建筑力学 第11章 压杆稳定

1、第11章 压杆稳定内容提要 稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。11.1 压杆稳定的概念工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限P时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩

2、变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。增大压力P，只要P小于某个临界值，杆件受到干扰后，

3、总能回复到它原来的直线位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P=时，杆件虽然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P=的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 (a) (b) (c) 图11-1 图11-2继续增大压力P，当轴向压力P略大于时，由于外界不可避免地给予压杆侧向的干扰作用（例如轻微的振动，初偏心存在，材料的不均匀性，杆件制作的误差等），该杆件将立即发生弯曲，甚至折断，从而杆件失去承载能力。综上所述，作用在细长

4、压杆上的轴向压力P的量变，将会引起压杆平衡状态稳定性的质变。也就是说，对于一根压杆所能承受的轴向压力P，总存在着一个临界值，当P时，压杆处于稳定平衡状态；当P时，压杆处于不稳定平衡状态；当P=时，压杆处于临界平衡状态。我们把与临界平衡状态相对应的临界值称为临界力。工程中要求压杆在外力作用下应始终保持稳定平衡，否则将会导致建筑物的倒塌。11.2 压杆的临界力-欧拉公式11.2.1 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支的细长压杆受轴向压力P的作用,当P=时，若在轻微的侧向干扰力解除后压杆处于微弯形状的平衡状态（图11-3(a)所示）。设压杆距离铰A为x的任意横截面上的位移为y，则该截面上的弯矩为M（x

5、）= y（图11-3(a)所示）。将弯矩M（x）代入压杆的挠曲线近似微分方程：EI= M(x)= -y利用压杆两端已知的变形条件（边界条件）即x=0时，y=0；x=1时，y=0，可推导出临界力公式= （11-1）上式由欧拉公式首先导出，习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。(a) (b)图113应当注意的是，公式（11-1）中的EI表示压杆失稳时在弯曲平面内的抗弯刚度。压杆总是在它抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以I应取截面的最小形心主惯矩，即取。11.2.2 杆端约束的影响公式(11-1)为两端铰支压杆的临界力公式，但压杆的临界力还与其杆端的约束情况有关。因为杆端的约束情况改变了，边界条件也随之

6、改变，所得的临界力也就具有不同的结果。表11-1为几种不同杆端约束情况下细长杆件的临界力公式。从表中可看出，各临界力公式中，只是分母中前的系数不同，因此可将它们写成下面的统一形式： （11-2）式11-2中的，称为压杆的计算长度，而称为长度系数。按不同的杆端约束情况，归纳压杆的长度系数如下：两端铰支： =1一端固定，另一端自由： =2两端固定： =0.5一端固定，另一端铰支： =0.7对于杆端约束情况不同的各种压杆，只要引入相应的长度系数，就可按11-2式来计算临界力。 各种约束情况下等截面细长杆的临界力 表11-1杆端约束情况两端铰支一端固定，另一端自由两端固定（允许B端上下位移）一端固定，

7、另一端铰支压杆失稳时挠曲线形状临界力长度系数=1=2=0.5=0.711.3 压杆的临界力计算11.3.1 临界应力所谓临界应力，就是在临界力作用下，压杆横截面上的平均正应力。假定压杆的横截面的面积为A，则由欧拉公式所得到的临界应力为令，则 （11-3）式中i称为惯性半径，称为压杆的长细比（或柔度）。综合反映了压杆杆端的约束情况（）、压杆的长度、尺寸及截面形状等因素对临界应力的影响。越大，杆越细长，其临界应力就越小，压杆就越容易失稳。反之，越小，杆越粗短，其临界应力就越大，压杆就越稳定。11.3.2 欧拉公式的适用范围欧拉临界力公式是以压杆的挠曲线近似微分方程式为依据而推导得出的，而这个微分方

8、程式只是在材料服从虎克定律的条件下才成立。因此只有在压杆内的应力不超过材料的比例极限时，才能用欧拉公式来计算临界力，即应用欧拉公式的条件可表达为：亦即： （11-4）式(11-14)是欧拉公式试用范围用压杆的细长比(柔度)来表示的形式,即只有当压杆的柔度大于或等于极限值时，欧拉公式才是正确的，也就是说，欧拉公式的适用条件是。工程中把的压杆称为细长压杆，即只有细长压杆才能应用欧拉公式来计算临界力和临界应力。11.3.3 超过材料比例极限时压杆的临界力当临界力超过比例极限时或时，材料将处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定称为弹塑性稳定。对这类压杆，其临界应力一般运用由实验所得到的经验公式来计算。我国在建

9、筑上目前采用抛物线型经验公式： （11-5） 式中，为钢材的屈服极限，为与材料力学性能有关的系数，其中。对于Q235钢及16Mn钢，系数=0.43，若用E=200GPa, =235MPa代入式，可得Q235钢的=123。因此，也可得以下简化形式的抛物线公式：对于Q235钢（）：，=123对于16Mn钢（）：，=102还有一类柔度很小的粗短压杆，称为小柔度压杆。当它受到压力作用时，不可能丧失稳定，这类粗短压杆的破坏原因主要由于杆件的压应力达到屈服极限或强度极限而引起，属于强度破坏，以强度计算为主。【例11-1】 一钢制的空心圆管，内、外径分别为10mm和12mm，杆长380mm，钢材的E=210

