广东深圳中学高中数学必修二导学案11立体几何中的思想方法及其应用

1、11.立体几何中的思想方法及其应用曾劲松学习目标1 熟练运用立体几何中常见的转化的思想方法：降维的转化、位置关系的转化、割补的转 化、等积的转化等.2 熟练运用分类讨论的思想方法解决立体几何中的问题.3 能利用函数与方程的思想解决立体几何中的动态问题.4 进一步熟练解决以下基本题型：平行与垂直的证明、结论探索性问题、求空间角、求空 间距离、翻折问题.一、夯实基础基础梳理1.立体几何中转化思想（1）降维的转化：由三维空间向二维平面转化， 把空间的基本元素转化到某一个平面中去， 用平面几何知识来 解决问题例如三种角 （线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、 面面距）从定义到具

2、体的计算都体现了空间到平面的转化.（2）位置关系的转化：空间平行关系之间的转化|直线与直线平厂| ? |直线与平面平彳厂| ? |平面与平面平行空间垂直关系之间的转化直线与直线垂直 ? |直线与平面垂直 ? 平面与平面垂直（3）割补的转化：通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口.例如有些特殊的三棱锥（或四棱锥），我们其放置在一个长方体中.（4 ）等体积的转化：求一个几何体的体积转化求另一个几何体的体积（或换一个角度求同一个几何体的体积）.此法常用来求点到平面的距离，好处是回避了找垂足的具体位置.例如，求斜线与平面所成角时，只需求得斜线上某点到斜足的距

3、离及该点到平面的距离，即可得到该角的正弦.2 熟练运用分类讨论的思想方法解决立体几何中的问题.例如【自主探究】第 3题.3 能利用函数与方程的思想解决立体几何中的动态问题.动态问题是指某些点、线、面的位置是不确定的、可变的我们可以考虑设置一个关键的变量，其它量的变化均由此变量引发，构建目标函数，于是用代数的方法来解决. 要注意“动”与“静”是相对的，通常用一个特定的静的状态来研究运动中的几何体.4 翻折问题.把一个平面图形按照某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在空间位置关系和数量上的变化，这就是翻折问题这类题的关键是弄清翻折的变与不变，例如哪些角度、距离、 位置关系发生了变化，而哪些没

4、有.基础达标1. （ 2007年湖北）平面外有两条直线 m和n，如果m和n在平面 内的射影分别是 m1和ni，给出下列四个命题: min1 m n ；m nn1 ；m1与冷平行m与n平行或重合.g与ni相父m与n相父或重合；其中不正确命题的个数是（).A. 1B. 2C.3D .42. （2010江西）过正方体ABCD AB1C1D1 的顶点A作直线L,使L与棱AB, AD ,AA,所成的角都相等，这样的直线L可以作（).A. 1条B. 2条C.3条D .4条3. （2012年浙江）已知矩形ABCD, AB 1, BC2.将 ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（).BD

5、垂直A.存在某个位置，使得直线AC 与直线B. 存在某个位置，使得直线 AB与直线CD垂直C. 存在某个位置，使得直线 AD与直线BC垂直D. 对任意位置，三组直线“ AC与BD ”，“ AB与CD ”，“ AD与BC ”均不垂直4. （2012年全国卷）已知正四棱柱 ABCD ABQQ1中，AB 2 , CG 2.2 , E为C的 中点，则直线 ACi与平面BED的距离为（）.A. 2B. 3C. 2D. 15. （2000年全国卷）如图， E、F分别为正方体的面 ADDiAi、面BCCiB的中心，则四边 形BFDiE在该正方体的面上的射影可能是 .（把可能的图的序号都填上）、学习指引自主探

6、究1.已知三棱锥 S ABC中，SA 底面ABC，平面SAB 平面SBC，那么AB BC吗?2 .如图，在四面体 ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球 心0,与BC， DC分别交于点 E，F，且将四面体分成体积相等的两部分设四棱锥A BEFD与三棱锥A EFC的表面积分别是 S1，S2，你能比较S与S2的大小吗？3若四面体各棱长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积的值会是多少?DC14 .如图，在棱长为a的正方体 ABCD ABiGDi中，EF是棱 AB上的一条线段，且EF b a，若Q是ADi上的定点，P在CiDi上滑动，那么四面体PQEF的体积如何变化?

