小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型).docx

1、任意四边形、 梯形与相似模型模型三蝴蝶模型 （任意四边形模型）任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理”) ：AS1S2 ODS4S3BC S1:S2 S4:S3或者 S1 S3S2 S4AO:OC S1 S2 : S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 ( 小数报竞赛活动试题 ) 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分， AOB面积为 1 平方千米， BOC面积为 2 平方千米 ， COD的面积为 3

2、 平方千米，公园由陆地面积是6 92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？CBOAD【分析】 根据蝴蝶定理求得S AOD3121.5 平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 1231.57.5 平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC 的面积；AG : GC？A D12 3GBC【解析】 根据蝴蝶定理， SV BGC 1 2 3 ，那么 SV BGC 6 ；根据蝴蝶定理， AG : GC 1 2 : 3 6 1: 3 (？ )【例 2】 四边形ABCD 的对角线 AC

3、与 BD 交于点 O ( 如图所示 ) 。如果三角形 ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1，且 AO2，DO3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的 _倍。3ADADOH OGBCBC【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 SV ABD : SV BCD 1:3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形” ，于

4、是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一： AO : OCSABD:SBDC1:3 ，OC236，OC :OD6:32:1解法二：作AHBD于H，CGBD于G1S ABDS BCD ，31AHCG ，31S AODS DOC ，31AOCO ，3OC236，OC :OD 6:32:1 【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于 O 点， CEF 、 OEF 、 ODF 、 BOE

5、的面积依次是2、4、 4 和 6。求：求 OCF 的面积；求GCE 的面积 。ADOFGBEC【解析】 根据题意可知，BCD 的面积为 24 46 16 ，那么 BCO 和CDO 的面积都是 16 28 ，所以 OCF 的面积为 844；由于 BCO的面积为8， BOE 的面积为6，所以 OCE 的面积为 8 6 2 ，根据蝴蝶定理，EG:FGSCOE:SCOF2 : 41: 2，所以 S GCE :S GCFEG:FG 1:2，那么 S GCE1S CEF122 1233【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52 公顷，两条对角线把它分成了4 个小三角形， 其中 2 个小三角形的面积分别是6

6、 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？D66CE 77AB【解析】 在 VABE ， VCDE 中有AEBCED ，所以 VABE ， VCDE的面积比为 (AEEB) :(CE DE ) 。同理有 VADE ， VBCE 的面积比为 ( AE DE ) : (BEEC) 。所以有 SVABE SVCDE =SVADE SVBCE ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2 条对角线，有图形分成上、下、左、右4 个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即 SVABE 6= SVADE7 ，所以有 VABE 与 VADE 的面积721公顷， SVADE =63

7、918公顷。比为 7:6， SVABE =397676显然，最大的三角形的面积为21 公顷。【例 5】 ( 2008年清华附中入学测试题) 如图相邻两个格点间的距离是1 ，则图中阴影三角形的面积为。AADDBBOCC【解析】连接 AD、CD、BC。则可根据格点面积公式，可以得到ABC 的面积为： 1412 ，ACD 的面积为： 3321 3.5，2ABD 的面积为： 243 124412 所以 BO: OD S ABC : S ACD2:3.5 4 : 7 ，所以 S ABOS ABD3471111【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形 ABC 的面积。EDABC【解析】 因为 BD

8、:CE 2:5 ，且 BD CE ，所以 DA : AC2:5， SABC5，SDBC5210 2577【例 6】 ( 2007 年人大附中考题) 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE2EC ， CFFD ，求三角形 AEG的面积ADADGGFFBECBEC【解析】 连接 EF 因为 BE2EC ， CFFD ，所以 S DEF( 111) SWABCD1 SWABCD 23212因为 S AED1 SWABCD ，根据蝴蝶定理， AG : GF1 : 16:1 ，2212所以 S AGD6S GDF6SADF61 SWABCD3 SWABCD 77414所以 S AGE S AE

