解法； 有效折射率法。有效折射率法。4马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法对于凸条型、掩埋型等矩形波导，可采用下图所示的对于凸条型、掩埋型等矩形波导，可采用下图所示的理论模型理论模型xy1n2n4n5n3na b ba 波导区（折射率波导区（折射率 ）被）被折射率为折射率为 的的区域、以及区域、以及图中的阴影区域、图中的阴影区域、所环绕，、所环绕， 。

4、 波导区宽度（波导区宽度（x方向）和方向）和厚度（厚度（y方向）分别为方向）分别为 和和 ，坐标取，坐标取 和和1n 2,3,4,5ini 1inn 2a2baxa byb 5马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法对于上述理论模型，严格的解法应该在对于上述理论模型，严格的解法应该在9个区域内分个区域内分别列出场函数解，然后利用所有界面上的边界条件求别列出场函数解，然后利用所有界面上的边界条件求出相应导模的传播常数出相应导模的传播常数 及所对应的场函数，这是十及所对应的场函数，这是十分困难的数学问题。分困难的数学问题。马卡梯里近似解法的思路：如果马卡梯里近似解法的思路：如果离截止点比较远离截止点比较远

5、，则，则光能量高度集中在波导区光能量高度集中在波导区，透入到、四，透入到、四个区域的光能很少，而阴影角区、中的个区域的光能很少，而阴影角区、中的光能可以忽略不计。光能可以忽略不计。利用上述合理而又巧妙的假设，可以很容易用解三层利用上述合理而又巧妙的假设，可以很容易用解三层平板光波导的方法和已有结果来求解矩形波导的传播平板光波导的方法和已有结果来求解矩形波导的传播常数常数 和模场分布。和模场分布。 6马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法在矩形波导中，严格的在矩形波导中，严格的TE模和模和TM模不存在，但是有模不存在，但是有两类模式能够近似地满足波动方程和边界条件：两类模式能够近似地满足波动方程和边界

6、条件： 第一类为第一类为 模模（ 和和 分别表示沿分别表示沿x和和y方向场强的极方向场强的极大值数目，取大于等于大值数目，取大于等于1的整数的整数）电矢量近似指向电矢量近似指向x方向，它的主要（占优势的）电磁方向，它的主要（占优势的）电磁场分量为场分量为 和和 ，纵向分量，纵向分量 和和 较小，而较小，而 和和 更小，可近似认为更小，可近似认为 。 第二类为第二类为 模模（ 和和 分别表示沿分别表示沿x和和y方向场强的极方向场强的极大值数目）大值数目）电矢量近似指向电矢量近似指向y方向，它的主要（占优势的）电磁方向，它的主要（占优势的）电磁场分量为场分量为 和和 ，纵向分量，纵向分量 和和 较

7、小，而较小，而 和和 更小，可近似认为更小，可近似认为 。xmnEyExEyHzEzH0yE ymnExEyExHzEzH0yH mnmnxHyH7马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法对于对于 模和模和 模，需要从以下六个电场和磁场的分模，需要从以下六个电场和磁场的分量关系出发进行分析和讨论量关系出发进行分析和讨论0EiH HiE 0yzxEEiHyz 0zxyEEiHzx 0yxzEEiHxy yzxHHiEyz zxyHHiEzx yxzHHiExy xmnEymnE8马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法 模分析模分析xmnE在横截面内沿在横截面内沿x方向偏振，方向偏振， ， ，电场和磁，电场和磁

8、场分量关系简化为场分量关系简化为0yE iz 0zxEiHy 0zxyEiEiHx 0 xzEiHy zyxHiHiEy 0zxHiHx yxzHHiExy 将磁场用电场表示将磁场用电场表示01zxEHiy 01zyxEHiEix 01xzEHiy 9马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法利用麦克斯韦方程组中电场的散度方程利用麦克斯韦方程组中电场的散度方程 可以可以得到得到 0rE 0D 考虑考虑 ，得到，得到0yE 0rxrzEExz考虑波导折射率沿考虑波导折射率沿z方向不变，且方向不变，且 ，得到，得到iz 0rxrzEiEx 即即 1111xxzrrrxxrEEEEEixiixxxi 10马卡