10、Gpa。试用欧拉公式求钢管的临界力。已知在实际使用时，其承受的最大工作压力=2250N，规定的稳定安全系数为=3.0，试校核钢管的稳定性（两端作铰支考虑）。解：钢管横截面的惯矩应用欧拉公式，钢管的临界力为：临界压力与实际最大工作压力之比，即为压杆工作时的安全系数，=3.0因此钢管满足稳定性要求。【例11-2】 一端固定，一端自由的中心受压细长杆件，长l=1m，弹性摸量E=200Gpa，试计算图11-4所示三种截面杆的临界力。解：（1） （2）由型钢表查得 =3.89 （3）= (a) (b) (c)图11-4三种截面的截面积分别为：Aa=5cm2 , Ab=5.076cm2 , Ac=5.18

11、cm2 可见，本例三种截面的面积基本相等，但临界力相差很大，并以空心圆截面的临界力为最大。这种差别主要原因在于的不同。由于矩形截面杆材料的分布离水平轴太近，非常小。而对于空心圆截面来说，材料的离散程度对任何直径方向都是相同的，故在问题中，空心圆截面为一种比较合理的截面形式。11.4 压杆稳定的实用计算11.4.1 压杆的稳定许用应力 折减系数当压杆的实际工作应力达到其临界应力时，压杆将丧失稳定。因此，正常工作的压杆，其横截面上的应力应小于临界应力。为了安全地工作，应确定一个适当的低于临界应力的许用应力，也就是应选择一个稳定安全系数。由于工程实际中的受压杆件都不同程度的存在着某些缺陷，如杆件的初

12、弯曲、压力的初偏心、材质欠均匀等，都严重地影响了压杆的稳定性，降低了临界力的数值。因此，稳定安全系数一般规定得比强度安全系数n要高。于是，压杆的稳定许用应力为=为计算方便，令则：= 式中为强度计算时的许用应力，称为折减系数，其值小于1，并随而异。几种常用材料的折减系数列于表11-2中。表11-2 压杆的折减系数长细比=l/i值A3钢16锰钢铸铁木材01.0001.0001.001.000100.9950.9930.970.971200.9810.9730.910.932300.9580.9400.810.883400.9270.8950.690.822500.8880.8400.570.757

13、600.8420.7760.440.668700.7890.7050.340.575800.7310.6270.260.470900.6690.5460.200.3701000.6040.4620.160.3001100.5360.384-0.2481200.4660.325-0.2081300.4010.279-0.1781400.3490.242-0.1531500.3060.213-0.1331600.2720.188-0.1171700.2430.168-0.1041800.2180.151-0.0931900.1970.136-0.0832000.1800.124-0.07511.4

14、.2压杆的稳定条件压杆的稳定条件，就是考虑压杆的实际工作压应力应小于或等于稳定许用应力，即引用折减系数进行压杆的稳定计算时，其稳定条件是： （11-6）式中是压杆的工作应力，p是工作压力。应用式（11-6）的稳定条件，与前面强度条件一样，可以用来解决以下三类问题：（1）验算压杆的稳定性。即验算给定的压杆在已知的工作压力作用下是否满足稳定条件。为此，首先按压杆给定的约束情况确定的值，然后由已知的横截面形状和尺寸计算面积A、惯矩I、惯性矩I、柔度，再根据压杆的材料及值，以表11-2中查出值，最后验算是否满足这一稳定条件。（2）确定容许荷载（稳定承载能力）。首先根据压杆的支承情况、截面形状和尺寸，确

15、定值，计算A、I、i、的值，然后根据材料和值，查表得值。最后按稳定条件计算P=A，进而确定容许荷载值，即稳定承载能力。（3）选择截面。即当杆的长度、所用材料、杆端约束情况及压杆的工作压力已知时，按稳定条件选择杆的截面尺寸。由于设计截面时，稳定条件式中的A、都是未知的，所以需采用试算法进行计算。即先假定一个1值（一般取1=0.5），根据工作压力P和允许应力，由稳定条件算出截面面积的第一次近似值A1，并根据A1值初选一个截面，然后计算I1、i1和1，再由表查出相应的值。如果查得的值与原先假定的1值相差较大，可在二者之间再假定一个2值，并重新计算一次。重复上述的计算，直到从表查得的值与假定者非常接近