7、E5.如图，正方形 ABCD、ABEF的边长都是i,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直.点 M 在AC上移动，点 N在BF上移动，若 CM BN a （ 0 a 迈）.当a为何值时，MN的长最小？ 案例分析1 如图，三棱柱 ABC ABC中，点 中点，点G ABC的重心.从K , 条棱与平面PEF平行，则点P为（A. KB. HC.H , K 分别为 AC , CB , AB , BC 的B中取一点作为点 P，使得该棱柱恰有两【解析】根据三棱柱的性质和确定平面的条件，分别作出截面，则截面KEF有5五条棱与面PEF平行，截面 HEF六条棱与面 PEF平行，截面 GEF有两条棱与面 PEF平行，

8、截面 B EF有零条棱与面 PEF平行.说明：本题关键是利用“中点”所蕴含的平行关系（转化为三角形的中位线）.可逐个尝试，找出与平面PEF平行的所有棱.选 C.5，求它的体积.2 .四面体S ABC的三组对棱分别相等，且其长度依次为2 5 , 13 ,【解析】由于长方体相对的两个面的对角线的长相等, 方体，如图所示.并设长方体的长、宽、高分别为我们考虑把四面体a , b , c ,贝US ABC补全为长2 ab22 cb22 c2 a20,13,25a 4, b 2, c 3.又因为四面体S所以V四面体s ABCD2 3 48 .ABC的体积等于长方体的体积减去四个三棱锥的体积,4 1 14

9、-33 .如图，在正四面体中，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则厶SQD在四个面的射影可能是 .【解析】在底面 ABC内的正投影为（2）,在侧面DBC的正投影为（3）,而在另两个侧面的正投影则未画出来.选（2） （3）.4.如图，正方体ABCDAiB1C1D1 中，E在 AB 上，F 在 BD上，且 B.E BF .求证：EF P平面 BB1C1C .【解析】证法一：连 AF延长交BC于M，连结B1M .Q AD P BC , AFDMFB ,AF DFFM BF又Q BD B1A, B1E BF , DF AE ,AFFMAEB1EEF P B1M , B1M ?平面 BB

10、1C1C ,EF P 平面 BB1C1C .1证法二：作FH P AD交AB于H，连吉HE ,Q AD P BC , FH P BC , BC BB1C1C ,FH P 平面 BB1C1C .由 FH P AD 可得 BL Bl，又 BF B1E , BD AB . BD BABE BHABi BA .EH P BiB , BiB 平面 BBiCiC ,EH P 平面 BBiCiC , EH Q FH H , 平面FHE P平面BBiCiC , EF?平面FHE EF P 平面 BBiCiC .CCi说明：（i）证法一为了证线面平行， 先构造线线平行，即过EF作与平面BiC相交的平面（实际就是

11、作几何体的截面），从而找到了与EF平行的直线.（2 ）实际上，BD、BiA是夹在两平行平面间的两条线段，且聖 旦旦，从而有EF P平DF EA面BBiCiC，这种模型在立体几何中很常见.5.如图，三棱锥P ABC中，PA 4 , BC 6，设与PA , BC都平行的截面四边形 EFGH 的周长为L，求L的取值范围.C【解析】由 PAP平面EFGH知PA P EF P GH，同理HE P FG P BC . 四边形EFGH是平行四边形.因为EFPA 旦匸，所以EF 4旦匸.BPBPPFBP同理可知，FG 6匚一.于是L 2 EF FG4BF 6 PFBP2 4BP 2PFBP4PFbp由PF的取