9、梯里近似解法马卡梯里近似解法20001111zxxxEEEHiyiyixx y 2220011zxyxxEEHiEEixx 01xzEHiy 1xzEEix 电、磁场分量电、磁场分量 、 、 、 与电场分量与电场分量 的关系的关系xHyHzHzExE11马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法22201xyxEHEx 01xzEHiy 代入下面的方程代入下面的方程zyxHiHiEy 整理后得到整理后得到 222220220 xxxEEn kExy xmnE模波动方程模波动方程方程中方程中 为折射率，为折射率， ， 。nrn 22000k 12马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法马卡梯里近似，相当于把本征值

10、方程的求解化为近似马卡梯里近似，相当于把本征值方程的求解化为近似地用分离变量法求解两个独立的三层平板波导方程。地用分离变量法求解两个独立的三层平板波导方程。矩形波导的波动方程（亥姆霍兹方程）可以近似地写矩形波导的波动方程（亥姆霍兹方程）可以近似地写成如下形式成如下形式 2222222220010220 xxxyxEEn kn kn kExy 2322125xnxannaxanxa 2222124yyynybnnbbnb 差别仅存在于差别仅存在于4个阴影角区域，而在马卡梯里近似下，个阴影角区域，而在马卡梯里近似下，角区是忽略不计的。角区是忽略不计的。13马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法采用分离变

11、量法，假设采用分离变量法，假设 ，代入上，代入上述改写后的波动方程可以得到两个独立的波动方程述改写后的波动方程可以得到两个独立的波动方程 ,xEx yX x Yy 2222020 xxd Xn kXdx 2222210 xyn k 2222020yyd Yn kYdy 至此，矩形波导的分析（包括本征值至此，矩形波导的分析（包括本征值 和场分布等）和场分布等）可以通过沿可以通过沿x方向和沿方向和沿y方向的两个平板波导的分析得方向的两个平板波导的分析得出结论。出结论。 沿沿x方方向的平板波导向的平板波导沿沿y方方向的平板波导向的平板波导14马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由于由于 是是 沿沿x方向

12、的分布函数，沿方向的分布函数，沿x方向偏方向偏振，所以对于振，所以对于x方向的平板波导，方向的平板波导，相当于相当于TM模模 ,xEx y X xxy1n5n3na a 2222020yyHxn kHxx xyExHx 1yzHxExix TM模的波动方程及分量关系模的波动方程及分量关系 相当于相当于 ，所以满足，所以满足 2222020 xxd X xn kX xdx xEx X x15马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由此得到该由此得到该x方向的等效平板波导的模式本征方程方向的等效平板波导的模式本征方程 2211223521arctanarctan1,2xxxxxpqnnhamn hn hm

13、 22210 xxhn k 22230 xxpn k 其中其中22250 xxqn k 通过数值算法（例如不动点迭代法）求出通过数值算法（例如不动点迭代法）求出x方向等效方向等效平板波导的平板波导的z向传播常数向传播常数 。x 或者借助公式或者借助公式 ，可以写为，可以写为 arctan2arctan 1zz 223522112arctanarctan1,2xxxxxn hn hhammnpn q 16马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由于由于 是是 沿沿y方向的分布函数，沿方向的分布函数，沿x方向偏方向偏振，所以对于振，所以对于y方向的平板波导，方向的平板波导，相当于相当于TE模模 ,xEx

14、y Yyxy1n2n4nb b 2222020yyd Yyn kYydy 2222020 xxEyn kEyy TE模的波动方程模的波动方程 相当于相当于 ，所以满足，所以满足 xEy Yy17马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由此得到该由此得到该y方向的等效平板波导的模式本征方程方向的等效平板波导的模式本征方程 21arctanarctan1,2yyyyypqhbnnhh 22210yyhn k 22220yypn k 其中其中22240yyqn k 通过数值算法（例如不动点迭代法）求出通过数值算法（例如不动点迭代法）求出y方向等效方向等效平板波导的平板波导的z向传播常数向传播常数 。y 利用

