多目标决策方法

1、多目标决策方法 一.多目标决策方法简介1. 多目标决策问题及特点(1) 案例个人：购物；买房；择业集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择(2) 要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则(3) 多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量 纲的不一致性；目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的，可以定量表示出来：如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的： 如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、 工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。2. 多目标决策问题的描述DRfdX),

2、f2(X), fn(X)ST g1(x0,g2(x0 gp(x0决策空间：X = x g： (x)兰0目标空间F 二f(x)x X 两个例子：离散型；连续型3. 多目标决策问题 的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4. 多目标决策主要有以下几种方法：(1) 化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；(2) 直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好 的评价标准从中找出一个满意的解。(3) 分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求 出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解 的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为 止。(4) 目标规划法：对于每一

3、个目标都事先给定一个期望值，然 后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。(5) 重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其 排出优劣次序来。(6) 多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函 数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评 价各个可行方案的优劣。(7) 层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策 方案的计量关系。(8) 多目标群决策和多目标模糊决策。(9) 字典序数法和多属性效用理论法等。二、几种常见方法简介及应用1加性加权法(1) 基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立；2价值函数的形式是加性的。虽然价值函数很难确切描述

4、，但决策者认为效用合成可用加性， 另外，每个属性的价值函数是关于属性指标的线性函数。(2) 符号说明:yij：第i个方案关于第j个属性的取值；可：yj的规范值；Wj:第j个属性的权重；Vi：第i个方案的综合取值(3) 加性加权模型:max比i丄灯nv 八 WjZjj mi =1,mj =1 , . .nZj的规范算法:ZijmaxYj - min%当为j成本型时,rYj _minYjZ ijmax Yj - min Yij为效益型时，Zj 0,1 1,当Zj =1时，最优；Zj =0时，最差。规范后Zj是越大越优的Note:特殊问题的规范化值例子：人员招聘中对人的满意度的评价公务员的招聘(4)

5、 权重Wi的求解关键两种：一是直接由决策者给出；二是分析者根据决策者给的偏好信息用一定的方法导出。由决策者对目标的成对比较，来导出属性目标的权重：成对比较矩阵A = 心:第i个目标相对于第j个目标的重要性(按1-9比例标度赋值，这是根据心理学家的研究，认为人们区 分信息等做的极限能力为7士 2,标度1, 3, 5, 7，9对应于两因 素相比为同等重要，略微重要，比较重要，非常重要和绝对重要， 而2,4, 6, 8表示两判断之间的中间状态对应的极度值)成对比较矩阵性质正互反性aijajiA0时，max -n,且存在W 0 ；maxn, iA为一致阵一123|113212例 1: A = 121|

6、331|1134244243阶.三阶理论说明：二虽然由客观事物的复杂性以及人的认识的多样性， 因而判断矩阵A未必是一致阵。但是仍要求A有大体上的一致性。也就是说一个判断矩阵如果是有效的就不应该出现诸如 “甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙比甲极端重要的逻辑谬误。因此对 A需作检验，关于A的一致性检验分如下几步：CImax -nn 1(2 )(1) 计算一致性指标(2) 查找相应的平均一致性指标RI表1: 1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的RIn123456789101112131415RI000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.5

7、81.59(3) 计算一致性比例CRCR 但(3 )RI如CFk0.1，则认为A的一致性问题可接受，否则需对 A作适当的修利用上述成对比较矩阵，可采用和法，根法，特征根法，最小平方法来计算权重，具体方法如下：i =1,2,nn j-zk4(4)-111132例2 A =3132113一W3 =0.2578禾口法：W二丄7 JW 0.1593W2 二 0.5889如果已求得各权重向量W1,wn，则max 也可由下式计算得到:max7 aijWjj mnn aj w 丿nzk=1i =12nW 0.1507W2 二 0.5753 W 0.2740n特征根法：A- maxlW=O W = W(,W2

8、,.Wn T Wi = 1 得 唯(7)i=1正解max = 3.0536W1 = 0 1571W2 二 0.5936W3 二 02493最小平方法:n n2min aijwj -wii 4 j 4n Wi =1i 4（条件极值求得）（a竺）WjWi 二 0 1735W2 二 0.6059W3=0.220613113131|3130e 1 =0.6 1 76e2 =1.70.2 2 06 0.7 一0.110.3680 1 e 2 =1.76480.61222.88250.7500 _i0.2602 一0.36770.1301注意：差异不大，可根据具体情况选择使用计算实例：控制仪器的购买某人拟

