生活中常见的运动

1、7A 版优质实用文档生活中常見的運動、常見的運動： 在日常生活中的各種運動，較常見的大致上有下列幾種：1.等速度運動：物體運動的速率與方向都不變的運動。例如： 在太空中漂移的隕石。2.等速率圓周運動：物體運動的速率不變，但運動軌跡為圓形 的運動。例如：時鐘秒針的針尖之運動、人造衛星繞地球之 運動。3.直線加速或減速運動：物體運動的方向不變，但速率改變的 運動。例如：自由落體運動、加速行駛的汽車。4.速率及方向都改變的運動：例如：雲霄飛車、應聲入網的籃 球、被大力擊出的棒球 等。上述的各運動皆稱為變速度 運動。、位置與位移：1.位置：要定出一個物體的位置，首先需選擇 一個參考點 O ，稱為原點。

2、 如右圖，物體在 A 點時的位置可以 OA 表示 之，為一具有大小及方向的向量，稱為位置向量。 它的大小為 5m（ 即 OA 線段的長度 ），方向和 G 軸夾7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档37也可以利用座標 (4，3) 表示。2.位移與路徑長：距離：兩點之間的直線長度。如右圖，物體在某一段時間內，由位置 動至位置 B， 其位置的變化量， AB= OB OA ，稱為位移。位移為一向量，僅與物體的初、末位置有關， 和運動的過程無關。位移包括距離和方向若只考慮物體沿運動路徑的移動長度的物理量，稱為路徑長。路徑長為一純量，與物體的移動路徑有關。若物體的初、末位置不變，在行經不同的路徑時，其路

3、徑長 可能會有不同，但位移皆相同。3.範例：1.一隻蟑螂沿牆壁邊緣，先向東爬行了 1 公尺，接著又向北爬行了 1 公尺，問：(1) 2 m。(2) 2 m 。x7A 版优质实用文档t2 t1t=G-t 圖形在該兩時刻點連線的7A 版优质实用文档、速率與速度：1.描述物體運動的快慢程度之物理量，稱為速率也就是在單位時間內所經過的路徑長。2.在單位時間內的位置變化量或所經的位移，稱為速度3.速率為純量；速度為向量。SI 制單位皆為公尺 /秒或m/s 4.在某一段時間內之測量 ，稱為平均；在極短的時間內之測量， 稱為瞬時。5.速度與速率之關係：平均速率不一定等於平均速度之量值。瞬時速率一定等於瞬時速

4、度之量值。設物體在時刻 t 1及t2的位置分別為 G1及 G2，則經歷時間 t=t 1t2之位移G=G 1G2 其平均速度 Vab x2 x1x斜率x瞬時速度 V lim xt 0 t=G-t 圖形在該時刻點的切線斜率tt1t2x1xx2xt四、位置對時間關係圖形：由斜率 ( x )直接判定速度 t(i)G-t 圖形為水平直線 物體靜止7A 版优质实用文档傾斜直線 物體等速運動7A 版优质实用文档曲線 物體變速運動(ii)G-t 為曲線，物體做變速運動，必有加速度 a曲線凹口向上a0曲線凹口向下a0(iii)當物體的速度 V 與加速度 a 同方向時，物體做增速運動 當物體的速度 V 與加速度

5、a 反方向時，物體做減速運 動範例：1.某人沿周長 400 公尺的運動場，由 A 點跑了半圈到達正北方 的 B 點，共花了 40 秒，則： (1)5m/s 。(2)2m/s 。2.某秒針長 10cm ，設秒針尖端做等速率圓週運動，當由 0 秒 到 15 秒的時間內求秒針尖端的平均速率及平均速度大小？3.設船的靜水划速 18Km/hr ，在水流速 6Km/hr 的河流中，順 水行某段距離後， 即刻遂水返回原出發點，求其平均速率。4.沿G軸運動之物體，其位置座標為 G=10t 2 ；適中G以釐 米，t 以秒為單位。(1)求經歷下述各組時間內之平均速度7A 版优质实用文档則經歷時間V2 V1 Vav