15、得到的传播常数利用得到的传播常数 和和 ，通过式，通过式 计算得到矩形波导的传播常数计算得到矩形波导的传播常数 。y x 2222210 xyn k或者借助公式或者借助公式 ，可以写为，可以写为 arctan2arctan 1zz 2arctanarctan1,2yyyyyhhhbnnpq 18马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法场分布场分布 xxyyxxyxxyyxxyxyyCh xh yCh xpybECpxah yCh xqybCqxah y12345coscoscosexpexpcoscosexpexpcos 区域区域区域区域区域区域区域区域区域区域思考：如果按照上述假设，四个思考：如果按

16、照上述假设，四个角区的场分布应该是什么样的？角区的场分布应该是什么样的？19马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法 模分析模分析ymnE在横截面内沿在横截面内沿y方向偏振，方向偏振， ， ，电场和磁，电场和磁场分量关系简化为场分量关系简化为0yH iz 将电场用磁场表示将电场用磁场表示0zyxEiEiHy 0zxEiEx 0yxzEEiHxy zxHiEy zxyHiHiEx xzHiEy 1zxHEiy 1zyxHEiHix 1xzHEiy 20马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法利用麦克斯韦方程组中磁场的散度方程利用麦克斯韦方程组中磁场的散度方程 可以可以得到得到 00H 考虑考虑 ，得到，得到0y

17、H 0zxHHxz 考虑考虑 ，得到，得到iz 0 xzHiHx 即即1xzHHix 0B 0H 21马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法电、磁场分量电、磁场分量 、 、 、 与磁场分量与磁场分量 的关系的关系xEyEzEzHxH2111xxxHHEiyixx y 2221111zxyxxxxHHEiHiHixixixHHx 1xzHEiy xzHHix1 22马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法代入下面的方程代入下面的方程整理后得到整理后得到 222220220 xxxHHn kHxy ymnE模波动方程模波动方程方程中方程中 为折射率，为折射率， ， 。nrn 22000k 2221xyxHEHx

18、 1xzHEiy 0zyxEiEiHy 23马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法马卡梯里近似，相当于把本征值方程的求解化为近似马卡梯里近似，相当于把本征值方程的求解化为近似地用分离变量法求解两个独立的三层平板波导方程。地用分离变量法求解两个独立的三层平板波导方程。矩形波导的波动方程（亥姆霍兹方程）可以近似地写矩形波导的波动方程（亥姆霍兹方程）可以近似地写成如下形式成如下形式 2222222220010220 xxxyxHHn kn kn kHxy 2322125xnxannaxanxa 2222124yynybnnbbnyb 差别仅存在于差别仅存在于4个阴影角区域，而在马卡梯里近似下，个阴影角区域

19、，而在马卡梯里近似下，角区是忽略不计的。角区是忽略不计的。24马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法采用分离变量法，假设采用分离变量法，假设 ，代入上，代入上述改写后的波动方程可以得到两个独立的波动方程述改写后的波动方程可以得到两个独立的波动方程 ,xHx yX x Yy 2222020 xxd Xn kXdx 2222210 xyn k 2222020yyd Yn kYdy 至此，矩形波导的分析（包括本征值至此，矩形波导的分析（包括本征值 和场分布等）和场分布等）可以通过沿可以通过沿x方向和沿方向和沿y方向的两个平板波导的分析得方向的两个平板波导的分析得出结论。出结论。 沿沿x方方向的平板波导向的

20、平板波导沿沿y方方向的平板波导向的平板波导25马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由于由于 是是 沿沿x方向的分布函数，沿方向的分布函数，沿x方向偏方向偏振，所以对于振，所以对于x方向的平板波导，方向的平板波导，相当于相当于TE模模 ,xHx y X xxy1n5n3na aTE模的波动方程及分量关系模的波动方程及分量关系 相当于相当于 ，所以满足，所以满足 2222020 xxd X xn kX xdx xHx X x 2222020yyExn kExx 0 xyHxEx 01yzExHxix 26马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由此得到该由此得到该x方向的等效平板波导的模式本征方程方向的等效平