9、DS AGD1 SWABCD3 SWABCD2 SWABCD2 ，21477即三角形 AEG 的面积是 2 7【例 7】 如图，长方形ABCD 中， BE : EC2:3 ，DF:FC1: 2，三角形 DFG 的面积为 2平方厘米，求长方形 ABCD 的面积AGDAGDFFBECBEC【解析】 连接 AE ， FE 因为 BE: EC2:3， DF :FC1: 23111，所以 SVDEF (3)S长方形 ABCDS长方形 ABCD5210因为 SV AED111，所以 SV AGD 5SVGDF10 平方厘米， 所以 SV AFD 12 平S长方形 ABCD ，AG : GF:5:12210

10、方厘米因为 SVAFD1ABCD 的面积是 72平方厘米S长方形 ABCD ，所以长方形6【例 8】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10 厘米， E 为 AD 中点， F 为 CE 中点， G 为 BF 中点，求三角形 BDG 的面积AEDAEDOFFGGBCBC【解析】 设 BD 与 CE 的交点为 O ，连接 BE 、 DF 由蝴蝶定理可知EO:OCSV BED : SV BCD ，而 SV BED1 SWABCD ， SV BCD1 SWABCD ，42所以 EO :OCSV BED : SVBCD1:2，故 EO1EC3由于 F 为 CE 中点，所以 EF11:2EC ，故 EO:

11、 EF 2:3 ， FO : EO2由蝴蝶定理可知SV BFD : SV BEDFO:EO1: 2 ，所以 SV BFD11SVBEDSWABCD ，28那么 SV BGD1SVBFD111010 6.25 （平方厘米）2SWABCD1616【例 9】 如图，在ABC 中，已知 M 、 N 分别在边 AC 、 BC上， BM 与 AN 相交于 O , 若AOM 、 ABO 和BON 的面积分别是3、 2、1，则MNC 的面积是AMOCBN【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得S MONS AOMS BON313S AOB22设SMONx ，根据共边定理我

12、们可以得3S ANMS ABM332，2x22.5S MNCS MBCx，解得13x2【例 10】( 2009 年迎春杯初赛六年级 ) 正六边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6的面积是2009 平方厘米， B1B2 B3 B4 B5B6 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米A1B1A2A1B1A2B6B2B6OB2A6A3A6A3B5B3B5B3A 5B4A4A5B4A4【解析】 如图，设 B6 A2 与 B1 A3 的交点为 O ，则图中空白部分由6个与A2OA3 一样大小的三角形组成，只要求出了A2OA3 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积连接

13、 A6 A3 、 B6B1、 B6A3 设 ABB1B A B1A A BA A BA A B1 1 6 的面积为” “，则1 2 6面积为” “，126 面积为” 2“，那么6 3 6面积为1 2 6的 2倍，为” 4“，梯形 A1 A2 A3 A6 的面积为224212 ，A2 B6 A3 的面积为” 6 “，B1A2 A3 的面积为 2根据蝴蝶定理，B1OA3OS B1A2B6 : S A3 A2 B61: 6，故 SAOA36，SBAA312 ，216127所以 SAOA: S梯形 AAA A612:12:1: 7 ，即A2OA3 的面积 为梯形A1 A2 A3 A6面 积的1， 故为

14、六 边形2312377A1 A2 A3 A4 A5 A6 面积的1 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的163 ，所以阴影部分面积为141472009 13(平方厘米 ) 11487板块二梯形模型的应用梯形中比例关系( “梯形蝴蝶定理”) ：aADS1S2O S4S3BCb S1 : S3a 2 : b2 S1 : S3 : S2 : S4a2 : b2 : ab : ab ；2 S 的对应份数为ab梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果( 具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例

15、11】如图， S22 ， S34 ，求梯形的面积S2S1S4S3【解析】 设 S1 为 a2 份， S3 为 b2 份，根据梯形蝴蝶定理，S34 b 2 ，所以 b2 ；又因为 S22ab ，所以a 1；那么 S1a21， S4ab2，所以梯形面积SS1S2S3S4124 29，或者根据梯形蝴蝶定理， Sa b21229 【巩固】 ( 2006 年南京智力数学冬令营) 如下图，梯形ABCD 的 AB 平行于 CD ，对角线 AC ， BD 交于 O ，已知 AOB 与 BOC 的面积分别为25平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是 _平方厘米AB25O35DC2【解析】 根