6、 2 1 t2 t1 瞬時加速度 ： a lim7A 版优质实用文档(A) 2至2.1秒 (B)2至2.001秒 (C)2至2.00001 秒。(2)問在第二秒末之瞬時速度之確實數值為若干？五、加速度：1.若物體運動的速度隨時間改變，稱為變速度運動。我們為了 研究物體的速度變化， 定義：在單位時間內物體的速度變化量，稱為加速度。2.加速度為一向量，單位為公尺 / 秒平方或 m/s 2。3.在某一段時間內之測量 ，稱為平均；在極短的時間內之測量， 稱為瞬時。4.若瞬時加速度不隨時間而改變，稱為等加速度運動。此時，平均加速度一定等於瞬時加速度。5.速度變化可能是大小改變或方向改變。6.定義：設直線

7、運動物體在時刻 t 1及t2的速度分別為 V1及 V2，t=t 2t1 之速度變化 V=V2 V1其平均加速度：V V-t 圖形在該兩時刻點連線的斜率 tV V-t 圖形在該時刻點的切線斜0t率(1)直線運動體的速度對時間關係圖形 斜率直接判定加速7A 版优质实用文档度( Vt )t(A)V t 圖形為水平直線(B) t 圖形為傾斜直線a0圖(A)、圖(B) 等加速運動 圖 (C)、變加速運動 圖 (E)(3)加a 速度對時間關係a圖 形A)等加速度運動變加速t 度運動： at 圖t 為斜7A 版优质实用文档圖(D)X X0X V t(B)at 圖形與時軸所圍面積表示該段時距內之速度變化V V

8、0 V a t7.加速度一般可分為切線加速度及法線加速度： (1)切線加速度：使物體運動速度的大小發生改變。若切線加速度與運動方向同向，則速度會越來越快；若反 向，則速度會越來越慢。(2)法線加速度：使物體運動速度的方向發生變化。 即：若物體有受到法線加速度，則運動軌跡必為曲線。(C) t 圖形為曲線a直線a t 圖為水平線或曲線t7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档8.直線上等加速度運動之實例：(1)自由落體：初速 vo=0，ag (g=9.8 m/s 2)，以向下為+。第t秒 末速vtgt 高度h (gt2)/ 2vt22g h第n秒內的位移 hnthhn hn 1 g(2n 1)/2

9、(2)鉛直下拋：初速 v0，a g ，以向下為 +。第t秒 末速vtv0 gt 高度h v0t(gt2)/ 222vt2 v02 2g h第n 秒內的位移hnth hn hn 1 v 0 g(2n 1) / 2(3)鉛直上拋：初速 v0，ag ，以向上為 +。第t秒 末速vtv0 gt 高度h v0t(gt2)/ 2vt2 v02 2 g h第n 秒內的位移hnth hn hn 1 v 0 g(2n 1) / 2注意！ ：拋體達最高點時： A.加速度 a=g 。B.速度 v=0 。C.距拋射點高度h v 02 / 2g 。7A 版优质实用文档回到地面之速度對時間之關係圖形。試求：3.作直線運動

10、物體之速度對時間之關係式為3t2，t 以秒，7A 版优质实用文档D.歷時： t=v 0/g 。拋體落回原處： A.加速度 a=g 。B.速度 v=v 0 。C.歷時 T=2t=2v 0/g 。範例：1.高速公路上有一部汽車以 72 公里/ 小時速度沿直線行駛，司機突然加踩油門使車速在 5 秒內變為 90 公里/ 小時，求這段期間汽車的平1m/s 2。2.右圖為 t=0 時，由地面鉛直拋上一小石頭而於秒時(A)石頭之加速度(B)石頭再最高點時距地面之高度及加速度(C)速度對時間 t 之函數式。以公尺 /秒為單位。(1)求經歷下述各組時間內之平均加速度： (A)5 至 5.1 秒(B)5 至 5.

