2022年高考数学一轮《抛物线》考点复习 教师版

1、2022年高考数学一轮抛物线考点复习一 、选择题抛物线y=2x2的准线方程是()A.x= B.x= C.y= D.y=【答案解析】答案为：D；解析：抛物线y=2x2的标准方程为x2=y，其准线方程为y=.已知点A(2，3)在抛物线C：y2=2px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A. B.1 C. D.【答案解析】答案为：C；解析：由已知，得准线方程为x=2，所以F的坐标为(2，0).又A(2，3)，所以直线AF的斜率为k=.若点A，B在抛物线y2=2px(p0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是()A.y2=x B.y2=x C.y2=2x

2、D.y2=x【答案解析】答案为：A；解析：根据抛物线的对称性，ABx轴，由于正三角形的面积是4，故AB2=4，故AB=4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)代入抛物线方程得4=4p，解得p=，故所求的抛物线方程为y2=x.故选A.已知抛物线C：x2=2py(p0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为()A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y【答案解析】答案为：C；解析：由得或即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则=4，得p=1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2=2y.若抛物线x2=4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n=(

3、)A. B. C.3 D.4【答案解析】答案为：D；解析：抛物线x2=4y的准线方程为y=1，根据抛物线定义可知，5=n1，得n=4，故选D.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于()A. B. C. D.【答案解析】答案为：B；解析：由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x=1，由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(1，2)，所以kAF=，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.过抛物线C：y2=2px(p0)的焦点F，且斜率为的直线交C

4、于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，若|NF|=4，则M到直线NF的距离为()A. B.2 C.3 D.2【答案解析】答案为：B；解析：直线MF的斜率为，MNl，NMF=60，又|MF|=|MN|，且|NF|=4，NMF是边长为4的等边三角形，M到直线NF的距离为2.故选B.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|=|MN|，则点F到MN的距离为()A. B.1 C. D.2【答案解析】答案为：B；解析：由题可知|MF|=2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d=|NF|，因为|NF|=|MN|，所以cosNMF=，

5、所以sinNMF=，所以点F到MN的距离为|MF|sinNMF=2=1，故选B.已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为54，且|AF|2，则点A到原点的距离为()A. B.2 C.4 D.8【答案解析】答案为：B；解析：令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为(5a-，4a)，代入y2=2x中，解得a=或a=(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为2.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若=4，则|QF|等于()A. B. C.3 D.2【答案解析】答案为：C；解析：因为=4，所以|=

6、4|，所以=.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，所以=，所以|QQ|=3，根据抛物线定义可知|QQ|=|QF|=3.已知抛物线y2=2px(p0)过点A(,)，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=，则实数为()A. B. C.2 D.3【答案解析】答案为：C；解析：把点A(,)代入抛物线的方程得2=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x，则B(1，0)，设M，则=，=(1，yM)，由=，得解得=2或=1(舍去)，故选C.已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2y22x8y13=0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x=2的距离为

7、d，则|PQ|d的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.2【答案解析】答案为：C；解析：如图，由题意知抛物线y2=8x的焦点为F(2，0)，连接PF，FQ，则d=|PF|，将圆C的方程化为(x1)2(y4)2=4，圆心为C(1，4)，半径为2，则|PQ|d=|PQ|PF|，又|PQ|PF|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取得等号).所以当F，Q，C三点共线时取得最小值，且为|CF|CQ|=3，故选C.二 、填空题在直角坐标系xOy中，有一定点M(1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_.【答案解析】答案为：y=.解析：依题意可得线段OM

8、的垂直平分线的方程为2x4y5=0，把焦点坐标(0,)代入可求得p=，所以准线方程为y=.若抛物线y2=4x上有一条长度为10的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离为_.【答案解析】答案为：4.解析：设抛物线的焦点为F，准线为l：x=1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离d=，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为51=4.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F与双曲线y2=1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|=3，则直线AF的斜率为_.【答案解析】答案为：2.解析：双曲线y2=1的右焦点为(2,0)，抛物线方程为y2=8x，|AF|=3，x