16、据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， SV AOB : SVBOCa : ab25: 35 ， 可 得 a : b5:7 ， 再 根 据 梯 形 蝴蝶 定 理 ，25353549144( 平方厘米 ) 【例 12】梯形 ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形 BOC 面积的 2 ，求三角形AOD 与三角形 BOC 的面积之比3ADOBC【解析】 根据梯形蝴蝶定理，SV AOB : SVBOCab : b22: 3 ，可以求出 a : b2:3 ，再根据梯形蝴蝶定理，SV AOD : SVBOCa2 : b 222 :324:9通过利用已有几

17、何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论【例 13】( 第十届华杯赛 )如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和 BD 交于 O 点，已知AO 1 ，并且三角形 ABD的面积3，那么 OC 的长是多少？三角形 CBD的面积5BACOD【解析】 根据蝴蝶定理，三角形 ABD的面积AOAO31 ，所以 CO5三角形 CBD的面积CO，所以，又 AOCO53【例 14】梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9cm2 ，问三角形 AOD 的面积是多少？ADOBC【解析】 根据梯形蝴蝶定理，a

18、 :b 1:1.5 2:3 ， S AOD : S BOC a2 : b 222 :324:9 ，所以 S AOD 4 cm2【巩固】如图，梯形ABCD 中，AOB 、COD 的面积分别为1.2 和 2.7 ，求梯形 ABCD 的面积ABODC【解析】 根据梯形蝴蝶定理，SV AOB : SVACOD a 2 : b 24 : 9，所以 a :b2:3 ，SV AOD : SV AOBab : a 2b : a3: 2 ， SVAODSVCOB1.231.8，2S梯形 ABCD1.21.81.8 2.77.5 【例 15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是

19、 11，三角形 BCH的面积是 23，求四边形EGFH 的面积AFAFBBGHGHDECDCE【解析】 如图，连结 EF ，显然四边形ADEF 和四边形 BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面积等于三角形ADG 的面积；三角形 BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是 11 23 34【巩固】( 人大附中入学测试题) 如图，长方形中，若三角形的面积为36，则三角形1 的面积为 _1 的面积与三角形3 的面积比为4 比 5，四边形2123123【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2 分成左右两边，其面积正好等于三角形1 和三角形 3，所

20、以 1 的面积就是 3645416 ， 3 的面积就是 3620 545【例 16】如图，正方形 ABCD 面积为3 平方厘米， M 是 AD 边上的中点求图中阴影部分的面积BCGAMD【解析】 因为 M 是 AD 边上的中点，所以AM :BC1: 2，根据梯形蝴蝶定理可以知道S AMG : S ABG : S MCG : SBCG2（）（）21: 2:2:4，设S AGM1份，则SMCD 1 2 3份，1: 12 : 12 : 2所以正方形的面积为1 2 24 312 份， S阴影2 2 4份，所以 S阴影 : S正方形1: 3 ，所以 S阴影1平方厘米【巩固】在下图的正方形ABCD 中，

21、E 是 BC 边的中点， AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为1 平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米ADFBEC【解析】 连接DE，根据题意可知BE: AD 1: 2，根据蝴蝶定理得（29(平方厘米 ) ，S ECD3 ( 平）S梯形12方厘米 ) ，那么 SWABCD12( 平方厘米 ) 【例 17】如图面积为 12 平方厘米的正方形ABCD 中， E, F 是 DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积ABODCEF【解析】 因为 E , F 是 DC 边上的三等分点，所以EF:AB1:3，设 SOEF 1 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道S AOE S OFB 3

22、份，S AOB 9份，S ADES BCF(13)份，因此正方形的面积为 4 4 (1 3)224份， S阴影6 ，所以 S阴影 : S正方形6:241: 4 ，所以 S阴影3 平方厘米【例 18】如图，在长方形ABCD 中， AB 6厘米， AD2 厘米， AEEF FB ，求阴影部分的面积AEFBAEFBOODC DC【解析】 方 法一：如图，连接DE ， DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26 3 22平方厘米由于 EF:DC1:3 ，根据梯形蝴蝶定理， SVDEO : SV EFO 3:1 ，所以 SV DEO3SVADE2SV DEF ，而 SV DEF3

