第8章 最小二乘法与组合测量

1、误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1 1第8章 最小二乘法与组合测量 作者：刘兆平部门：机电设备系 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-2 2教学目标最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科领域得到广泛应用的数学工具。随着现代数学和计算机技术的发展，最小二乘法成为参数估计、数据处理、回归分析和经验公式拟合中必不可少的手段，并已形成统计推断的一种准则。通过本章的学习，用户可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在组合测量问题的数据处理中的应用 。 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-3 3教学重点和难点v最小二乘法原理v线性参数的最小二乘法v非线性参数的最小二乘法v组合测量 误

2、差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-4 4第一节最小二乘法原理 最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。 对某量进行测量，得到一组数据 ,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为 x12,nx xx12,n 测得值落入的概率 ix,iix xdx221exp()22iiiivpdx 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-5 5测得值 同时出现的概率为 12,nx xx211exp()2( 2 )niiniiiiivPpdx最可信赖值满足 22iiivMin2iiwvMin22()iivxxMin21iiw201iw权因子 最小二乘法原理最小二

3、乘法原理 虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-6 6第二节线性参数的最小二乘法 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-7 7组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量 1x2x3x测得值1y2y3y4y11221332340.3()0.4()0.5()0.3()xyxyxxyxxy 待解的数学模型 待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。 误差理

4、论与数据处理第八章最小二乘法8-8-8 8一、正规方程组 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-9 9线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为 1 1221tiiiittijjjya xa xa xa x1,2,in1tiijjijya xv测量残差方程组 含有随机误差Ax = yy - Ax = v矩阵形式111212122212ttnnntaaaaaaAaaa12nyyyy12txxxx12nvvvv 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1010T() ()Miny - Axy - Ax最小二乘法原理式 求导TTA Ax = A y正规方程组 正规方程组解 1TxCA yTA A

5、CT() w()Miny - Axy - AxwwTTAAx = Ay1(TTwwxAA) Ay不等权正规方程组正规方程组 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1111三、标准差的估计三、标准差的估计 1 1、直接测量结果的标准差估计、直接测量结果的标准差估计 2iivsnt2iiiwvsnt（加权）未知量个数方程个数残差2 2、待求量的标准差估计、待求量的标准差估计 xjjjd直接测量量的标准差1TA A对角元素误差传播系数 3 3、待求量与的相关系数、待求量与的相关系数 ijijiijjdd d1TA A元素 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1212【例【例8-8-】为精密

6、测定1号、2号和3号电容器的电容量，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值，2号电容值，1号和3号并联电容值，2号和3号并联电容值。试用最小二乘法求及其标准偏差。 123,x x x10.3y 20.4y 30.5y 40.3y 123,x x x【解】【解】列出测量残差方程组 y - Ax = v0.30.40.50.3y100010101011A1234vvvvv11223134230.30.40.5()0.3()xxxxxx 矩阵形式 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1313正规方程组 TTA Ax = A y1001010201010010102110100111

7、12011TCA A0.310100.80.401010.70.500110.20.3T A y1232010.80210.71120.2xxx 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1414正规方程组解 1TxCA y1 0.250 -0.500 0.250 -0.500-0.500 -0.500 0.7500.7501.000C0.750 0.250 -0.5000.80.325 0.250 0.750 -0.5000.7-0.425-0.500 -0.500 1.0000.2 0.1501230.325,0.425,0.150 xxx 即 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1

8、515标准差的计算代入残差方程组，计算 12340.025vvvv 222212340.0025vvvv0.002543s 1110.0433xs d 2220.0433xs d 3330.050 xs d 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1616第三节非线性参数的最小二乘法测量残差方程组 ( )iiiyvx12( ,)tx xxx非线性函数取的初始似值 x(0)x泰勒展开(0)(0)()iiijijyvxj=tj=1xx 1 122iiiittiyaaav ()iiiyy (0)x按线性参数最小二乘法解得 12( ,)t (1)(0)xx 迭代直至满足精度为止 误差理论与数据处理第

9、八章最小二乘法8-8-1717【例【例8-28-2】在例8-1的基础上，再增加一次测量串联电容 ，测得。试用最小二乘法求及其标准偏差。 50.14y 123,x x x【解】【解】列出非线性测量方程组 1212/x xx x12132312120.30.40.50.30.14xxxxxxx xxx 11( )xx22( )xx312( )xxx423( )xxx12512( )x xxxx误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1818对前个线性测量方程组，按例8-1求出解，作为初次近似解 (0)0.325,0.425, 0.150 x在附近，取泰勒展开的一阶近似 (0)111()0.30.

10、3250.025yy x(0)0.325,0.425, 0.150 x111a 120a130a(0)222()0.40.4250.025yy x210a221a230a(0)333()0.5(0.3250.150)0.025yy x311a320a331a(0)444()0.3( 0.4250.150)0.025yy x410a421a431a(0)5550.325 0.425()0.141.241250.3250.425yy x5118.0625a5210.5625a530a误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-1919写出线性化残差方程组 11223350.0251000.02501

11、00.0251010.0250111.2412518.0625 10.56250vvvvv整理得正规方程组 123328.254190.785122.4201190.785113.566113.1171120解出 10.0473 20.0363 30.0418 1011111230.2777,0.4613,0.1918xxxx 迭代 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-20206次迭代 结果表表8-2迭代次数00000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.

12、2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.001050.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.00142-0.001270.160-0.4950.26860.000315 0.000419 0.0003670.160-0.4950.2671231x2x3x误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-2121第四节组合测量问题应用举例 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-2222【例【例8-38-3】要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求及

13、其标准偏差。 123,x x x123,x x x11.015L 20.985L 31.020L 42.016L 51.981L 63.032L 0123xxx123LLLLLL123456 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-2323计算步骤【解】【解】列出测量残差方程组 L- Ax = v1.01250.9851.0202.0161.9813.302L100010001110011111A123456vvvvvvv1112223334412552366123vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-2424解出11TTTxC A LA A

14、A L10.5000.25000.2500.5000.25000.2500.500C 1.0150.9851001016.0631.020010111 8.0142.016001011 6.0331.9813.032TA L0.5000.25006.0631.0280.2500.5000.250 8.014 0.98300.2500.500 6.033 1.013x 1231.028,0.983,1.013xxx即计算结果计算结果 误差理论与数据处理第八章最小二乘法8-8-2525代入残差方程组可得 11122233344125523661231.015 1.0280.0130.9850.9830.0021.020 1.0130.0072.01