21、板波导的模式本征方程 21arctanarctan1,2xxxxxpqhammhh 22210 xxhn k 22230 xxpn k 其中其中22250 xxqn k 通过数值算法（例如不动点迭代法）求出通过数值算法（例如不动点迭代法）求出x方向等效方向等效平板波导的平板波导的z向传播常数向传播常数 。x 或者借助公式或者借助公式 ，可以写为，可以写为 arctan2arctan 1zz 2arctanarctan1,2xxxxxhhhammpq 27马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由于由于 是是 沿沿y方向的分布函数，沿方向的分布函数，沿x方向偏方向偏振，所以对于振，所以对于y方向的平板波

22、导，方向的平板波导，相当于相当于TM模模 ,xHx y Yyxy1n2n4nb b 2222020yyd Yyn kYydy 2222020 xxHyn kHyy TM模的波动方程模的波动方程 相当于相当于 ，所以满足，所以满足 xHy Yy28马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由此得到该由此得到该y方向的等效平板波导的模式本征方程方向的等效平板波导的模式本征方程 2211222421arctanarctan1,2yyyyypqnnhbnnn hn h 22210yyhn k 22220yypn k 其中其中22240yyqn k 通过数值算法（例如不动点迭代法）求出通过数值算法（例如不动点迭代

23、法）求出y方向等效方向等效平板波导的平板波导的z向传播常数向传播常数 。y 利用得到的传播常数利用得到的传播常数 和和 ，通过式，通过式 计算得到矩形波导的传播常数计算得到矩形波导的传播常数 。y x 2222210 xyn k或者借助公式或者借助公式 ，可以写为，可以写为 arctan2arctan 1zz 222422112arctanarctan1,2yyyyyhhnnhbnnnpn q 29马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法场分布场分布 12345coscoscosexpexpcoscosexpexpcosxxyyxxyxxyyxxyxyyCh xh yCh xpybHCpxah yCh

24、 xqybCqxah y 区域区域区域区域区域区域区域区域区域区域思考：如何确定待定系数？思考：如何确定待定系数？30马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法 模和模和 模的简并模的简并xmnE重写重写 模和模和 模的等效平板波导模式方程如下模的等效平板波导模式方程如下ymnExmnEymnE 2211223521arctanarctan21arctanarctanxxxxxyyyyypqnnhamn hn hpqhbnhh 模模xmnE 2211222421arctanarctan21arctanarctanxxxxxyyyyypqhamhhpqnnhbnn hn h 模模ymnE31马卡梯里近似解

25、法马卡梯里近似解法如果如果 ，则，则 1112,3,4,5in ni 21arctanarctan21arctanarctanxxxxxyyyyypqhamhhpqhbnhh 模模xmnE 21arctanarctan21arctanarctanxxxxxyyyyypqhamhhpqhbnhh 模模ymnE结论：结论： 模和模和 模的同阶数模式的传播常数及模模的同阶数模式的传播常数及模场分布差别很小，即场分布差别很小，即弱导近似弱导近似下，它们是下，它们是简并简并的。的。xmnEymnE32马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法传播常数传播常数 的近似解析表达式的近似解析表达式 马卡梯里近似将矩形波

26、导本征值方程的求解化为用分马卡梯里近似将矩形波导本征值方程的求解化为用分离变量法求解两个独立的三层平板波导方程，通过离变量法求解两个独立的三层平板波导方程，通过数数值计算值计算得到两个等效平板波导的传播常数得到两个等效平板波导的传播常数 和和 ，再，再利用式利用式 计算矩形波导传播常数计算矩形波导传播常数 。为了避免用计算机算法数值求解超越方程，可利用马为了避免用计算机算法数值求解超越方程，可利用马卡梯里近似解法卡梯里近似解法仅适用于离截止较远的区域仅适用于离截止较远的区域的特点，的特点，得出传播常数得出传播常数 的近似解析表达式。的近似解析表达式。首先，注意到在远离截止点的情况下有首先，注意

27、到在远离截止点的情况下有y x 2222210 xyn k 2222221003,5xxin kn ki 2222221002,4yyin kn ki即即22xxhp22xxhq即即22yyhp22yyhq33马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由于由于 、 ，所以有，所以有22210 xxhn k 222222230130 xxxpn knnkh 222222250150 xxxqn knnkh 22210yyhn k 222222220120yyypn knnkh 222222240140yyyqn knnkh 由于由于22xxph22xxqh22yyph22yyqh所以有所以有 222213