16、时为止，这样便可得到满足压杆稳定条件的结果。【例11-3】 两端铰支圆截面木拄高为6米，直径为20厘米，承受轴向压力P=50KN。已知木材的许用应力=10MPa，试校核其稳定性。解：圆截面的惯性半径和长细比： 16/（510-2）=120查表得：=0.208稳定校核：= 0.20810=2.08 MPa，柱子满足稳定性要求。【例11-4】截面为I40a的压杆，材料为16Mn钢，许用应力=230MPa，杆长l=5.6m，在oxz平面内失稳时杆端约束情况接近于两端固定，则长度系数可取为y=0.65；在oxy平面内失稳时为两端铰支，z=1.0，截面形状如图11-5所示。试计算压杆所允许承受的轴向压力

17、P。 解：查型钢表I40a得： A = 86.1cm2 ， iy= 2.77cm，iz= 15.9cm 计算长细比：y=yl/ iy =0.655.6102/2.77=131.4z=zl/ iz =15.6102/15.9=35.2在y与z中应取大的长细比y=131.4来确定折减系数，查表11-2，并用线性插入法求得：=0.279+1.4/1.0（0.242-0.279）=0.274压杆允许承受的轴向压力为P=A= 86.110-20.274230106=543KN 图115 图116【例11-5】 试确定图11-6所示的木屋架中AB杆的截面尺寸。已知AB杆受到的轴向压力P=25KN的作用，其

18、长度为l=3.61m，截面为正方形，材料允许应力=10MPa 。 解： （1）假设1=0.5，则：A1=P/1=25103/（0.510106）=510-3 m2于是正方形截面的边长为a1= 510-3=0.0707m，取a1=0.08m， 则： 由于AB两端应作为铰支，所以取=11=l/ i1 =13.61/0.023=156由表11-2查得：1，=0.13，与假设的1相差较大，应重新计算。（2）假设2=（1+1，）/2=（0.5+0.13）/2=0.31，则有A2=P/2=25103/（0.3110106）=8.0610-3 m2a2= 8.0610-3=0.09m，2=l/ i2 =13

19、.61/0.026=138由表11-2查得：2，=0.16，与假设的2=0.31相差较大，还应重新计算。（3）假设3=（2+2，）/2=（0.31+0.16）/2=0.24，则有A3=P/3=25103/（0.2410106）=10.410-3 m2a3= 10.410-3=0.102m，取a3=0.11m3=l/ i3 =13.61/0.0317=114由表11-2查得：3，=0.24，与假设的3=0.24相符。根据上述计算，确定AB杆正方形截面的边长为a=0.11m=110mm。11.5 提高压杆稳定性的措施影响压杆稳定性的因素有压杆的截面形状，压杆的长度，材料的性质，杆端的约束条件等。提

20、高压杆稳定性的措施应从这些因素考虑。（1）选择合理的截面形状从欧拉公式看，截面的惯性矩I越大，则临界压力Pcr也越大；从临界应力的公式看，长细比越小，临界应力也越高。因此，在一定的截面面积下，应设法把材料分布在离截面形心较远的地方，以取得较大的截面惯性矩I和惯性半径i，减小长细比，从而提高压杆的临界力。例如，由角钢组成的立柱，角钢应分散放置在截面的四角（图11-7(a)所示），而不是集中地放置在截面形心的附近（图11-7(b)）。(a） (b)图11-7当压杆在各个弯曲平面内的约束条件相同，即l相同时，则应使截面对任一主形心轴的惯性半径i相等或相近，这样，杆件在任一纵向平面内的长细比（柔度）都

21、相等或相近，因而压杆在任一纵向平面内有相同或相近的稳定性。因此采用圆形、环形或正方形等截面为好。如果压杆在两个弯曲平面内的约束条件不同，则可采用两个方向的截面惯性矩不等的截面来与相应的约束条件相配合。在具体确定截面尺寸时，要尽可能使两个相互垂直的平面内的柔度相等或相近，从而达到两个方向上抵抗失稳的能力相等或相近。（2）减小杆的长度在其他条件相同的情况下，杆长L越短，则越小，临界应力就越高。如图11-8两端铰支的细长压杆，若在中点增加一支承，则其计算长度为原来的一半，长细比即为原来的一半，而临界应力却是原来的四倍。（3）改善压杆的支承条件改善压杆的支承长度能直接影响临界力的大小。因压杆两端固定得

22、越紧，值就越小，计算长度l就小，长细比也就小，其临界应力就大。故应尽量采用值小的支承形式，可以提高压杆的稳定性。图11-8小 结1.杆件在轴向压力的作用下，经微小的横向干扰后，如果仍能回复到原来的位置保持直线平衡，那么，我们可以说杆件处于稳定平衡状态。反之，如果在微小的横向干扰后，不能回复到原来的位置保持直线平衡，而是发生弯曲并停留在某一新的位置上，那么，我们可以认为杆件处于不稳定平衡状态，即杆件就要失稳。稳定问题与强度问题、刚度问题是完全不同的。2确定压杆的临界力是计算稳定问题的关键。临界力是压杆在一定条件下所具有的反映其承载能力的一个标志。它的大小与压杆的长度、截面的形状和尺寸、两端的支承约束情况及材料的性质有关。3欧拉公式是计算压杆临界力的基本公式。由于杆端的支承方式对压