惠更斯原理与波的衍射

1、第30届全国部分地区大学生物理竞赛，将于2013年12月月7日（星期六）下午日（星期六）下午2：004：30考生凭准考证和学生证进入考场，不允许带计算器，并关闭手机及其它通讯工具。 每名考生交报名费30元在填写竞赛电子报名表的时候，请同学们务必请同学们务必核核对对表中的姓名，表中的姓名，必须必须和学生证的一致。和学生证的一致。若有误，将影响进入考场和获奖证书。领准考证时间： 2013年12月7日前（一周内）发放，考证上有具体的考试地点。凡获奖获奖同学期末免考，总评分总评分100分分。参加比赛同学中得分较高的（未获奖）我们将在期末成绩中酌情加分5-10分。第第30届全国部分地区大学生物理竞赛通知

2、届全国部分地区大学生物理竞赛通知掌握建立波函数的方法！掌握建立波函数的方法！求原点的振动位移求原点的振动位移得到得到x处的振动状态即为波函数处的振动状态即为波函数uxttuP点振动点振动落后落后O点点P点振动点振动超前超前O点点)(cos),(ouxtAtxy x前正号的意义前正号的意义沿沿x 轴轴正正方向各质点相位逐一方向各质点相位逐一超前超前！注意注意：x前前负号负号的意义的意义沿沿x 轴轴正正方向方向各质点相位逐一落后！各质点相位逐一落后！Pxyux o)(sin)(222uxtVAWWWPK 体积元总机械能总结：总结： 体积元的动能、势能、总能量都随体积元的动能、势能、总能量都随t作周

3、期性变化，动能、作周期性变化，动能、势能同时达到最大值，又同时达到最小值。势能同时达到最大值，又同时达到最小值。体积元的机械能体积元的机械能不守恒。在横波中，波峰位置处，动能和势能都为零，总能不守恒。在横波中，波峰位置处，动能和势能都为零，总能量为零；平衡位置处，动能和势能同时最大最大，总能量最量为零；平衡位置处，动能和势能同时最大最大，总能量最大。大。在行波的传播过程中，体积元的动能和势能的时间关系相同，同相且大小相同。)(sin)(21222uxtVAWWkP 0 KWB点0 v0 PW0/ xy同时 波峰处 B 点v 最大, WK最大PWxy /同时 最大最大，平衡位置处弹性势能正比于相

4、对形变波动传播能量，振动系统不传播能量在波动中，每个质元都起着能量转换的作用-不断地吸取能量，又不断地放出能量。因此说振动的传播过程也就是能量的传播过程。xBBoy下一时刻本讲主要内容：本讲主要内容：一、惠更斯原理一、惠更斯原理二、波的衍射二、波的衍射三、波的反射和折射三、波的反射和折射21.3 一、惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理: :在波的传播过程中在波的传播过程中, ,波阵面波阵面( (波前波前) )上的上的每一点都可看作是发射子波的波源每一点都可看作是发射子波的波源, ,在其后的任一时在其后的任一时刻刻, ,这些子波的包迹就成为新的波阵面。这些子波的包迹就成为新的波阵面。以穿过小孔的水面

5、波为例以穿过小孔的水面波为例穿过小孔的波与原耒波的穿过小孔的波与原耒波的形状无关形状无关, ,这说明小孔可以这说明小孔可以看成是一个新的振源。看成是一个新的振源。 Shockwave Flash Object二、波的衍射平面波S1S2r = v ta波动在传播的路程中遇到障碍物，波动在传播的路程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进，这能够绕过障碍物的边缘前进，这种现象叫种现象叫波的衍射波的衍射或波的绕射。或波的绕射。 惠更斯原理的基础是几何作图法，惠更斯原理的基础是几何作图法，它的意义不在于求新的波前，而在它的意义不在于求新的波前，而在于它能解释很多波动现象。于它能解释很多波动现象。S1S2

6、r= v t球面波a比较两图结论：长波结论：长波衍射现象明显，方向性不好；衍射现象明显，方向性不好； 短波短波衍射现象不明显，方向性好。衍射现象不明显，方向性好。 ( (长波、短波是以波长与障碍物的线长波、短波是以波长与障碍物的线 度相比较而言的度相比较而言的) )三、波的反射和折射入射角等于反射角入射角等于反射角-波动的反射定律波动的反射定律MNBDCAA1A2声波的反射：声波的反射：消音室消音室 回音壁回音壁 MNBCAD夜晚的声线声源sinui2121sinnur波动的折射定律波动的折射定律声波的弯曲：声波的弯曲：夏日正午的寂静夏日正午的寂静夜半钟声到客船夜半钟声到客船smCta/)(.