28、0 xnnkh 2222150 xnnkh 2222120ynnkh 2222140ynnkh 34马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法所以所以 2222222222230130013132xxxpn knnkhknnnn 2222222222250150015152xxxqn knnkhknnnn 2222222222220120012122yyypn knnkhknnnn 2222222222240140014142yyyqn knnkhknnnn 2212,3,4,52iiAinn 令令 ，则，则3xpA 5xqA 2ypA 4yqA 35马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法当当 时，有三角函数

29、近似公式时，有三角函数近似公式 。1z arctan zz 1xxhp 1xxhq 1yyhp 1yyhq 223522112arctanarctan1,2xxxxxn hn hhammnpn q 2arctanarctan1,2yyyyyhhhbnnpq 2235221121,2xxxxxn hn hhammnpn q 21,2yyyyyhhhbnnpq 由于由于 、 、 、 ，则，则对于对于 模，两个等效平板波导的模式方程模，两个等效平板波导的模式方程xmnE可以简化为可以简化为36马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法则可以得到则可以得到 模模 和和 的解析表达式如下的解析表达式如下yhxhx

30、mnE 11222235335522221111122335521111122222211,222xxxnnnAnAmmhaanpan qaanann An Ammaan 1124124111122222211,222yxxnnAAhbbpbqbbbnAAnbb 37马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法由于由于 、 、22210 xxhn k 22210yyhn k 2222210 xyn k可以得到可以得到 模传播常数模传播常数 的近似解析表达式的近似解析表达式xmnE2222210222222223355241021112222xyn khhn An AmnAAn kaanbb 2212,3,

31、4,52iiAinn 其中其中结论：阶数越高，传播常数越小。结论：阶数越高，传播常数越小。1,2;1,2mn38马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法对对 模，传播常数模，传播常数 的近似解析表达式为的近似解析表达式为 ymnE2222210222222223522441021112222xyn khhAAmnn An An kaabb n 2212,3,4,52iiAinn 其中其中1,2;1,2mn最后需要指出的是，马卡梯里近似解法的局限性在于最后需要指出的是，马卡梯里近似解法的局限性在于忽略了忽略了4个角区的影响，这样的近似在近截止区将导个角区的影响，这样的近似在近截止区将导致较大的偏差。致较

32、大的偏差。可以利用微扰法对马卡梯里近似解进行修正，提高计可以利用微扰法对马卡梯里近似解进行修正，提高计算精度。算精度。39有效折射率法有效折射率法马卡梯里近似解法仅适用于远离截止的模式。马卡梯里近似解法仅适用于远离截止的模式。1970年，年，Knox和和Toulios提出了一种简便实用且较马提出了一种简便实用且较马卡梯里近似解法更精确的分析矩形波导的方法，称为卡梯里近似解法更精确的分析矩形波导的方法，称为有效折射率法有效折射率法（effective index method），也称为），也称为有有效电容率法效电容率法（effective dielectric constant method），

33、），在集成光学中应用较广。在集成光学中应用较广。和马卡梯里近似解法类似，在有效折射率法中，也是和马卡梯里近似解法类似，在有效折射率法中，也是把矩形（三维）波导近似地看成两个平板（二维）波把矩形（三维）波导近似地看成两个平板（二维）波导的组合。导的组合。与马卡梯里近似解法中两个平板波导完全独立不同的与马卡梯里近似解法中两个平板波导完全独立不同的是，是，在有效折射率法中，两个平板波导并不是完全独在有效折射率法中，两个平板波导并不是完全独立的立的。40有效折射率法有效折射率法马卡梯里近似解法马卡梯里近似解法xy1n5n3na axy1n2n4nb b两个平板波导两个平板波导完全独立。完全独立。有效折

34、射率法有效折射率法xyeffn5n3na axy1n2n4nb b两个平板波导两个平板波导不完全独立。不完全独立。2220yeffnk 2222210 xyn kx y y x x 41有效折射率法有效折射率法 模分析模分析xmnE两个平板波导的模式本征方程分别为两个平板波导的模式本征方程分别为 223522112arctanarctan1,2xxxxxn hn hhammnpn q 2arctanarctan1,2yyyyyhhhbnnpq 22222230320exxxffpn knhnk 22222250520exxxffqn knhnk 222222220120yyypn knnkh