11、01 秒(2) 問在第 5 秒末之瞬時加速度之確實數值為若干？7A 版优质实用文档1. 以ddxt 代表litm0 xtxdxV limt 0 tdtvdva limt0tdt設係 t 的函數 (t)y(t t) y(t)作法：d (tn)n(tn 1)dtddf (g(t) f (g(t ) g(t) dt dtd 4 4 1b.ddt (3t4)4(3t 41)12tc.ddt43(2t 4) 3)3(2t 4)2ddt (2t 4)2(2t 4) 2 23 114t 3 64t 11d. d si n( t ) dtcos( t ) d ( t ) dtcos( t )7A 版优质实用文

12、档(3)最初 5 秒鐘間之位移為若干？4.一物體自靜止以等加速度 值增速一段距離後，以等減速度 值減速至停止，總共耗失 t 時間，試求在 t 時間內的總 位移。六、符號 (導函數 微分、斜率，反導函數 積分 )dde. d cos( t ) si n( t ) d ( t ) si n( t ) dt dt dx2. v dx v dtdtt 2t x v dt x t2x(t 2) x(t 1)則瞬時速度瞬時加速度則 y (t )dydtlim y limt 0 t t 0t例：a.ddt (t 4)4(t41)4t3352則 x 2 (3t 2 2t 1) dt(t 3t)(1)在第 5

13、秒末的位置均速度(2)在首 5秒內的平(3)在第 5 秒末的速度v-t 圖形(4) 繪出其 G-t 及107A 版优质实用文档範例：1.若v2t 2 2t 1( 53 52 5) (32 22 2) 105 6 992.設直線運動體的位置與時間關係式為 x 5t2 2(G 以米， t以秒為單位 )，試求：3.設質點在直線上運動的位置與時間關係為 Gt25t 3(G 以米，t 以秒為單位 )試求： (1)於第 7 秒末的速度(2)於第 7 秒末的加速度(3)在最初 10 秒內的平均速度4.直線運動體的 G-t 關係式為 GAsin(Bt) ，A 及 B 為常數， 試求其 v-t 及 a-t 關係

14、式？5.直線運動體的速度與時間關係式為 3t 22(以 m/sec ，t 以 sec 為單位 )且當 t 1sec 時，物體的位置為 3m ，試求其 G-t 及 a-t 關係式？7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档七、等加速運動1.作直線運動物體如在任何時刻之瞬時加速度均等於平均加速度則稱此物體作等加速動直 線運動aav a v2 v1t2 t1 即21At(1)在 t tt 時間內之位移為圖示陰影之面積dv1 v2 t (2)212= v1 t at22消去 t 得 v22 v12 2ad (3)2.等加速度直線運動物體之位移 (或位置 )為時間之二次函數；速度為時間之一次函數；加速度為

15、時間之常數函數。範例：1.汽車自靜止狀態以等加速度行駛 10 秒鐘，其第 5 秒末之速 度為 36 仟米小時。(A)試求其加速度，以米秒 2表之。(B)問10 速度(v)t2時間 (t)12 ax2v1 ax1211秒鐘後之速度為若干？(C)問在前 10 秒中共行駛若干？(D)問在第 8 秒7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档鐘行駛若干？ (E)試導出一物體自靜止作等加速度運動後第秒鐘行駛距 離之方程式 ( 1,2)2.汽車以等速度行駛過相距 180 米之兩點，耗時 6.0 秒經第二 點時的速率為 45 米秒。則 (A) 在第一點之速率為何？(B)加速度為何？(C)汽車之靜止位置距第一點多

16、遠？3.某步行者以 6 米秒的最大速率跑去追趕一輛被交通管制燈 所阻止之公共汽車，當它距離該公共汽車 25 米處時，交通 管制燈改變，公共汽車以 2 米秒 2 的等加速度駛去。此步 行者與公共汽車最近時的距離為若干？4.一石自高之懸崖上落下，同時從懸崖之底拋上一球，初速 ，不計空氣阻力(A) 如球的初速夠大，問二者何時在崖底上空相遇？(B)初速，有何限制？(C)當相遇之瞬時，球是否仍在上升中？八、向量與純量1.向量：兼具有大小及方向的物理量。 12如：位置、位移、速度、加速度、力、動量、 。2.純量：僅有大小而不具方向的物理量。7A 版优质实用文档137A 版优质实用文档如：距離、路徑長、速率