7、0610 声声速速温度低高声速小大白天的声线声源静区静区本讲主要内容：本讲主要内容：一、波的叠加原理一、波的叠加原理二、波的干涉二、波的干涉三、驻波三、驻波一、波的叠加一、波的叠加（1）几列波相遇后）几列波相遇后,仍保持它们原有的特性仍保持它们原有的特性(频率、波频率、波长、振幅、振动方向等长、振幅、振动方向等)不变不变,并按照原耒的方向继续前并按照原耒的方向继续前进进,即各波互不干扰即各波互不干扰-波传播的独立性。波传播的独立性。（2）在相遇区域内）在相遇区域内,任一点的振动为几列波单独存在时任一点的振动为几列波单独存在时在该点所引起的在该点所引起的振动位移的矢量和振动位移的矢量和-波的叠加

8、原理。波的叠加原理。波动方程波动方程222221tyuxy 若若y1、y2分别是它的解，则分别是它的解，则y1+y2 也是它的解也是它的解,即上述即上述波动波动方程遵从叠加原理方程遵从叠加原理。爆炸产生的冲击波就不满足线性爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。方程，所以叠加原理不适用。是各种平面波所必须满足的线性偏微分程。是各种平面波所必须满足的线性偏微分程。波为什么服从叠加原理？波为什么服从叠加原理？任何波都服从叠加原理吗？任何波都服从叠加原理吗？同频率不同振幅的两个波的叠加同频率不同振幅的两个波的叠加图示两列振动方向相同的同方向传播的波动的叠加图示两列振动方向相同的同方向传

9、播的波动的叠加:频率比为频率比为2:12:1的两个等幅波的叠加的两个等幅波的叠加一个高频波和一个低频波的叠加一个高频波和一个低频波的叠加频率相近的两列等幅波的叠加频率相近的两列等幅波的叠加叠加原理在物理上的重要性还在于可将一列复杂的叠加原理在物理上的重要性还在于可将一列复杂的波分解为简谐波的组合。波分解为简谐波的组合。 讨论两列讨论两列频率相同频率相同,振动方向相同振动方向相同,相位相同或相位相位相同或相位差恒定差恒定的简谐波的叠加的简谐波的叠加一种最简单也是最重一种最简单也是最重要的波的叠加情况。这两列波叠加后的图像稳定要的波的叠加情况。这两列波叠加后的图像稳定,不不随时间而变化。随时间而变

10、化。干涉现象是波动形式所独具的重要特征之一。干涉现象是波动形式所独具的重要特征之一。二、波的干涉二、波的干涉满足相干条件的波源满足相干条件的波源称为称为相干波源相干波源。 具有具有恒定的相位差恒定的相位差 振动方向相同振动方向相同 （或称为具有（或称为具有 相同的偏振面相同的偏振面) )两波源的两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。波振幅相近或相等时干涉现象明显。 两波源具有两波源具有相同的频率相同的频率&相干条件：相干条件：S1r1S2r2P)2cos(11011 rtAyp)2cos(22022 rtAyp )cos(021 tAyyyP点的合振动为点的合振动为S1r1S2r2P)cos

11、( 12102021222122rrAAAAA&干涉加强、减弱的条件干涉加强、减弱的条件)cos()cos()sin()sin( 220211012202110102222rArArArAtg两列波传到两列波传到P点的振动方程为点的振动方程为 1210202rr 是一个恒量是一个恒量,不随时间而变不随时间而变,只是空间位置的函数。因此只是空间位置的函数。因此空间空间每点每点的的合振幅合振幅 A 也是一个恒量。也是一个恒量。( (1) ) krr22121020 21AAA 合振动的振幅最大合振动的振幅最大,称为称为相干加强相干加强( (2) ) ) 12(2121020 krr21AAA ;

12、合振动的振幅最小合振动的振幅最小,称为称为相干减弱相干减弱(k=0,1,2,.)时时(k=0,1,2,)时时, ,两列相干波在空间任一点所引起的两个振动的相位差两列相干波在空间任一点所引起的两个振动的相位差(3)若若 ,2010 代表从波源代表从波源S1和和S2发出的两列相干波到达发出的两列相干波到达空间空间P点时所经过的路程差点时所经过的路程差,称为称为波程差波程差。21rr krr 21k = 0,1 ,2, ., ., A最大最大. . )21(21 krrk = 0,1 ,2, ., ., A最小最小. .即两列相干波源为同相位时即两列相干波源为同相位时, ,在两列波的叠加的区域内在两

