一元二次方程根的分布练习及答案[共10页]

1、一元二次方程根的分布一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的 零分布 ,指的是方程的根相对于零的关系。 比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。2 bx c设一元二次方程 ax 0（ a 0 ）的两个实根为 x1, x2 ,且 x1 x2 。2b 4ac 0【定理 1】x1 0 , x2 0 (两个正根 )x x1 2ba0,x x1 2ca02b4ac 02b4ac 0推论： x 0 , x2 01a 0或a0f (0) c 0 f (0) c 0b 0 b 0上述推论结合二次函数图象不难得到。2 m x

2、m【例1】 若一元二次方程 (m 1)x 2( 1) 0 有两个正根, 求 m 的取值范围。24(m 1) 4m( m 1) 0分析：依题意有2(m 1)m 100 m3）5【定理 3】cx1 0 x 02a2 kx k【例3】 k 在何范围内取值,一元二次方程 3 3 0kx 有一个正根和一个负根？k 3分析：依题意有 0 k 3kb【定理 4】 1 x 0, x2 0 c 0且 01a；b2 x1 0, x2 0 c 0且 0a。2 k x k【例4】 若一元二次方程 kx (2 1) 3 0有一根为零,则另一根是正根还是负根？分析： 由已知 k 3=0, k =3,代入原方程得 3 x2

3、 +5 x =0,另一根为负。二一元二次方程的非零分布 k 分布设一元二次方程 ax2 bx c 0（ a 0 ）的两实根为x , x2 ,且 x1 x2 。k 为常1数。则一元二次方程根的 k 分布（即x , x2 相对于 k 的位置）有以下若干定理。12b 4ac 0【定理 1】kx1 x2af (k) 0b2ak【定理 2】x x k1 2af2b(k)4ac00。b2ak【定理 3】x1 k x af (k) 0。2推论 1x1 0 x ac 0 。2推论 2x1 1 x a(a b c) 0。2【定理 4】有且仅有k1 x （或 x2 ） k2 f (k1 ) f (k2 ) 01a

4、 0 a 0f (k ) 01f(k )10【定理 5】k1 x k p x p1 2 1 2 2f (k ) 0或2f (k2)0f (p ) 0 f1( p )10f (p ) 0 f2( p )20此定理可直接由定理 4 推出,请读者自证。2b24ac 0 b 4ac 0a 0 a 0【定理 6】k1 x x k1 2 2f (k ) 01或f (k )10f (k ) 02f (k )20k1b2ak2k1b2ak2三、例题与练习2 x m【例5】 已知方程 x 11 2 0 的两实根都大于 1,求 m 的取值范围。（12912 m ）42 m x（2）若一元二次方程 mx ( 1)

5、3 0 的两个实根都大于 -1 ,求 m 的取值范围。（ m 2或m 5 2 6）2 m x（3）若一元二次方程 mx ( 1) 3 0 的两实根都小于 2 ,求 m 的取值范围。1（ m 或m 5 2 6 ）22 mx m2【例6】 已知方程 2 2 3 0x 有一根大于 2,另一根比 2 小,求 m 的取值范围。 （ 2 21 m 1 ） 2 22 m x m（2）已知方程 x ( 2) 2 1 0 有一实根在 0 和 1 之间,求 m 的取值范围。（12 2m ） 32 m x m（3）已知方程 x ( 2) 2 1 0 的较大实根在 0 和 1 之间,求实数 m 的取值范围。变1式：改

6、为较小实根 （不可能； m 2）22 k x k（4）若方程 x ( 2) 0 的两实根均在区间（ 1、1）内,求 k 的取值范围。1（ 4 3 k ）222 k x k（5）若方程 x ( 2) 2 1 0的两根中, 一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求 k 的取值范围。 （122k ）32 mx m m2（ 6 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 (m 1) x 2 6 0 的 两 根 为 、 且 满 足0 ,求 m 的取值范围。 （ 3 m 7 或2 m 7 ）12+2 mx+2 m+1=0. 【例7】 已知关于 x 的二次方程 x(1)若方程有两根,其中一根在区间

7、(1,0)内,另一根在区间 (1,2)内,求 m 的范围 .(2)若方程两根均在区间 (0,1)内,求 m 的范围 .本题重点考查方程的根的分布问题, 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 .方法方法技巧与方法： 设出二次方程对应的函数, 可画出相应的示意图, 然后用函数性质加以限制. 2+2mx+2 m+1 与 x 轴的交点分别在区间 (1,0)和(1,2)解：(1)条件说明抛物线 f(x)=x内,画出示意图,得fff (1) 4m 2 0, mf (2) 6m 5 0( 0)( 1)2m210,0,1m2m R,m1256,561m .2f (0) 0,(2)据抛物线

8、与 x轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组f( 1)0,0,0 m 1m12,m12,(这里 0m1 是因为对称轴x= m应在区间(0 ,1) 内通过)m 1 2 m 1 2,或1 m 0.练习：x m x m 有两个不相同的实根,求 m 的取值范围。 1 若方程 4 ( 3) 2 0提示：令 2x = t转化为关于 t 的一元二次方程有两个不同的正实根。参考参考答案： 0 m 122 若关于 x的方程 lg( x 20x) lg(8 x 6a 3) 0 有唯一的实根, 求实数 a 的取值范围。提示：原方程等价于2x 20x 02x 20x 8x 6a 3即x 20 x 0或 2x 12x

9、6a 3 0 令 f (x) =2x +12 x +6 a +3(1) 若抛物线y = f (x) 与 x轴相切,有 =144 4(6 a+3)=0 即 a =112。将 a= 11代入式有 x=6不满足式, a 112 2。y(2) 若抛物线y = f (x) 与 x轴相交,注意到其对称轴为x= 6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件是ff( 20) 0(0) 0解得163 1a 。6 2206O x当 163 1a时原方程有唯一解。 6 2另法：原方程等价于2x +20 x=8 x6 a 3( x0) 问题转化为： 求实数 a的取值范围, 使直线y =8 x 6 a3 与抛物线y =2x +20 x( x 0) 有且只y有一个大众点。 163虽然两个函数图像都明确, 但在什么条件下它们有且只有一个大众点却不明显,可将变形为2x +12 x +3=20 63O x6 a ( x0) ,再在同一坐标系中分别也作出抛物线y =2x +12 x+3 和直线y = 6 a ,如图,显然当 3 6 a 163 即163 1 a6 2时直线y =6 a与抛物线有且只有一个大众点。3 已知 f (x) =( x a )( x b ) 2( a b ) ,并且 , 是