17、、功、能、2.兩向量之夾角：將兩向量起點 ，放一起 ，分別繪出該兩向量 ，它所夾之劣角3.大小相等，方向相反的兩向量，記為 BA AB4.單位向量：大小 1 ，具方向的向量，若A (x,y) ，則A的大小 A x2 y2 如： G軸上的單位向量 i (1,0) 、y 軸上的單位向量 j (0,1) 、5.向量加、減法(1)兩向量和的作圖法 v v1 v2(3)單位向量法若 A Axi Ay jB Bx i By j則 A B (Ax Bx)i (Ay By) j(4)向量兼具大小及方向，可依下列方法求之。D v1 v2 v1 ( v2)7A 版优质实用文档cos53 sin37cos37 si

18、n53147A 版优质实用文档(A) 應用三角學的正弦定律：a b c 2Rsin A sinB sinC 餘弦定律： c2 a2 b2 2ab cosC(B)直角座標法若A Ax,Ay 、B Bx,By 、C Cx,Cy則C A B (Ax Bx),(Ay By) 、Cx Ax Bx ， Cy Ay By(5)物理上常以 37o 及53o 為特別角範例：1.已知 A B A B，試求 A及B 兩向量之夾角2.大小一定之二向量，互相垂直時，和向量之值為 10 ； 成 60o 夾角時和向量之值為 13 。求此二向量之值。九、平面運動：在平面上運動的一個質點，於時刻 t1 的位置向量r1 x1i

19、y1 j ，於時刻t2 的位置向量r2 x2i y2 j1.平均速度vrvxi vy jtxy其大小vvx2 v y22.瞬時速度vrlitm0 t vxi vy j其大小vvx2 vy27A 版优质实用文档3.平均加速度其大小aax2ay24.瞬時加速度va litm0 t axi ay j其大小aax2 ay2= aT aN7A 版优质实用文档vaaxiay jt x yaT2 aN2（a）切線加速度 aT 和速度 v 平行，僅能改變速度之 大小 。（b）法線加速度 aN和速度 v垂直，僅能改變速度之 方向。在平面上 （或立體空間上 ）運動的質點，可將它分解為二個（或三個 ）正交方向的獨立

20、直線運動，二者可各自獨立作改變，而不相互牽涉。範例：1.某質點在平面上運動，其位置向量與時間關係是為2r 6t i 2t2 j ，試求它在 2sec 末的速度和加速度 （取 .制）。2.物體以 12m/sec 的初速度向北行駛時，受向東 8 m/sec 2 加 速度的作用，求 2sec 末物體的末速度為何？153.有一時鐘秒針長長 10cm ，若秒針尖端作等速率圓運動，求秒針尖端7A 版优质实用文档(2)0 到 15 秒之平均速度 (4)轉一圈之平均速度。(6) 第 15 秒末瞬時速度。(8) 第 15 秒末瞬時加速度167A 版优质实用文档(1)0 到 15 秒之平均速率。 (3)轉一圈之平

21、均速率。(5)第 15 秒末之瞬時速率。(7)0 到 15 秒之平均加速度 方向。十、拋體運動1.運動方程式之分析：在地面拋出物體的運動可解析為水平等速度運動及鉛直方向有向下ayg 9.8米/秒 2 之加速度運動：(1)水平向方ax 0 vx v0 x x v0 xt(2)鉛直方向ayg vy v0 y gt12y v0yt 2 gt(3)運動方程式v0 v0 x i v0y jv v0 x i (v0y gt) j12r v0 xti (v0yt 2gt2)j 拋物線y ( g2)xx拋物線2voxvox2.斜拋運動的另一方式分析：斜拋體如果以 V0 之速度自地面以仰角 斜向拋出 ，則初速度V0，可先析分為水平 V0GV0cos 及鉛直 V0y V0sin ，再7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档進一步分析(1)水平等速運動ax 0vx v0 x v0 cosy v0yt 21 gt 2v0 sin gt(3)運動軌跡方程式線 y ax bx2y xtang 2 x22(v0 cos )2拋物17x vxt v0 cos t(2)鉛直向下 g 加速度 ay gvy v0y gt v0 singt3.斜拋運動的物體，自拋出到落回原拋點同水平面之過程中(1)到達最高點時，垂直速度為 0，需時 t(2)全程歷時：gg 2v0