9、购买一个控制仪器，现有四种产品可供选择。每种产品的满意度用4个目标去衡量，即：可靠度，成本，外观和重量。每个目标对应的属性值都可以量化。每个方案即每个产品对应的属性值 用下表1所示的决策矩阵描述表示 的X1, X2, X3,和X4分别代表4个产品。在这4个目标中，可靠度和外观的值越大越好，成本和重量值越小越好。试帮助该人确定这四种仪器的优势仪器购买的决策矩阵方案属性可靠性f,（X）成本f2（X ）外观f3（x）重量f4（x）X17896X26783X35675X441067表1方案X4的每个属性值都劣于方案Xi的每个属性值，故方案X4是一劣解，将其从方案集中排除，则待选方案为Xi, X2, X

10、3。对效益型属性fi, f3和成本型属性f2, f4利用（3）和（2）将方案Xi, X2, X3的属性进行规范化处理，得:r 101 0 AZ = 0.50.5 0.510100.333设决策者偏好结构为如下的成对比较矩阵;（一致性检验不能少！）1/2 12 21/4 1/211J/5 1/211米用（4）式（Wn3j ）计算得：5 迟 akjk dw =0.5174 , W2 =0.2446 , W3 =0.1223 , 0=0.1157最后计算得三个方案X1 , X2, X3的目标值V为:V 二、WjZjj故 V 0.6397 , V2 二 0.5579 , V3 二 0.2831因此，四

11、种产品的选择顺序为：X! X2 X3 X42基于理想解的排序模型(目标规划法)(1) 基本假设1. 属性描述用基数定量描述，且相互独立；2. 决策者偏好用权(2) 符号说明Zj* :各属性规范化后的最优值，x* :理想解，即x*所对应的各属性值都是规范化后的最优值S :第i个方案与理想解的测度J n* 2i nWj Zj -Zj(2)基于理想解的排序模型min S1岂刘(9)如果决策者不给出权或给出的各属性的权相同，可用如下模型计算:血S 5n(10)Zij 二Yj注意：Yj的规范化可采用如下的方法:m2、Zj =1i =1理想解x*的各个属性值Zj* j =1,2,n的确定可用如下方法*为效

12、益型下标集5 minZ-八F J为成本型下标集J IJj =1,2,3n, J 门 J-一应用一一控制仪器的购买（内容如上）首先排除劣解X4,将各方案的各个属性利用（11）式规范化得:0.66740.6554 0.64620.7071、Z = |o.57210.5734 0.57440.3536（0.47460.4915 0.50260.5893 丿因此得理想解x*的各个属性分量为：0.6674 0.4915 0.6462 0.3536权重仍用加性加权模型的结果，即各个权重的属性分量为：0.5174 0.2446 0.1223 0.1157代入（9）式计算得：S =0.1464 , S 0.0

13、835 , S3 =0.1672即四种产品的选择顺序为：X2 X1 X3 X43线性分配模型（1）基本假设1. 属性描述采用序数形式，决策者的偏好仍用权来表示2. 对某一属性，不同方案允许并列，但最终排序不允许并列(2)符号说明：Wj方案Xi排在位次j的权重，称w=(Wj m为权矩阵。在权矩阵中， 如第k行中对应L列的元素最大，贝卩方案Xi有最大的可能排在第L列(3) 线性分配模型例已知决策矩阵如下:排序目标属性f1f 2f 3f 4f5第一名Xpx1x2 x2x3第二名X2X3X1X3X2第三名X3X2X3X1X1设权为：W=(0.2,0.3,0.1,0.1,0 3)0.5010.4构造权矩

14、阵：W =0.20.50.3(行为方案，列为名次)030.40.3Wj方案Xi排在位次j的权重，称w =(Wj 为权矩阵。在权矩阵中， 如第k行中对应L列的元素最大，贝卩方案Xi有最大的可能排在第L列最优决策应使最终排序下权矩阵中对应的总权之和最大，由此可知,m n这是一个指派问题：槪工U1$ 另14- JI 4.丄如存在某一属性下的两个方案并列，可将该属性拆分为两个子 属性，并分别赋一半的权重。控制仪器的购买算例首先，将决策矩阵转化为序数形式。属 名、性 名次fl （可靠性）f2 （成本）f3 （外观）f4 （重量）一XiX3XiX2二X2X2X2X3三X3XiX3Xi四X4X4X4X4确定