9、A2=3，得xA=1，代入抛物线方程可得yA=2.点A在第一象限，A(1，2)，直线AF的斜率为=2.已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，=4(其中O为坐标原点)，则ABO面积的最小值是_.【答案解析】答案为：4.解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，由=4，即x1x2y1y2=4得yyy1y2=4，得y1y2=8.所以SABO=|x1y2x2y1|=|y1y2|4，当y1=2，y2=2时取等号，故ABO面积的最小值为4.三 、解答题已知抛物线C：x2=2py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B

10、处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程.【答案解析】解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，设直线AB：y=kx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p=0，则x1x2=2pk，x1x2=2p.(1)由x2=2py得y=，则A，B处的切线斜率的乘积为=，点N在以AB为直径的圆上，ANBN，=1，p=2.(2)易得直线AN：yy1=(xx1)，直线BN：yy2=(xx2)，联立，得结合式，解得即N(pk，1).|AB|=|x2x1|=，点N到直线AB的距离d=，则SABN=

11、|AB|d=2，当k=0时，取等号，ABN的面积的最小值为4，2=4，p=2，故抛物线C的方程为x2=4y.过抛物线C：y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8.(1)求直线l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线.【答案解析】解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为y=k(x1)，代入抛物线方程y2=4x得k2x2(2k24)xk2=0，由题意知k0，且(2k24)24k2k2=16(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2=，x1x2=1，由抛物线的定义知|AB|=x1x22=8

12、，=6，k2=1，即k=1，直线l的方程为y=(x1).(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，又E(1,0)，kEBkED=，y2(x11)y1(x21)=y2y1=(y1y2)(y1y2)=(y1y2).由(1)知x1x2=1，(y1y2)2=16x1x2=16，又y1与y2异号，y1y2=4，即1=0，kEB=kED，又ED与EB有公共点E，B，D，E三点共线.已知抛物线C：x2=2py(p0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛

13、物线C的方程.【答案解析】解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，设直线AB：y=kx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p=0，则x1x2=2pk，x1x2=2p.(1)由x2=2py得y=，则A，B处的切线斜率的乘积为=，点N在以AB为直径的圆上，ANBN，=1，p=2.(2)易得直线AN：yy1=(xx1)，直线BN：yy2=(xx2)，联立，得结合式，解得即N(pk，1).|AB|=|x2x1|=，点N到直线AB的距离d=，则SABN=|AB|d=2，当k=0时，取等号，ABN的面积的最小值为4，2=4，p=2，故抛物线C的方程为x2

14、=4y.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2=p2，x1x2=；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【答案解析】证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为x=my，代入y2=2px，得y2=2p，即y22pmyp2=0.(*)因为在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点.则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2=p2.因为y=2px1，y=2px2，所以yy=4p2x1x2，所以x1x2=.(2)=.因为x1x2=，x1x2=|AB|p，代入上式，得=(定值

15、).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，则|MN|=(|AC|BD|)=(|AF|BF|)=|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由.【答案解析】解：(1)当直线AB垂直于x轴时，不妨取y1=2，y2=2，所以y1y2=8(定值).当

16、直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k(x2)，由得ky24y8k=0，所以y1y2=8.综上可得，y1y2=8为定值.(2)存在.理由如下：设存在直线l：x=a满足条件，则AC的中点E(，)，|AC|=，因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|=，点E到直线x=a的距离d=|a|，所以所截弦长为2=2=，当1a=0，即a=1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x=1.已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证

17、：A为线段BM的中点.【答案解析】解：(1)把P(1，1)代入y2=2px得p=，所以抛物线C：y2=x，所以焦点坐标为(,0)，准线：x=.(2)证明：设l：y=kx，M(x1，y1)，N(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=x，由题知A(x1，x1)，B，由消去y得k2x2(k1)x=0，所以x1x2=，x1x2=.所以y1=kx1=2kx1，由x1x2=，x1x2=，上式=2kx1=2kx1(1k)2x1=2x1，所以A为线段BM的中点.已知抛物线C：x2=2py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