12、值范围可得 L的取值范围是（8, 12）.说明：本题是典型的空间几何体的截面问题，解题的关键是从线面平行中得出截面四边形的特征，并借助相似三角形将周长与已知联系起来.可先从特殊情形入手理解， 例如当E为AB的中点时的情形，E与A或B重合时的极端情形等.6 如图，一个倒立的圆锥形容器的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半 径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切. 将圆锥内的铁球取出后，圆锥内水面的高是多少?C【解析】设将圆锥内的铁球取出后，圆锥内水面的高是h 易知点0ABC的中心.AO 30M 3r,0iC3r .球取出后圆锥底面半径 EF 3h .3OiC为底面半径的圆锥的体积,由于

13、球的体积加上以 EF为底面半径的圆锥的体积等于以所以 n h h - n v3r 3r 3 333解得h 315r .三、能力提升能力闯关1 . （2003年全圉卷）下列 5个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出I面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）.2. (2010年江苏)四棱锥PABCD 中，PD平面ABCD ,PD DC BC1, AB2,AB P DC ,BCD90(1)求证：PCBC ；(2)求点A到平面PBC的距离.P3 .在四面体 ABOC中，0COA, OC 0B ,AOB 120，且 OA OB 0C 1 .(1 )

14、设P为AC的中点.证明：在 AB上存在一点Q，使PQ(2 )求二面角O AC B的平面角的余弦值.OA，并计算旦的值;AQ拓展迁移4.(2009年四川)如图，六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形, 则下列结论正确的是().PA 平面 ABC, PA 2AB ,A. PB ADB. 平面PAB 平面PBCC. 直线BC P平面PAED. 直线PD与平面ABC所成的角为455.如图，已知平面P平面 ，线段AB分别交a ,于M , N两点，线段AD分别交a ,于C , D两点，线段BF分别交 ， 于F , E两点，且AD , EF是异面直线.若AM m ,BN n , MN p, fmc (m P

15、)(n p)，则 S“nd B挑战极限6. 如图，已知平行六面体 ABCD ABiGU的底面是菱形，且 GCB（1）证明：GC BD ；（2）假定 CD 2，CC13，记面 GBD 为2面角 BD的平面角的余弦值；（3）当-CD的值为多少时，可使CCiC1CDBCD 60 ,，面CBD为，求二AC 上面 G BD ?课程小结1. 认真体会立体几何中常见的转化的思想方法、分类讨论的思想方法.2 体会用代数的方法，构建目标函数解决解决立体几何中的动态问题.3 翻折问题中变与不变.11立体几何中的思想方法及其应用一、夯实基础基础达标1 . D.都有不垂直的反例，都有异面的反例.2 . D.考查空间感

16、和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、化归转化的能力第一类：通过点A位于三条棱之间的之间有一条体对角线AG第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条.3 . E.在平面 BCD内作CH BD于H，连接AH .在翻折过程中，若存在 BD AC , 则BD 平面ACH，从而BD AH，这是不可能得，故A错误.在翻折过程中，动直线CD是相应圆锥的母线. AB与动直线CD所成的角，即为翻折前的CD与动直线CD （母线） 所成的角，由于该圆锥的锥顶角为钝角，故 AB与动直线CD所成的角可能为90，故E正 确.用的办法可知 C、D错误.4.D .连接 AC交BD于点0，易证平

17、面 ACiC 平面BDE，从而直线 ACi与平面BED的距离即为直线 ACi与0E的距离，也等于点 C到直线0E的距离.BFDiE在三个方向上作投5 .因正方体是由三对平行面所组成，所以只要将四边形影即可，因而可分为三类情况讨论.（1）在面ABCD上作投影可得（平行四边形）；（2）在面ADDiA上作投影可得（线段）；（3）在面ABBiA上作投影可得（平行四边形）像本题一样的定性线面垂说明：截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型, 分析题一定要抓住图形的特性（平行、垂直等）进行分析.二、学习指引平面 AH SA BC- AB1 .在平面SAB内作AH SB于H （图略）.SAB