23、42 1.5 平方厘米，阴影部分的面积为21.53.5 平方厘米平方厘米，所以 SVDEO4方法二：如图，连接DE，FC，由于 EF:DC1:3，设 SOEF1 份，根据梯形蝴蝶定理，S OED3份， S梯形 EFCD(1 3)216 份， S ADES BCF1 34 份，因此S长方形 ABCD4164 24份，S阴影4 37 份，而 S长方形 ABCD 6 212 平方厘米，所以S阴影3.5 平方厘米【例 19】( 2008年”奥数网杯”六年级试题) 已知 ABCD 是平行四边形，BC :CE3: 2，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是平方厘米ADADOOBCEBCE

24、【解析】 连接 AC 由于 ABCD 是平行四边形，BC :CE3:2 ，所以 CE: AD2:3，根据梯形蝴蝶定理， SV COE : SV AOC : SVDOE : SVAOD22:2 3:23: 324 : 6: 6 :9 ，所以 SVAOC6( 平方厘米 ) ， SVAOD9 ( 平方厘米 ) ，又 SVABCSV ACD6 915 ( 平方厘米 ) ，阴影部分面积为 61521( 平方厘米 )【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米 ) ，阴影部分的面积是平方厘米ADAD992121O44BECBEC【分析】 连接 AE

25、由于 AD 与 BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCDSOAE根据蝴蝶定理， S OCDS OAES OCES OAD236，4 9 36，故 S OCD所以 S OCD6( 平方厘米 )【巩固】 ( 2008 年三帆中学考题 ) 右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米 ) ，阴影部分的面积是平方厘米ADAD881616OB2CB2CEE【解析】 连接 AE 由于 AD 与 BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCDSOAE根据蝴蝶定理， S OCDS OAES OCES OAD2816216，所以 S OCD4

26、( 平方厘米 ) ，故 S OCDABED 中， S ADE1116812 (平方厘米 )，另解：在平行四边形SY ABED22所以 S AOES ADES AOD 128 4(平方厘米 )，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8 2 4 4(平方厘米 )【例 20】如图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，DEF 的面积是5 平方厘米，CED 的面积是10 平方厘米问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？AFDAFD55E10E10BCBC【分析】 连接 BF ，根据梯形模型，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是10 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角

27、形BCE 的面积为10 10520 ( 平方厘米 ) ，所以长方形的面积为20 102 60 ( 平方厘米 ) 四边形 ABEF 的面积为 60510 20 25(平方厘米 )【巩固】如图所示，BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，DEF 的面积是 4 平方厘米， CED 的面积是6平方厘米问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？AFDAFD44E6E6BCBC【解析】 ( 法 1) 连接 BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是6 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为 6649(平方厘米 )，所以长方形

28、的面积为962 30 ( 平方厘米 ) 四边形 ABEF 的面积为 30469 11(平方厘米 ) ( 法 2) 由题意可知， EF42 ，根据相似三角形性质，EDEF2，所以三角形 BCE 的面积为：EC63EBEC329 ( 平方厘米 ) 则三角形 CBD 面积为15 平方厘米，长方形面积为 15230 ( 平方厘米 ) 四63边形 ABEF 的面积为 304 69 11( 平方厘米 ) 【巩固】 ( 98 迎春杯初赛 ) 如图， ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54 ， OD 的长是16，OB的长是9 . 那么四边形 OECD 的面积是多少？ADOBEC【解析】 因为连接

29、 ED 知道 ABO 和 EDO 的面积相等即为54，又因为 ODOB =169 ,所以 AOD 的面积为 549 1696 ，根据四边形的对角线性质知道：BEO 的面积为：54 549630.375，所以四边形 OECD 的面积为： 54 96 30.375 119.625( 平方厘米 ).【例 21】( 2007年”迎春杯”高年级初赛 ) 如图，长方形ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中3 块的面积分别为2、 5、 8 平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为 _ 平方厘米AEFBA EFB225O?5O?88DCDC【解析】 连接 DE 、 CF 四边形 EDCF 为梯形，所以 S EODSV FOC ，又根据蝴蝶定理，S EODS FOCS EOFS COD ，所以 S EOD S FOCS EOF S COD2816，所以 S EOD4