35、222222240140yyyqn knnkh 22210yyhn k 22022022xxeffeffhkknn 42有效折射率法有效折射率法对于对于y方向的平板波导，马卡梯里近似解法和有效折方向的平板波导，马卡梯里近似解法和有效折射率法的方程以及参数是完全相同的，所以两者计算射率法的方程以及参数是完全相同的，所以两者计算得到的得到的 或或 完全相同。完全相同。对于对于x方向的平板波导，两种方法的方程相同，唯一方向的平板波导，两种方法的方程相同，唯一的不同在于波导区的折射率，马卡梯里近似解法的波的不同在于波导区的折射率，马卡梯里近似解法的波导区折射率为导区折射率为 ，而有效折射率法的波导区折

36、射率，而有效折射率法的波导区折射率为为 ，并且，并且 ，所以，所以有效折射率法求解得到的有效折射率法求解得到的 小于马卡梯里近似解法求解得到的小于马卡梯里近似解法求解得到的 。y yheffn1n1effnn xhxh 223522112arctanarctan1,2xxxxxn hn hhammnpn q 222302effxxpnknh 222502effxxqnknh43有效折射率法有效折射率法由由 和和 可以得到可以得到22220 xeffhnk 2222210 xyn khh 222210effynnhk这个计算矩形波导传播常数的公式对于有效折射率这个计算矩形波导传播常数的公式对于有

37、效折射率法和马卡梯里近似解法均适用。法和马卡梯里近似解法均适用。由于由于 、 ，所以，所以 yymareffhh xxmareffhh mareff 下标下标 和和 分别代表马卡梯里近似解法和有效折分别代表马卡梯里近似解法和有效折射率法的计算结果。射率法的计算结果。结论：对于结论：对于 模，由有效折射率法计算得到的传模，由有效折射率法计算得到的传播常数近似值大于马卡梯里近似解法的计算结果。播常数近似值大于马卡梯里近似解法的计算结果。mareffxmnE44有效折射率法有效折射率法 模分析模分析ymnE两个平板波导的模式本征方程分别为两个平板波导的模式本征方程分别为 2arctanarctan1

38、,2xxxxxhhhammpq 222422112arctanarctan1,2yyyyyhhnnhbnnnpn q 22222230320exxxffpn knhnk 22222250520exxxffqn knhnk 222222220120yyypn knnkh 222222240140yyyqn knnkh 22210yyhn k 22022022xxeffeffhkknn 45有效折射率法有效折射率法对于对于y方向的平板波导，马卡梯里近似解法和有效折方向的平板波导，马卡梯里近似解法和有效折射率法的方程以及参数是完全相同的，所以两者计算射率法的方程以及参数是完全相同的，所以两者计算得到

39、的得到的 或或 完全相同。完全相同。对于对于x方向的平板波导，两种方法的方程相同，唯一方向的平板波导，两种方法的方程相同，唯一的不同在于波导区的折射率，马卡梯里近似解法的波的不同在于波导区的折射率，马卡梯里近似解法的波导区折射率为导区折射率为 ，而有效折射率法的波导区折射率，而有效折射率法的波导区折射率为为 ，并且，并且 ，所以，所以有效折射率法求解得到的有效折射率法求解得到的 小于马卡梯里近似解法求解得到的小于马卡梯里近似解法求解得到的 。y yheffn1n1effnn xhxh 2arctanarctan1,2xxxxxhhhammpq 222302effxxpnknh 222502ef

40、fxxqnknh46有效折射率法有效折射率法传播常数的计算式传播常数的计算式2222210 xyn khh 由于由于 、 ，所以，所以 yymareffhh xxmareffhh mareff 下标下标 和和 分别代表马卡梯里近似解法和有效折分别代表马卡梯里近似解法和有效折射率法的计算结果。射率法的计算结果。结论：对于结论：对于 模，由有效折射率法计算得到的传模，由有效折射率法计算得到的传播常数近似值大于马卡梯里近似解法的计算结果。播常数近似值大于马卡梯里近似解法的计算结果。无论无论 模还是模还是 模，有效折射率法计算得到的传模，有效折射率法计算得到的传播常数近似值大于马卡梯里近似解法的计算结