13、列波的叠加的区域内, ,在波程差等于零或者等于波长的整数倍的各点在波程差等于零或者等于波长的整数倍的各点, ,振幅最振幅最即即对于两个同相位的相干波源对于两个同相位的相干波源.此时上述条件变为此时上述条件变为: 1210202rr 大大，在波程差等于半波长的奇数倍的各点，在波程差等于半波长的奇数倍的各点, ,振幅最小。振幅最小。两列波叠加后的强度两列波叠加后的强度 2AI叠加后空间各点的强度重新分布。叠加后空间各点的强度重新分布。若若I1=I2,则叠加后波的强度则叠加后波的强度 cos121II当当 时时,在这些位置波强最大在这些位置波强最大, k2 当当 时时,在这些位置波强最小在这些位置波

14、强最小, ) 12( kI2 4 6 -2 8 -4 -6 -8 0 cos22121IIII cos2212221AAAAI=4I1 。I=0 。2cos421 I cos212II称称为为干干涉涉项项波的干涉之波的干涉之模拟演示图模拟演示图强弱强弱强两列非相干波相遇时，叠加图象不稳定，合成波两列非相干波相遇时，叠加图象不稳定，合成波的强度的强度I=I1+I2，没有干涉项，为非相干叠加。，没有干涉项，为非相干叠加。非相干叠加.swf波的干涉1.swf解解: 00BA设设A的相位较的相位较B超前超前,则则则则P点的相位差应为点的相位差应为 BPAP2合振幅合振幅 0)cos(2cos22221

15、2221 AAAAAAA P点因干涉而静止。点因干涉而静止。ABP20 m15 m00AB 201 APBP 2例例 如图所示如图所示, A、B两点为同一介质的两相干波源两点为同一介质的两相干波源,其其振幅皆为振幅皆为A=5 cm, 频率皆为频率皆为100 Hz, 但当点但当点A为波峰时为波峰时,点点B适为波谷。设波速为适为波谷。设波速为10 m/s, (A、B两波源的振动垂两波源的振动垂直于平面直于平面),试写出由试写出由A、B发出的两列波传到发出的两列波传到P点时干涉点时干涉的结果。的结果。m1 . 0 vBP=25m例例 .S1、S2位于位于x轴上轴上,它们的坐标分别是它们的坐标分别是x

16、10=0 m, x20=20.5 m,是同一介质中的两个波源是同一介质中的两个波源,它们它们激起的平面波沿激起的平面波沿x轴传轴传播播,波速波速200m/s,频率为频率为 = 100Hz,振幅振幅A=5cm,初相差初相差 1 - 2= /2,求求: (1) x轴上因干涉而静止和加强的各点的位置轴上因干涉而静止和加强的各点的位置; (2) x0,与与0 x20.5m三个区域的能流密度三个区域的能流密度(波的强度波的强度)各是多少各是多少?QPRS1S2x0解：解：(1)取坐标如图所示，由题知：取坐标如图所示，由题知： = 2 m 两波在两波在S 1 左侧的任一点左侧的任一点P的相位差：的相位差：

17、 12122rrP 区处处干涉相消区处处干涉相消QPRS1S2x0 2125 .2022 相相干干减减弱弱相相干干加加强强,11,10, 9, 2, 1, 0,10, 2, 1, 0,11, 5 .10 kkkkx22xQ 2025 .202221212 rrQ区处处干涉加强区处处干涉加强QPRS1S2x0 两波在两波在S 2 右侧的任一点右侧的任一点Q的相位差：的相位差：).(x 520 2122x/解：解：(2) x0, I=0; 0 x20.5, I=4I0 (2) x0,与与0 x20.5m三个区域的能流密度三个区域的能流密度(波的强度波的强度)各是多少各是多少?思考：这一结论有什么物

18、理意义？思考：这一结论有什么物理意义？三、驻波三、驻波 讨论两列讨论两列振幅相同振幅相同的的相干相干波波,在在同一直线同一直线上上,沿沿相相反方向反方向传播时所产生的传播时所产生的。 调节砝码，可以看到弦线上形成了稳定的调节砝码，可以看到弦线上形成了稳定的振动状态振动状态,但各点的振幅不同但各点的振幅不同,有些点始终静止有些点始终静止不动不动,而另一些点则振动最强而另一些点则振动最强,这就是这就是驻波驻波。驻。驻波是干涉的特例。波是干涉的特例。oxyt=0uu&用图示法耒讨论驻波的产生用图示法耒讨论驻波的产生t=T/8&用图示法耒讨论驻波的产生用图示法耒讨论驻波的产生oxyuuoxyt=T/4