18、 平面 SBC,平面SBC，从而AH BC .底面 ABC , SA BC .平面SAB,又AB 平面SAB,BC .说明：本问题的突破口是要由面面垂直自然联想到其性质定理.达到“面面垂直 直 线线垂直”的转化.2. 设内切线的半径为R,则 VslZA befd Sa ABDSa ABESa ADFSsbxBEFDR3SaaecSaacfSaecf，两边冋加 SAAEF 得，SiS2 .A说明：本题考查棱锥体积公式，借助于等体积转化为表面积，其关键是发现内切球半径的作 用而将几何体作分割. 这当中也包含了类似思想， 即类比平面几何中利用三角形内切圆半径 解决问题的思路，得出利用几何体内切球的球

19、心到各个切面的距离相等的结论，并把这个距离看作棱锥的高.3 .可分下列三种情形：(1)若四面体五条边长为2, 另一边长为1.如图(1),设AD 1，取AD得中点为M ,平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD 面BCM，且V BCM VD BCM，所以Va BCDBCM AD , CM3CD2 dm2 -t .设N是BC的中点，贝y MN BC , MNCN112从而Sa bcm1 2主迈，故Vabcd迈12 22326（图1）(2)对棱相等的四面体，如图(2)，其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行，可得V 12(3)有一个三角形三边长

20、为1,余下三边长均为2,如图(3).可求得高为亠3，从而V.312综合上所述，体积可以是 、二4、.6 12 12说明：本题表面上是考查椎体求积公式这个知识点，实际上还考查了分类讨论的能力.首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的排除1, 1 , 2,可得1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2,2,2,2，然后由这三类面的空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.4 .在厶PEF中，底边EF是定值，且P到EF的距离也是定值， 故它的面积是定值. 又点Q说明：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中可以发现其中的稳定因素.

21、选取恰当的点和三角形作为三棱锥的顶点和底面来解决其体积，体现了等积的转化的思想.PQ，依题意可得 MP/NQ ,5 .作且MPMP / /AB交BC于点P , NQ /AB交BE于点Q，连接 NQ，即MNQP时平行四边形. MNPQ ,由已知，CM BN a , CB AB BE 1 , ACBF2 , CPaBQ a12 ， 1 .2 ，即CPBQa2，- MNPQ.1 CP2 BQ2222a 2时,2值为上.2MNN分别移动到AC ,BF的中点时，MN的长最小，最小a 、2 说明：对于立体几何中的动态问题，找到相应的变量，并建立函数模型，利用函数的性质加以解决，体现了立体几何中的函数与方程

22、的思想.三、能力提升1 .易知是合要求的，由于五个图形中的I在同一位置，只要观察图中的平面 MNP哪 一个和中的平面 MNP平行(转化为面面平行)即可.说明：本题中选中平面 MNP作为“参照系”，可清晰解题思路，明确解题目标.2. (1)v PD 平面 ABCD,又 BC 平面 ABCD , PD BC .由 BCD 90，得 BC DC ,又 PDI DC D , PD 平面 PCD ,DC 平面 PCD , BC 平面 PCD . PC 平面 PCD，故 PC BC .PC(2)连结AC AB/DC ,.设点BCDA到平面PBC的距离为h .90，二 ABC 90 .从而由AB由PD平面P

23、D平面又PDDC由PCBC,2 ,BC1，得 ABC 得面积 SA ABC 1 .ABCD及PD 1，得三棱柱 P ABC的体积ABCD , DC 平面 ABCD PD DC .1 , PC ._DC2 .BC1，得 APBC 的面积 SAPBC21SSA ABC31PD -.3Sa pBch31 _23h -，得 h 、2 ,23故点A到平面PBC的距离等于 2 .3.( 1)在平面 OAB内作ON OA交AB于N，连接NC . 又 OA OC , OA 平面 ONC . NC 平面 ONC , OA NC .取 Q 为 AN 的中点，贝U PQ/NC . PQ OA在等腰 AOB中,AOB 120 , OAB OBA 301在 RtA AON 中， OAN 30 , ON AN AQ .2在厶ONB 中， NOB 1209030 NBO,AB NB ON AQ . 3AQB(2)连接 PN , PO，由 OC OA, OC OB 知：OC 平面 OAB 又 ON OAB , OC ON .又由 ON OA, ON 平面 AOC