41、果。播常数近似值大于马卡梯里近似解法的计算结果。mareffymnEymnExmnE47有效折射率法有效折射率法计算实例计算实例11.5n 23451nnnn 模模ymnE201221Bkb n 1a b 2a b -有效折射率法；有效折射率法；-数值算法；数值算法；-马卡梯里近似解马卡梯里近似解法法48有效折射率法有效折射率法将三种方法的计算结果比较发现：将三种方法的计算结果比较发现： 在远离截止区，三种方法的结果都符合得很好；在远离截止区，三种方法的结果都符合得很好； 在近截止区，有效折射率法的计算结果比马卡梯里近在近截止区，有效折射率法的计算结果比马卡梯里近似解法的计算结果更接近于数值计

42、算结果；似解法的计算结果更接近于数值计算结果； 马卡梯里近似解法的计算结果偏低，而有效折射率法马卡梯里近似解法的计算结果偏低，而有效折射率法的计算结果偏高。的计算结果偏高。有效折射率法是一种较马卡梯里近似解法更为精确的有效折射率法是一种较马卡梯里近似解法更为精确的近似方法，因而在集成光学中应用广泛，但是在近截近似方法，因而在集成光学中应用广泛，但是在近截止区，有效折射率法的结果仍然不够精确，需要借助止区，有效折射率法的结果仍然不够精确，需要借助微扰法等方法进行修正，有兴趣的同学可自学，这里微扰法等方法进行修正，有兴趣的同学可自学，这里不再深入介绍。不再深入介绍。49有效折射率法有效折射率法脊形

43、波导分析脊形波导分析脊形波导在集成光路中较为常见，尤其是有机聚合物脊形波导在集成光路中较为常见，尤其是有机聚合物波导常采用这种结构；波导常采用这种结构；脊形波导的光场能量主要集中在脊形区，其波导结构脊形波导的光场能量主要集中在脊形区，其波导结构如下图所示。如下图所示。1n2n3nabdyx中间为脊形区，宽度为中间为脊形区，宽度为 ，厚，厚度为度为 。两边为薄膜区，厚度为两边为薄膜区，厚度为 。abd d12nn 13nn 50有效折射率法有效折射率法脊形波导在脊形波导在y方向限制光波的三个区域所对应的平板方向限制光波的三个区域所对应的平板波导为波导为1n2n3nbd yxd1n2n3nd1n2

44、n3n脊形区有效折射率为脊形区有效折射率为 ，薄膜区有效折射率为，薄膜区有效折射率为 ，根据平板波导的讨论可知根据平板波导的讨论可知 ，可以构成如下图，可以构成如下图所示的在所示的在x方向限制光波的等效对称平板波导。方向限制光波的等效对称平板波导。1N2N12NN yx1N2Na2N51有效折射率法有效折射率法对于对于 模，可以先由平板波导的模，可以先由平板波导的TE模本征值方程分模本征值方程分别求出有效折射率别求出有效折射率 和和 ，然后对，然后对x方向限制光波的方向限制光波的等效对称平板波导利用等效对称平板波导利用TM模本征值方程求出其传播模本征值方程求出其传播常数，即脊形波导的传播常数。

45、常数，即脊形波导的传播常数。对于对于 模，可以先由平板波导的模，可以先由平板波导的TM模本征值方程分模本征值方程分别求出有效折射率别求出有效折射率 和和 ，然后对，然后对x方向限制光波的方向限制光波的等效对称平板波导利用等效对称平板波导利用TE模本征值方程求出其传播模本征值方程求出其传播常数，即脊形波导的传播常数。常数，即脊形波导的传播常数。1N2NxmnE1N2NymnE思考一：如何理解波导在思考一：如何理解波导在x方向对光场的约束？方向对光场的约束？思考二：脊形波导的光场分布形式是怎样的？思考二：脊形波导的光场分布形式是怎样的？52有效折射率法有效折射率法载条型波导分析载条型波导分析与脊形波导一样，载条型波导在集成光路中也较为常与脊形波导一样，载条型波导在