19、uu&用图示法耒讨论驻波的产生用图示法耒讨论驻波的产生oxyt=3T/8uu&用图示法耒讨论驻波的产生用图示法耒讨论驻波的产生oxyt=T/2uu&用图示法耒讨论驻波的产生用图示法耒讨论驻波的产生&用图示法耒讨论驻波的产生用图示法耒讨论驻波的产生&用图示法耒讨论驻波的产生用图示法耒讨论驻波的产生oxyt=T/2uu 驻波有一定的波形驻波有一定的波形,此波形不移动此波形不移动,各点以各自确定各点以各自确定的振幅在各自的平衡位置附近振动的振幅在各自的平衡位置附近振动,没有振动状态或相没有振动状态或相位的传播位的传播.因此因此驻波是一种特殊的振动状态驻波是一种特殊的振动状态,不是波不是波,它不它不具

20、备波的特性。具备波的特性。&用图示法耒讨论驻波的产生用图示法耒讨论驻波的产生火焰驻波火焰驻波tTxAyyy 2cos)2cos2(21 合成波合成波 合成以后各点都在做合成以后各点都在做同周期同周期的振动的振动,但但各点振幅不同各点振幅不同,合振幅最大值发生在合振幅最大值发生在 的点的点,因此因此波腹波腹的位置的位置12cos x 2 kx 2 kx 根据此表达式耒考查合成后空间各点的情况根据此表达式耒考查合成后空间各点的情况:)(2cos2 xTtAy )(2cos1 xTtAy &用解析法耒讨论驻波用解析法耒讨论驻波(a)考察驻波中各点的考察驻波中各点的振幅振幅驻波表达式中空间与时间的变量

21、完全分开，完全失去行驻波表达式中空间与时间的变量完全分开，完全失去行波的特征，实际上是一种波的特征，实际上是一种特殊的振动特殊的振动！相邻两个波腹和波节之间的距离都是相邻两个波腹和波节之间的距离都是 /2。(b) 考察驻波中各点的相位考察驻波中各点的相位凡是使凡是使 的各点相位为的各点相位为2t。02cos x02cos x凡是使凡是使 的各点相位为的各点相位为-2t。02cos x而而 的各点即波节处不振动的各点即波节处不振动。合振幅最小值发生在合振幅最小值发生在 的点的点,因此因此波节波节的位置的位置02cos x / / 2 22 (2k+1)x 4 (2k+1)x 因此相邻的波节之间的

22、相位是相同的因此相邻的波节之间的相位是相同的, ,而波节的两而波节的两边相位相反。边相位相反。同一波节间的各点步调一致同一波节间的各点步调一致,相邻波节间各点的步调相邻波节间各点的步调正好相反。正好相反。 (c) 考察驻波的能量考察驻波的能量当每个质点振动达到当每个质点振动达到最大位移最大位移时，各质点时，各质点动能为零动能为零，驻波能量为势能驻波能量为势能，波节处形变最大，波节处形变最大，势能集中在波节。势能集中在波节。 y/ x较较大大 y/ x小小当每个质点振动达到当每个质点振动达到平衡位置平衡位置时，各质点势能为零，时，各质点势能为零，驻波能量为动能，波节处速度为零，驻波能量为动能，波

23、节处速度为零，动能集中在波腹。动能集中在波腹。驻波进行中没有能量的定向传播，总能流密度为零。驻波进行中没有能量的定向传播，总能流密度为零。能量在波腹和波节之间转换。能量在波腹和波节之间转换。始终不动始终不动波疏波疏 波密波密波疏波疏波密波密有半波损失有半波损失无半波损失无半波损失（d) 驻波的形成与边界条件有关驻波的形成与边界条件有关(实际中驻波的形成实际中驻波的形成) ) 反射点固定反射点固定, ,形成驻波的波节形成驻波的波节, ,说明反射波与入射波在说明反射波与入射波在该点相位相反。即在反射点处反射波有该点相位相反。即在反射点处反射波有 相位的突变相位的突变, ,称为称为半波损失半波损失。

24、若反射点是自由的。若反射点是自由的, ,合成的驻波在反射合成的驻波在反射点将形成波腹点将形成波腹, ,反射波与入射波没有相位突变。反射波与入射波没有相位突变。u大的为波密媒质大的为波密媒质u小的为波疏媒质小的为波疏媒质波在固定点的反射波在固定点的反射入射波和反射波在入射波和反射波在固定点引起的固定点引起的振动振动反向，叠加后相消，反向，叠加后相消，所以固定所以固定点是波节点是波节。波在自由点的反射波在自由点的反射入射波和反射波在入射波和反射波在自由点引起的自由点引起的振动振动同向，叠加后加强，同向，叠加后加强，所以自由所以自由点是波腹点是波腹。波疏波疏波密波密举举例例：这点要求是波节这点要求是