15、各个目标的权重。仍用模型加行加权模型的结果，即W =（0.57140.24460.i2230.ii57）TXi0.639700.36300 计算权矩阵X2W =0.ii570.883400X30.24460.ii570.63970X4、000b第一第二第三第四所以最优的排序结果为X1.X2.X3.X4，此时对应的指派问题的解为Rl = P22 = P33 = P44 =1，其余 Pij = 04层次分析法层次分析法(The Analytic Hierarchy Process 即 AHP)是二十世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标决策评价 法。将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数字

16、化，保持决策者思维的一致，采用先分解后综合的解题思想。层次分析法的基本假设：是层次之间存在递进结构，即从高到低 或从低到高递进.AHP模型的简介运用AHP方法进行决策时，大体上可分为4个步骤：1. 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递进层次结构2. 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两 比较，构造两两比较判断矩阵。3. 判断矩阵计算得到被比较元素对于准则的相对权重4. 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序具体操作如下： 1.递进层次结构的建立AHP的递进层次包括三层：即目标层、准则层、方案层。其中准则层包括了为实现目标所涉及的中间环节， 该层可根据实际问题再包括

17、多个子准则层。AHP层次结构如图1:决策目标准则1准则2 准则M1)子准则1子准则则2 子准则M2方案1方案2 方案N2.构造两两比较判断矩阵对于一个准则P的因素有N个，这N个因素之间相对重要性的 比较得判断矩阵记为A =(aj)n n，其中aj表示因素Ui对Uj的重要性；3. 单一准则下元素相对权重的计算及判断矩阵的一致性检验(1)设n个因素U1,Un相对于准则P及判断矩阵为A = (aj)nn,由A可计算U1,Un对P的相对权重W1,Wn方法如下：和法：Win j =1i =1,2,3n(1)aijn根法:wi 二, 2 , 3 n. . .(2)f n 帀 n aj 古丿j n akj

18、k4 i y特征根法：由( A) =0,可计算得最大特殊根 max，则 maxW 二 AW(3)W是 max对应的特征向量，将 W的各分量进行归一化处理后即可作为数向量Wi,Wn最小二乘法：设权重向量W =(Wi,Wn)T则满足残差平方和最小的权向量min 二二 0 Wj - Wji jn其中权向量满足a Wi =1i A具体计算时可采用拉格朗日的条件极值求得各 Wi(2)判断矩阵的一致性检验 max nCI计算一致性指标:n -1查找相应的平均一致性指标RI :表1: 1-15阶正相反矩阵计算1000次得到的RIn123456789101112131415RI000.520.891.121.

19、261.361.411.461.491.521.541.561.581.59计算一致性比例CR :y（6）如CFk0.1，则认为A的一致性问题可接受，否则需对 A作适当的修 正。4计算合成权重，并进行排序总排序权重要自上而下的将单准则下的权重进行合成，并逐层进行总的判断一致性检验。设wk二W；,wn；k； t表示第K -1层上nkj元素相对于总目的排序的权重向量。用pkg,pn；kj）表示第k层上n个元素对第k-1 上第j个元素为准则的排序权重向量，其中不受 j元素的支配的元 素权重取为零，矩阵Pk = P：,pn；k4是阶nk n阶矩阵，它表示 第K层元素对K -1层上各元素的排序，则第K层

20、上元素对目标的总 排序kkk tk kJWW-I , wnk = p wnk丄或 w：Pi：wJi =1,2,3n1即有公式：wk 二 pk p1w2其中w2是第二层上元素的总排序向量，也是单准则下的排序向量相应的各层的一致性检验：论CI：为K -1层上元素为准则的一致性指标，平均一致性指标为RI：，一致性比例为CRkj =1,2,3nkJ，则K层的综合指标CI Clk，CI wkJRlk = RIik,RI；wkJCRkCIRICIk 0.1认为递阶层次结构在K层水平上的所有判断具有整体满意 的一致性。3.12 AHP模型的应用一一某高校从三个候选人中选一人担任领导 候选人的优劣用六个属性去

21、衡量： 健康状况业务知识书面表达能力口才道德水平工作作风关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵 A为广111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311I 222311（一致性检验不能少！通过！）aijnakjk =1计算得权向量:(0.1592,0.1847,0.1985,0.049,0.1556,0.2539健康状况 业务知识X q 1/4 112、Z Q 1/3max =3.0193C.R. =0.0190.14290.57140.2857X 11/4Y1/5、1/21max =3.0258C.R. =0.0250.0974

22、0.33310.5695 书面表达能力Y 1/3Z3 1/3)1 max =3.5607C.R. =0.539* (调整！)调整判断矩阵为:X 13Y 1/31Z 351/3、1/51 max =3.03280.2583C.R. =0.0320.10470.6370 口才Z (1/5 1/7571X ( 179、X 179Y 1/715Y1/ 715Z(1/91/5hZJ/ 9 / 151道德水平工作作风max 二 3.0651C.R, 0.062X广117Y117Z1/7b九 max =3.000.27900.64910.07190.46670.46670.0667C.R. = 0.199*

23、(调整！)(0.7928,0.1312,0.0760)max =3.2074按健康状况、业务知识、书面表达能力、口才、道德水平、工作作风的顺序排列X10.14290.09740.25830.27900.46670.7928B=Y0.57140.33310.10470.64910.46670.1312Z(0.28570.56950.63700.07190.06670.0760 丿(0.1592,0.1847,0.1985,0.049,0.1556,0.2539)W =0.3771,0.3148,0.3081可知，应选择候选人X担任该职务六、残缺判断与群组决策(1) 残缺判断处理方法*残缺判断可接

24、受条件:定义1:一个残缺判断矩阵称为是可接受的，如果它的任一残缺元素 都可以通过已给出的元素间接获得，否则就是不可接受的容易证明：一个残缺判断矩阵可接受的必要条件是除对角元素外，每行每列至少有一个给定元素，故至少要作（n-1）次判断。设，表示残缺元素，显然当aij *时aji定义2:方阵A能用行列同时调换化为 人形式，则A称为可约矩阵。（否则称为不可约矩阵）1 2 0例：-1 02卫0 1一-10131201都是可约矩阵。31一为了讨论残缺矩阵的可接受性，先将残缺元素 二看成0,则有: 定理：一个残缺判断矩阵可接受的充分必要条件是 A是不可约矩阵。*残缺矩阵排序向量计算方法特征根法：I aya

25、j - 0,i = j对残缺判断矩阵A构造辅助矩阵C,使得：C=G）二1 i = jWj. Wj ay = 0,i = j求C的特征根问题：CwmaxW 等价于求矩阵A的元素为:ajaj 0, j入=(对= 1 i = j ,i=1,2,|,n其中mi为A的第i行中mi +1 ay = 0,i 式 j残缺元素的个数，并且有：入WmaxW , A称为A的等价矩阵。直接 求A的特征根问题即可求得不完全信息下的排序向量。，这是一个可接受的残缺判断矩阵，辅助矩阵1 2W31220C =1 12,A的等价矩阵A =11222W311012W-!21 1201C与A有相同的主特征值max和主特征向量W.1

26、2解：AW = ?；maxW，得:max =3,w =(0.5714,0.2857,0.1429)* 一致性检验A的 致性检验可用下面的公式：max - nCI 一n,(n _ 1)mi / nCR唱 如X叩，则认为A的一致性问题可接受，否则需对A作适当的修正。当A残缺时，当其它非残缺元素有较协调的判断时，才能满足总体一致性的要求。2.群组决策(1) 重视并做好专家咨询工作(2) 群组决策综合方法特征根法：方法一：加权几何平均综合排序向量法S个专家的判断矩阵人=何k)分别计算出它们的排序向量:W =(Wik, W2k,|l|Wnk)T，k =1,2,|l|s.然后求出它们的加权几何平均综合向量

27、W =(Wi,W2,|I(Ws)T，其中当人=打=川=如时Wj =(Wji,Wj2,|“Wjs)恥，j =1,2川I n.A S计算 Wj的标准差：b j =订Z(Wjk -Wj)2 s1 心相应于新的总体判断矩阵A=(aj = Wl)的总体标准差:Wj个体标准差:严)n(Wjk _Wj)2jw当总体标准差满足要求时，这组群判断可采用，当个体二时认为 第k个专家可通过，否则将信息反馈给有关专家，供修改时参考 方法二加权算术平均综合排序向量法将各专家判断矩阵得到的排序向量的加权算术平均作为综合排序向量 W =(Wi,W2,| Wn)T，即： Wj = iWji2Wj2 |l(nWjn, j = 1,2,川，nJS k = 1I7当 X=為=j| j =丸$ = - 时有：Wj =- (Wj! +Wj2 + 川 +w.), j =1,2，川n)s同样可根据