25、波节反射波画成如图形状是否满反射波画成如图形状是否满足边界点为波节呢？足边界点为波节呢？一列平面余弦入射波在波密媒质发生反射，在某一一列平面余弦入射波在波密媒质发生反射，在某一时刻波形曲线如图所示：时刻波形曲线如图所示：波疏波疏波密波密举举例例：反射波画成如图形状是否满反射波画成如图形状是否满足边界点为波节呢？足边界点为波节呢？一列平面余弦入射波在波密媒质发生反射，在某一一列平面余弦入射波在波密媒质发生反射，在某一时刻波形曲线如图所示：时刻波形曲线如图所示：考虑下一时刻考虑下一时刻t+T/4t+T/4两列两列波的叠加：波的叠加：叠加后不为零叠加后不为零显然所画的反射波没有半波损失！显然所画的反

26、射波没有半波损失！波疏波疏波密波密举例：举例：一列平面余弦入射一列平面余弦入射波在波密媒质发生波在波密媒质发生反射，在某一时刻反射，在某一时刻波形曲线如图所示：波形曲线如图所示：画反射波波形曲线的作图法：画反射波波形曲线的作图法：步骤一步骤一 假设不存在界面，画出入射波在界面右边假设不存在界面，画出入射波在界面右边的波形曲线。的波形曲线。步骤二步骤二 波在波密介质界面反射，则将右边的波形波在波密介质界面反射，则将右边的波形向界面移动半个波即反射波有半波损失。向界面移动半个波即反射波有半波损失。步骤二步骤二 将处理好的界面右边的波形作界面反射到将处理好的界面右边的波形作界面反射到界面左边，即为半

27、波损失反射波波形。界面左边，即为半波损失反射波波形。 例例. 如图在如图在O点有一平面简谐波源点有一平面简谐波源,其振动方程为其振动方程为:产生的波沿产生的波沿x轴正、负方向传播轴正、负方向传播,位于位于x=-3-3 /4/4处有一个波处有一个波密介质反射平面密介质反射平面MN, ,tcosAy NOM-3 /4yx (1)写出反射波的波动方程写出反射波的波动方程; (2)写出合成波的波动方程写出合成波的波动方程; (3)讨论合成波的平均能流密度讨论合成波的平均能流密度;第一步：写出入射波函数；第一步：写出入射波函数；第二步：写出入射波在反射点的振动方程，考虑第二步：写出入射波在反射点的振动方

28、程，考虑有无半波损失，然后写出反射波在反射面处的振有无半波损失，然后写出反射波在反射面处的振动方程。动方程。第三步：写出反射波波函数，注意，第三步：写出反射波波函数，注意， 反射波的传反射波的传播方向，要在播方向，要在x正轴上任取一点来写波函数。正轴上任取一点来写波函数。 则反射波的波函数为则反射波的波函数为 y反反=Acos t = 第一步：写出入射波函数；第一步：写出入射波函数；第二步：写出入射波在反第二步：写出入射波在反射点的振动方程，考虑有射点的振动方程，考虑有无半波损失，然后写出反无半波损失，然后写出反射波在反射面处的振动方射波在反射面处的振动方程。程。第三步：写出反射波波函第三步：

29、写出反射波波函数，注意，数，注意， 反射波的传播反射波的传播方向，要在方向，要在x正轴上任取正轴上任取一点来写波函数。一点来写波函数。y入射波入射波=Acos( t+2 x/ ) 反射点处的振动方程反射点处的振动方程 y MN=A cos ( t 23在波密媒质反射有半波损失在波密媒质反射有半波损失 /4NOM /2- /4- /2yxP)43(2 x xttuxtt2 ）（4/324/3 xttuxtt=Acos( t-2 x/ ) - 3 / 2+)考虑向左传播的入射波考虑向左传播的入射波(2) 在原点在原点O的左方，由的左方，由O点发出的点发出的入射波波函数入射波波函数为为 /4/4NOM /2/2- - /4/4- - /2/2yx与反射波合成后的波函数：与反射波合成后的波函数： y= yR+y左左= 2Acos2 x/ cos t 为一驻波为一驻波y反反=Acos( t-2 x/ ) y左左=Acos( t+2 x/ )反射波反射波 /4/4NOM /2/2- - /4/4- - /2/2yx在原点在原点O的右方，由的右方，由O点发出的点发出的向右的入射波波函数向右的入射波